Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
Heu, alors en voici deux, que j’espère ne pas avoir déjà donnés ici. ^^
1° Soit A une R-algèbre unitaire, commutative, intègre et de dimension finie. Montrer que A est isomorphe à R ou à C.
2° Soient K un corps, E un K-ev, φ_1, …, φ_n et ψ des formes linéaires sur E. Montrer que ψ ∈ Vect(φ_1, …, φ_n) si, et seulement si ker ψ contient l’intersection des ker(φ_i).
1° Soit A une R-algèbre unitaire, commutative, intègre et de dimension finie. Montrer que A est isomorphe à R ou à C.
2° Soient K un corps, E un K-ev, φ_1, …, φ_n et ψ des formes linéaires sur E. Montrer que ψ ∈ Vect(φ_1, …, φ_n) si, et seulement si ker ψ contient l’intersection des ker(φ_i).
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« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »
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Re: Exos pour futurs spés
Alors ? 
Pour le 1, commencez par montrer que A est un corps éventuellement.

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Re: Exos pour futurs spés
J’ai le 2, je posterai la solution tout à l’heure . Merci pour l’indication !
Edit :
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Spoiler :
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Re: Exos pour futurs spés
Zrun a écrit :J’ai le 2
Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....
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Re: Exos pour futurs spés
Darkpatric a écrit :Zrun a écrit :J’ai le 2
Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....
Ah tu es sur ? Je vois de quel dm tu parles mais je me souviens de la question telle quelle ...
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Re: Exos pour futurs spés
C’etait En deux questions (mais on vas pas chipoter)
Il me semble
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Re: Exos pour futurs spés
Ok je te crois ! Peut-être il faudrait que je relise nos DMs avant la reprise 

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Re: Exos pour futurs spés
OK. Tu peux prouver l’existence de la base antéduale ? 
Au fait, j’attends toujours la correction des rugbymen sans déterminants.

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Re: Exos pour futurs spés
En dimension finie je peux , via l’isomorphisme entre E et son bidual. En dimension infinie, je suis même pas sûr que ça existe dans tous les cas , faudrait que je trouve un autre moyen qui contourne l’utilisation de la base antéduale et après je pourrais me lancer dans le premier exo !
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Re: Exos pour futurs spés
En fait en dimension infinie, ça n’a même pas forcément de sens de parler de base duale. Si tu te regardes par exemple E = R^(N) (les suites réelles à support fini) avec (e_n)_n la base canonique, les formes linéaires canoniquement associées aux e_n ne sont pas nécessairement une famille génératrice de E* (par exemple, que penses-tu de la forme linéaire qui a une suite associe la somme de ses termes ?). On peut même démontrer que dim(E) = dim(E*) ssi E est de dimension finie. 
Cela dit, pour en revenir à nos moutons, ta preuve est très bien sous l’hypothèse que E est de dimension finie, mais ne semble pas pouvoir fonctionner dans le cas général. Mais ce n’est pas très grave, on peut essayer de se ramener à de la dimension finie de façon pas trop idiote !
Qu’est-ce que tu penses de l’application suivante ?
E ⟶ K^(n+1)
x ⟼ (φ1(x), …, φn(x), ψ(x))

Cela dit, pour en revenir à nos moutons, ta preuve est très bien sous l’hypothèse que E est de dimension finie, mais ne semble pas pouvoir fonctionner dans le cas général. Mais ce n’est pas très grave, on peut essayer de se ramener à de la dimension finie de façon pas trop idiote !

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Re: Exos pour futurs spés
On sèche ? 

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Re: Exos pour futurs spés
Non non c’est juste que j’étais en compétition sportive et quand je rentrerai chez moi je reprendrai les deux problèmes !
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Re: Exos pour futurs spés
Quant à moi j'encadre.un stage d'olympiade de maths donc je n ai pas une minute de.libre!
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
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Re: Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
En effet, ça marche bien !
Pour info, la solution à laquelle je pensais : si l’on appelle P l’opérateur :
E ⟶ K^{n+1}
x ⟼ (φ_1(x), …, φ_n(x), ψ(x))
alors il est clair que P n’est pas surjective, donc im(P) est inclus dans un hyperplan H, qui est le noyau d’une forme linéaire π = a_1 e_1* + … + a_{n+1} e_{n+1}*, d’où ∀ x ∈ E : a_1 φ_1(x) + … + a_n φ_n(x) + a_{n+1} ψ(x) = 0, ce qui conclut.
Pour info, la solution à laquelle je pensais : si l’on appelle P l’opérateur :
E ⟶ K^{n+1}
x ⟼ (φ_1(x), …, φ_n(x), ψ(x))
alors il est clair que P n’est pas surjective, donc im(P) est inclus dans un hyperplan H, qui est le noyau d’une forme linéaire π = a_1 e_1* + … + a_{n+1} e_{n+1}*, d’où ∀ x ∈ E : a_1 φ_1(x) + … + a_n φ_n(x) + a_{n+1} ψ(x) = 0, ce qui conclut.

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Re: Exos pour futurs spés
Exo 2 , j’espère que c’est correct (car c’est quand même long ma solution)
Exercice 7:
Soit M dans M2(Z) telle qu’il existe n dans N* tel que M^n=I où I est l’identité . Montrer alors que M^12=I
Edit: Très subtil ta solution Milton . Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ... mais maintenant je le saurais !
Spoiler :
Exercice 7:
Soit M dans M2(Z) telle qu’il existe n dans N* tel que M^n=I où I est l’identité . Montrer alors que M^12=I
Edit: Très subtil ta solution Milton . Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ... mais maintenant je le saurais !
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Re: Exos pour futurs spés
Yes, pour l’exo 2 c’est correct ! 
Oui bon par contre danger axiome du choix, hein.

Zrun a écrit :Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ...
Oui bon par contre danger axiome du choix, hein.

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Re: Exos pour futurs spés
Je le garde pour de la dimension finie alors 

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Re: Exos pour futurs spés
Il est dans le TD de Brevet ton exo 

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Re: Exos pour futurs spés
Ah d’accord mais bon comme en principe les futurs spés n’ont pas fait les TD de Brevet , ça passe ^^
Et puis il y a des moyens de le faire sans outils de spé même si c’est plus facile avec (dont certains sont déjà vus en sups à Fermat )
Et puis il y a des moyens de le faire sans outils de spé même si c’est plus facile avec (dont certains sont déjà vus en sups à Fermat )
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Re: Exos pour futurs spés
Effectivement je veux bien voir une preuve plus élémentaire.
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Re: Exos pour futurs spés
Désolé pour la preuvé élémentaire , il faudra repasser
.
Exercice 8 Un peu d'arithmétique car j'adore et que ca ne peut pas faire de mal
Trouver tous les nombres premiers p et q tel que :
p^2+1 divise (2003^q+1)
q^2+1 divise (2003^p+1)


Spoiler :
Exercice 8 Un peu d'arithmétique car j'adore et que ca ne peut pas faire de mal

Trouver tous les nombres premiers p et q tel que :
p^2+1 divise (2003^q+1)
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Re: Exos pour futurs spés
C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.
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Re: Exos pour futurs spés
thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.
Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.
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Re: Exos pour futurs spés
La preuve élémentaire c’est en gros la même idée mais tu regardes juste les polynômes caractéristiques possibles et tu en déduit le résultat par (longue) disjonction de cas...
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Re: Exos pour futurs spés
Mamoun a écrit :thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.
Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.
Non, c'est surtout que tu oublies le cas où le det vaut -1 et pas 1 x)
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Re: Exos pour futurs spés
thuiop a écrit :Mamoun a écrit :thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.
Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.
Non, c'est surtout que tu oublies le cas où le det vaut -1 et pas 1 x)
Le déterminant?Qu'est ce que ca vient faire ici ?
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Re: Exos pour futurs spés
Les valeurs propres ne sont pas forcément conjuguées, c'est le cas seulement si le déterminant vaut 1 (il vaut soit 1 soit -1 car il est dans Z).
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Re: Exos pour futurs spés
thuiop a écrit :Les valeurs propres ne sont pas forcément conjuguées, c'est le cas seulement si le déterminant vaut 1 (il vaut soit 1 soit -1 car il est dans Z).
Mais tr(M) est dans R et c est égal a la somme des 2 valeurs propres donc les valeurs propres ont même partie imaginaire et comme c est des racines énièmes elle ne sont pas forcément conjuguées


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Re: Exos pour futurs spés
A priori non : si les deux ont une partie imaginaire opposée, alors la trace sera dans R. Donc on pourrait prendre l'opposé d'une racine de l'unité comme deuxième valeur (on ne peut pas à cause du det en fait). En fait si tu examines le second cas tu fais apparaître 2isin(2kpi/n) dans R, et tu conclus facilement.
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Re: Exos pour futurs spés
Ben le deuxième cas il est exclus sauf à ce que sin(2kπ/n) = 0, non ? Parce que sinon, on se retrouverait avec une trace de matrice à coefficient dans Z qui serait imaginaire pure et non réelle…
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- thuiop
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Re: Exos pour futurs spés
Oui, donc le deuxième cas c'est uniquement pour les valeurs propres 1 et -1 et ça marche. Mais il ne faut pas l'occulter car on ne peut pas dire que les racines sont conjuguées uniquement avec la trace, il faut invoquer le déterminant.
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- Mamoun
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Re: Exos pour futurs spés
Quelques indication pour ceux qui essaient mon exo.
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Re: Exos pour futurs spés
Je tourne un peu en rond (ça fait longtemps que je n’ai plus fait de l’arithmétique)
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Re: Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
Je crois avoir trouvé . Est-ce que (2,2) est la seule solution ?
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Re: Exos pour futurs spés
Oui
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Re: Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
Not so easy.
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Re: Exos pour futurs spés
Certains racontent que c'est un exercice d'oral X-ENS.
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Re: Exos pour futurs spés
thuiop a écrit :Not so easy.
Effectivement il y a deux idées à avoir pas si évidentes que cela
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Re: Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
Effectivement j’ai bien truandé , quand j’ai écris cela j’ai pensé que r divisait p pour l’inégalité puis que r divisait p^2+1 pour la puissance de 2 ....bref je me suis bien embrouiller
C’est ça faire des maths en faisant du français en même temps ...
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Re: Exos pour futurs spés
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Re: Exos pour futurs spés
Je vais regarder ça ... Je suis vraiment une chèvre sur cet exo
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Re: Exos pour futurs spés
Ah je crois que je l’ai !
Je laisse l’exo que j’ai posté sauf si il est déjà connu !
Spoiler :
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Re: Exos pour futurs spés
C'est ça bravo!
Personellement je le connais, je l avais vu dans un livre :raisonnements divins.
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Re: Exos pour futurs spés
Un autre alors :
Exo:
Trouver f: Q+* -> Q+* telle que pour tous (x,y) rationnels strictement positifs : f(x(f(y))=f(x)/y
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Re: Exos pour futurs spés
Quelques indications comme la rentrée approche :
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Re: Exos pour futurs spés
Zrun a écrit :Edit: Très subtil ta solution Milton . Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ... mais maintenant je le saurais !
Plutôt utile ce petit truc en fait

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