une idée svp

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MRLIA
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une idée svp

Message par MRLIA » 13 déc. 2019, 00:38

a et b deux nombres réelS strictement positifs
tels que a^5-a^3+a≥3
Montrer que a^6≥5

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Hal
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Re: une idée svp

Message par Hal » 13 déc. 2019, 13:27

Va plutôt poster dans le forum Maths, j'effacerai ce topic dans 24 h parce qu'il n'a rien à faire ici.
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Re: une idée svp

Message par Miltøn » 13 déc. 2019, 22:45

(ça peut plutôt se déplacer ;-) )

C’est très mal posé. On se demande volontiers ce que fait là le nombre b…
Cela dit, ce n’est pas très difficile. On pose \(f : x \longmapsto x^5 - x^3 + x - 3\). \(f'\) est une fonction polynomiale de degré 4, associée à un polynôme bicarré dont on montre directement qu’il est strictement positif. Donc \(f\) est strictement croissante et admet une unique racine réelle \(z\). On peut chercher une minoration proche-mais-pas-trop de \(z\). Par une méthode de Newton en partant de 1, on trouve comme approximations successives de la racine :
  • \(x_0 = 2\)
  • \(x_1 = x_0 - \frac{f(x_0)}{f'(x_0)} = \frac{107}{65} \approx 1,646\)
  • \(x_2 = x_1 - \frac{f(x_1)}{f'(x_1)} = \frac{22027760539}{15592217225} \approx 1.413\)
  • \(x_3 = x_2 - \frac{f(x_2)}{f'(x_2)} = \frac{7857062692351686582895441049289256223789468567184023}{5959700281131989438168875130472616300330886974654625} \approx 1.318\)
On se rend compte que \(1.31^6 \approx 5.05 > 5\), et on a \(f(1.31) \approx -0.08\), donc \(z > 1.31\). Par conséquent, si \(a\) vérifie la condition de l’énoncé (qui équivaut à \(f(a) \ge 0\)), on a \(a \ge z > 1.31\) et donc \(a^6 > 1.31^6 > 5\), ce qui conclut.
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Re: une idée svp

Message par Miltøn » 14 déc. 2019, 12:34

(Pour le plaisir, j’ai essayé de calculer les approximations dans la méthode de Newton à des ordres plus élevés. À \(x_9\), j’ai 162 000 chiffres au numérateur et au dénominateur. :p )
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Re: une idée svp

Message par Csdo » 28 déc. 2019, 20:43

La personne voulait une idée, ça fait une idée sacrément développée pour le coup :lol:
CSDO 12-13
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Re: une idée svp

Message par Miltøn » 31 déc. 2019, 12:16

Oups. :p
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