Exos pour futurs spés

[Miltøn]

Heu, alors en voici deux, que j’espère ne pas avoir déjà donnés ici. ^^

1° Soit A une R-algèbre unitaire, commutative, intègre et de dimension finie. Montrer que A est isomorphe à R ou à C.

2° Soient K un corps, E un K-ev, φ_1, …, φ_n et ψ des formes linéaires sur E. Montrer que ψ ∈ Vect(φ_1, …, φ_n) si, et seulement si ker ψ contient l’intersection des ker(φ_i).

[Miltøn]

Alors ?
Pour le 1, commencez par montrer que A est un corps éventuellement.

[Zrun]

J’ai le 2, je posterai la solution tout à l’heure . Merci pour l’indication !

Edit :

Spoiler :

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4E5BC6CE-0948-4596-B62C-E8A70A1FAF60.jpeg (218.46 Kio) Consulté 119 fois

Je ne sais pas si les bases anteduales en dimension infinie est au programme mais bon qui suit vraiment le programme ??

[Darkpatric]

J’ai le 2

Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....

[Zrun]

J’ai le 2

Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....

Ah tu es sur ? Je vois de quel dm tu parles mais je me souviens de la question telle quelle ...

[Darkpatric]

C’etait En deux questions (mais on vas pas chipoter)
Il me semble

[Zrun]

Ok je te crois ! Peut-être il faudrait que je relise nos DMs avant la reprise

[Miltøn]

OK. Tu peux prouver l’existence de la base antéduale ?

Au fait, j’attends toujours la correction des rugbymen sans déterminants.

[Zrun]

En dimension finie je peux , via l’isomorphisme entre E et son bidual. En dimension infinie, je suis même pas sûr que ça existe dans tous les cas , faudrait que je trouve un autre moyen qui contourne l’utilisation de la base antéduale et après je pourrais me lancer dans le premier exo !

[Miltøn]

En fait en dimension infinie, ça n’a même pas forcément de sens de parler de base duale. Si tu te regardes par exemple E = R^(N) (les suites réelles à support fini) avec (e_n)_n la base canonique, les formes linéaires canoniquement associées aux e_n ne sont pas nécessairement une famille génératrice de E* (par exemple, que penses-tu de la forme linéaire qui a une suite associe la somme de ses termes ?). On peut même démontrer que dim(E) = dim(E*) ssi E est de dimension finie.

Cela dit, pour en revenir à nos moutons, ta preuve est très bien sous l’hypothèse que E est de dimension finie, mais ne semble pas pouvoir fonctionner dans le cas général. Mais ce n’est pas très grave, on peut essayer de se ramener à de la dimension finie de façon pas trop idiote ! Qu’est-ce que tu penses de l’application suivante ?
E ⟶ K^(n+1)
x ⟼ (φ1(x), …, φn(x), ψ(x))