Nouveaux bizuths = nouveau challenge

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Jean-Batman
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Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 18 juin 2013, 21:51

Compilation des exos rigolos vus cette année (en colle ou pas) :

MATHS :

1) colle Arahan :
Soient A, B et C dans le plan complexe. On établit une bijection entre R² et C (affixes, toussa...). On a |a|=|b|=|c|
Montrer que "ABC équilatéral" <=> a+b+c=0

2) Exo Michou :
"Un collectionneur rentre de l'expédition avec un nombre impair de joyaux.
Lorsqu'il en retire un au hasard de la collection, les joyaux restants sont partitionnables en deux tas de joyaux égaux en nombre et en masse.
Montrer que tous les joyaux ont la même masse."
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 19 juin 2013, 18:19

Y’a pas moyen de foutre du LaTeX ici ? :evil:

Alors pour le premier, dans le sens direct, je pose θ = Arg a et r = |a|. On a Arg b = θ + 2ᴨ/3 et Arg c = θ - 2ᴨ/3. Donc on a : a+b+c = r(exp(θi)+exp((θ + 2ᴨ/3)i)+exp((θ - 2ᴨ/3)i) = r × exp(θi) × (1+exp(2ᴨi/3)+exp(-2ᴨi/3)) = 0.

Et dans le sens réciproque, je pose r = |a|, θ = Arg a, α=(ŌĀ, ŌB) et β = (ŌĀ, ŌC).
On a alors r × exp(θi) × (1 + exp(αi) + exp(βi)) = 0. Or r > 0 (car A, B et C sont distincts), et exp(θi) != 0 donc on a exp(αi) + exp(βi) = -1.
De là, Im(exp(αi) + exp(βi)) = Im -1 = 0 d’où Im exp(αi) = -Im exp(βi), sin(α) = -sin(β) et donc α = -β. D’autre part, Re(exp(αi) + exp(βi)) = Re -1 = -1 donc cos(α)+cos(β) = -1 soit d’après ce qui a été dit, 2cos(α) = -1 et cos(α) = -1/2. Donc on a α = -2ᴨ/3 et β = 2ᴨ/3 ou le contraire et ainsi, ABC équilatéral.

Je regarde le deuxième après les maths demain… C’est juste ?
Dernière édition par Miltøn le 19 juin 2013, 18:24, édité 1 fois.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 19 juin 2013, 18:22

zut, doublon…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 19 juin 2013, 20:52

Milton a écrit :Y’a pas moyen de foutre du LaTeX ici ? :evil:

Alors pour le premier, dans le sens direct, je pose θ = Arg a et r = |a|. On a Arg b = θ + 2ᴨ/3 et Arg c = θ - 2ᴨ/3. Donc on a : a+b+c = r(exp(θi)+exp((θ + 2ᴨ/3)i)+exp((θ - 2ᴨ/3)i) = r × exp(θi) × (1+exp(2ᴨi/3)+exp(-2ᴨi/3)) = 0.

Et dans le sens réciproque, je pose r = |a|, θ = Arg a, α=(ŌĀ, ŌB) et β = (ŌĀ, ŌC).
On a alors r × exp(θi) × (1 + exp(αi) + exp(βi)) = 0. Or r > 0 (car A, B et C sont distincts), et exp(θi) != 0 donc on a exp(αi) + exp(βi) = -1.
De là, Im(exp(αi) + exp(βi)) = Im -1 = 0 d’où Im exp(αi) = -Im exp(βi), sin(α) = -sin(β) et donc α = -β. D’autre part, Re(exp(αi) + exp(βi)) = Re -1 = -1 donc cos(α)+cos(β) = -1 soit d’après ce qui a été dit, 2cos(α) = -1 et cos(α) = -1/2. Donc on a α = -2ᴨ/3 et β = 2ᴨ/3 ou le contraire et ainsi, ABC équilatéral.

Je regarde le deuxième après les maths demain… C’est juste ?

C'est bien pour la démarche, tu utilises les complexes à bon escient.
Un ou deux passages à préciser au cas où, bien que je pense que tu en sois conscient :

>> Qu'est-ce qui te permet de dire que 1+exp(2iᴨ/3)+exp(4iᴨ/3) = 0 ? Tu sais généraliser ?
>> Attention, on a r>0 non pas parce que A, B et C sont distincts, mais parce que l'on fixe arbitrairement A en un endroit différent de celui de O=(0,0).
>> sin(a) = -sin(b) => a = -b mod 2ᴨ
>> On pouvait bien envisager le sens direct par de la géométrie de lycée : Si ABC est équilatéral, alors son centre d'inertie vérifie...
Sinon je n'ai pas vu d'autres points dignes de remarque, très bien !

Et sinon nous ne pouvons malheureusement pas mettre du LaTeX par ici, malheureusement. Même la version mikteX coûte assez lourd à installer... Patiente ou utilise un éditeur qui te permettra de nous fournir de jolies images. Je pense déjà à codecogs que j'utilise encore aujourd'hui lors de pénuries sur les sites que je fréquente.
Contente-toi d'écrire ainsi, c'est rapide, minimaliste mais simple et on comprend bien.

____________________________________

Défi n°2 :

Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Bonne chance ! ;)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 17:05

Jean-Batman a écrit :>> Qu'est-ce qui te permet de dire que 1+exp(2iᴨ/3)+exp(4iᴨ/3) = 0 ? Tu sais généraliser ?

Euh bah oui, là c’est plus qu’évident, il suffit de remplacer exp(ix) par cos(x) + i×sin(x)… :shock:
Jean-Batman a écrit :>> Attention, on a r>0 non pas parce que A, B et C sont distincts, mais parce que l'on fixe arbitrairement A en un endroit différent de celui de O=(0,0).

Ben c’est pas précisé explicitement dans les conditions initiales, tout ce qu’on dit c’est qu’ils sont équidistants de l’origine. Mais comme ils ne sont pas confondus, ils sont évidemment distincts de l’origine et le module de leur affixe est nécessairement non nul…
Jean-Batman a écrit :>> sin(a) = -sin(b) => a = -b mod 2ᴨ

Oui, erreur de ma part, j’ai tendance à oublier ces p*tains de congruences modulo 2ᴨ…
Jean-Batman a écrit :>> On pouvait bien envisager le sens direct par de la géométrie de lycée : Si ABC est équilatéral, alors son centre d'inertie vérifie...

Ah ? J’avoue ne pas voir quelle propriété utiliser… On nous a raboté pas mal de géométrie avec la réforme, notamment les barycentres…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 17:11

Jean-Batman a écrit :2) Exo Michou :
"Un collectionneur rentre de l'expédition avec un nombre impair de joyaux.
Lorsqu'il en retire un au hasard de la collection, les joyaux restants sont partitionnables en deux tas de joyaux égaux en nombre et en masse.
Montrer que tous les joyaux ont la même masse."

Je ne comprends pas vraiment… Si on retire un joyau quelconque, ça fait un tas d’un nombre pair de joyaux. Dès lors, si on peut séparer ce tas en deux tas de même nombre de joyaux et de même masse n’importe comment, ça veut pas forcément dire qu’ils sont tous de même masse ? :shock:

Jean-Batman a écrit :Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Euh… On est sensés pouvoir faire ça en sortant de TS ? o.O
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 20 juin 2013, 18:26

Jean-Batman a écrit :Défi n°2 :

Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Bonne chance ! ;)


Je propose une réponse un peu (beaucoup) foireuse mais comme je n'ai pas vraiment d'idées sur la façon de procéder :

La température consiste en une agitation de molécules dans un volume donné, mais comme un point est infinitésimal alors pour tout point il n'y a pas de mouvement et donc la température est de 0 degré kelvin.
Il suffit donc de considérer deux points diamétralement opposés quelconques de la sphère et ils auront la même température, soit 0 dégré kelvin.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 18:38

Wave a écrit :La température consiste en une agitation de molécules dans un volume donné, mais comme un point est infinitésimal alors pour tout point il n'y a pas de mouvement et donc la température est de 0 degré kelvin.
Il suffit donc de considérer deux points diamétralement opposés quelconques de la sphère et ils auront la même température, soit 0 dégré kelvin.

J’arrive pas à trouver la faille… Je pense que c’est l’idée de considérer un point de taille infinitésimale, ce qui n’a pas de sens en physique (je crois que d’après la théorie quantique, la plus petite distance mesurable en physique est de l’ordre de 10⁻⁴⁴…
Pour ma part, j’aurais tendance à penser qu’il y a une histoire de continuité dans la température (si on suit le chemin entre deux points de température T_1 et T_2, on passe au moins une fois par toutes les valeurs comprises entre T_1 et T_2), mais après, pour développer… :x
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar lavi » 20 juin 2013, 18:52

Jean-Batman a écrit :Défi n°2 :

Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Bonne chance ! ;)


Mais Jb tu le sors d'où cet exo ???

@wave : j'aime bien cette magnifique idée d'arnaqueur, je sens qu'on va bien s'entendre :mrgreen:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 20 juin 2013, 19:03

Milton a écrit :J’arrive pas à trouver la faille… Je pense que c’est l’idée de considérer un point de taille infinitésimale, ce qui n’a pas de sens en physique (je crois que d’après la théorie quantique, la plus petite distance mesurable en physique est de l’ordre de 10⁻⁴⁴…

Et tu penses que pour une distance de 10^-44 tu vas avoir beaucoup de mouvements ?
Le raisonnement foireux tiens toujours la route :P

lavi a écrit :@wave : j'aime bien cette magnifique idée d'arnaqueur, je sens qu'on va bien s'entendre :mrgreen:

Merci, merci je sais faire ça au moins :P


Sinon c'est peut-être une bonne idée l'histoire de la continuité il faudrait voir si on peut creuser ça...
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 19:35

Wave a écrit :Et tu penses que pour une distance de 10^-44 tu vas avoir beaucoup de mouvements ?
Le raisonnement foireux tiens toujours la route :P

Y’a pas de raison. S’il existe des particules de cette taille, elles ne doivent pas peser bien lourd. Donc leur agitation thermique doit être relativement très importante !
Au passage, je m’a gouré, c’est 10⁻³⁵…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 20 juin 2013, 19:46

Milton a écrit :
Wave a écrit :Et tu penses que pour une distance de 10^-44 tu vas avoir beaucoup de mouvements ?
Le raisonnement foireux tiens toujours la route :P

Y’a pas de raison. S’il existe des particules de cette taille, elles ne doivent pas peser bien lourd. Donc leur agitation thermique doit être relativement très importante !
Au passage, je m’a gouré, c’est 10⁻³⁵…

Des particules de cette taille ? Et pourquoi pas des pères noëls nanométriques ? :roll:

Sinon d'après la page wikipédia il existe le temps de planck à 10^-44
http://fr.wikipedia.org/wiki/Temps_de_Planck
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 20:02

Wave a écrit :Des particules de cette taille ? Et pourquoi pas des pères noëls nanométriques ? :roll:

Sinon d'après la page wikipédia il existe le temps de planck à 10^-44
http://fr.wikipedia.org/wiki/Temps_de_Planck

Et pourquoi pas ? On a pas encore exploré aussi bas, mais la théorie des cordes suppose que ce serait la taille d’une « corde », alors…
Ouais, c’est là que j’avais vu le 10⁻⁴⁴ et le 10⁻³⁵ ;-)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar MeIdmry » 20 juin 2013, 20:55

On peut commencer par simplifier le problème en considérant un cercle à la place d'une sphère. On centre ce cercle en l'origine et on étudie la fonction
g(x)=T(x)-T(-x), où T(x) désigne la température au point x. Il n'est pas physiquement désagréable de supposer que T est continue. Que peut-on alors dire de g ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 21:03

Maitreidmry a écrit :On peut commencer par simplifier le problème en considérant un cercle à la place d'une sphère. On centre ce cercle en l'origine et on étudie la fonction
g(x)=T(x)-T(-x), où T(x) désigne la température au point x. Il n'est pas physiquement désagréable de supposer que T est continue. Que peut-on alors dire de g ?

Mais x, c’est quoi ? Un réel ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar MeIdmry » 20 juin 2013, 21:06

La fonction g que j'ai définie va du cercle dans R. Si tu veux, cela revient à considérer la fonction h(u)=T(e^{iu})-T(-e^{iu}) de [0,2pi] dans R.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 20 juin 2013, 21:19

Maitreidmry a écrit :La fonction g que j'ai définie va du cercle dans R. Si tu veux, cela revient à considérer la fonction h(u)=T(e^{iu})-T(-e^{iu}) de [0,2pi] dans R.

Okay, d’accord… Mmh… j’y réfléchis, merci pour la piste !
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 20 juin 2013, 22:51

Milton est encore le plus proche de la solution en suggérant la piste de la continuité.
Non, nous ne parlons pas physique, je l'aurais fait remarquer sinon.
Et ce problème me rappelle étrangement le théorème de la boule chevelue, même si seule l'analyse réunit à première vue ces deux problèmes de topologie.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 20 juin 2013, 23:01

Milton a écrit :
Jean-Batman a écrit :2) Exo Michou :
"Un collectionneur rentre de l'expédition avec un nombre impair de joyaux.
Lorsqu'il en retire un au hasard de la collection, les joyaux restants sont partitionnables en deux tas de joyaux égaux en nombre et en masse.
Montrer que tous les joyaux ont la même masse."

Je ne comprends pas vraiment… Si on retire un joyau quelconque, ça fait un tas d’un nombre pair de joyaux. Dès lors, si on peut séparer ce tas en deux tas de même nombre de joyaux et de même masse n’importe comment, ça veut pas forcément dire qu’ils sont tous de même masse ? :shock:

Jean-Batman a écrit :Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Euh… On est sensés pouvoir faire ça en sortant de TS ? o.O

Quick conclusion for the first statement.

Trop rapide même... Et cela ne constitue pas le moindre bout de démonstration mathématique ;)
Essaie seulement de retraduire formellement le problème, ce sera déjà bien. On verra après pour la suite.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar lavi » 21 juin 2013, 06:56

Jean-Batman a écrit :
Milton a écrit :
Jean-Batman a écrit :2) Exo Michou :
"Un collectionneur rentre de l'expédition avec un nombre impair de joyaux.
Lorsqu'il en retire un au hasard de la collection, les joyaux restants sont partitionnables en deux tas de joyaux égaux en nombre et en masse.
Montrer que tous les joyaux ont la même masse."

Je ne comprends pas vraiment… Si on retire un joyau quelconque, ça fait un tas d’un nombre pair de joyaux. Dès lors, si on peut séparer ce tas en deux tas de même nombre de joyaux et de même masse n’importe comment, ça veut pas forcément dire qu’ils sont tous de même masse ? :shock:

Jean-Batman a écrit :Considérons la sphère terrestre. Montrer qu'il existe deux points diamétralement opposés de même température.

Euh… On est sensés pouvoir faire ça en sortant de TS ? o.O

Quick conclusion for the first statement.

Trop rapide même... Et cela ne constitue pas le moindre bout de démonstration mathématique ;)
Essaie seulement de retraduire formellement le problème, ce sera déjà bien. On verra après pour la suite.


Jean-batman... passe des pb gérables aux bizuths ils vont pas te faire des raisonnements avec des matrices n*n comme s'ils étaient en spé !
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 21 juin 2013, 08:14

Du coup vous nous avez pas mal aidé avec la fonction (et je remercie Milton pour avoir trouvé la continuité)

Comme je n'aime pas écrire des formules en format texte comme ça je l'ai fait sur word et je vais mettre une image ici :mrgreen:

Image

Est-ce que ma démonstration est correcte ?

Sinon j'ai découvert ce magnifique topic hier soir et je pense que je vais y rester un moment :D
(En attendant j'avais prévu de me remettre en mémoire la SVT ce matin donc je ne vais pas directement chercher le problème suivant...)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 21 juin 2013, 10:53

Bon, je suis revenu et j'ai attaqué l'exercice 2.
Pour rappel l'énoncé était :
Jean-Batman a écrit :2) Exo Michou :
"Un collectionneur rentre de l'expédition avec un nombre impair de joyaux.
Lorsqu'il en retire un au hasard de la collection, les joyaux restants sont partitionnables en deux tas de joyaux égaux en nombre et en masse.
Montrer que tous les joyaux ont la même masse."


Donc ma solution :
Image
Image

Est-ce que ma démonstration est correcte, parce que j'ai de sérieux doutes... :oops:
Après j'espère que c'est compréhensible et pas trop embrouillé.

Et désolé pour la taille des images mais au moins c'est lisible :lol:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar tphi » 21 juin 2013, 16:25

Wave a écrit :La température consiste en une agitation de molécules dans un volume donné, mais comme un point est infinitésimal alors pour tout point il n'y a pas de mouvement et donc la température est de 0 degré kelvin.
Il suffit donc de considérer deux points diamétralement opposés quelconques de la sphère et ils auront la même température, soit 0 dégré kelvin.


Alors là, c'est la plus belle arnaque que j'ai lu de ma courte carrière scientifique. Toi, tu vas adorer la chimie des solutions et la diffusion thermique :lol:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 21 juin 2013, 17:32

Jean-Batman a écrit :Milton est encore le plus proche de la solution en suggérant la piste de la continuité.
Non, nous ne parlons pas physique, je l'aurais fait remarquer sinon.
Et ce problème me rappelle étrangement le théorème de la boule chevelue, même si seule l'analyse réunit à première vue ces deux problèmes de topologie.

Ça tombe bien, je pense avoir trouvé. En gros, je prends la fonction T de [-pi;pi] dans R+ qui associe au point x sa température. T est continue, et la fonction x->-x l’est aussi, donc la fonction F telle que F(x) = T(x) - T(-x) est continue, par composition et opérations. Ainsi, F(-x) = -F(x). Si on prend le point p tel que F(p) > 0 (je ne vais pas démontrer son existence, hein ^^), F(-p) < 0 et d’après le TVI, il existe au moins un point q tel que F(q) = 0, soit T(-q) = T(q). QED.

EDIT : Ah, zut, j’avais pas vu la page 2 et la démonstration de Wave…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar MeIdmry » 21 juin 2013, 17:43

Plus simplement, mais cela revient au même, on a h(0)=-h(Pi) donc par le TVI, il existe x dans [0,Pi] tel que h(x)=0.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar lavi » 21 juin 2013, 17:56

@wave : je n'ai pas bien compris ton raisonnement avec les M1+ dM différent de M2... pourrais-tu me le rexpliquer ?

et félicitations pour cette démo, j'avais oublié la puissance de la récurrence ^^ (PS : la vérité c'est que l'exo a été donné à michou par jean-batman et que sa démo utilise des matrices n*n donc oui tu peux le taper allégrement !)
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Messagepar Wave » 21 juin 2013, 18:22

lavi a écrit :@wave : je n'ai pas bien compris ton raisonnement avec les M1+ dM différent de M2... pourrais-tu me le rexpliquer ?

et félicitations pour cette démo, j'avais oublié la puissance de la récurrence ^^ (PS : la vérité c'est que l'exo a été donné à michou par jean-batman et que sa démo utilise des matrices n*n donc oui tu peux le taper allégrement !)

Bon, on va voir si ma démo lui convient...
C'est faisable à notre niveau son truc avec des matrices n*n ? :shock:

Sinon ce que je voulais dire c'est que l'hypothèse de récurrence nous donne :
M1 différent de M2 pour n
Mais pour n+1 cela revient à remplacer un joyau de masse m par un joyau de masse m'
Donc la différence totale (somme de tous les joyaux) de masse sera : dm=m-m'
Et comme on va laisser le joyau de masse m de côté cela signifie que cette différence dm va avoir lieu soit dans M1 soit dans M2
Et donc si on choisit de remplacer un joyau dans M1 la nouvelle masse de ce groupe sera M1+dm
Mais on cherche à ce que M1+dm soit différent de M2
Donc soit ça l'est et on est content, soit ça ne l'est pas et dans ce cas il suffit de répartir les groupes de la façon suivante : "M1" et "M2+dm" (qui sont forcément différents puisque dm non nul)

J'espère que c'est plus clair. :wink:
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Messagepar lavi » 21 juin 2013, 18:39

ok je crois comprendre. Bien joué.

Wave a écrit :C'est faisable à notre niveau son truc avec des matrices n*n ? :shock:


Non absolument pas, je vais ressortir mon RPG-7 du placard et partir à la chasse au jean-batman pour la peine. :twisted:
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Messagepar MeIdmry » 21 juin 2013, 19:28

On va corser un peu l'exercice :
On considère une fonction f continue de la sphère (de R^3) dans R^2. Montrer qu'il existe deux points antipodaux ayant même image.

(on peut généraliser, mais c'est beaucoup plus difficile, à f continue de la sphère de R^n (notée habituellement S^{n-1}) dans R^{n-1}. Remarquez que vous venez de traiter le cas n=1 et que je vous demande le cas n=2 :) )
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Messagepar Wave » 21 juin 2013, 19:31

lavi a écrit :Non absolument pas, je vais ressortir mon RPG-7 du placard et partir à la chasse au jean-batman pour la peine. :twisted:

La saison est ouverte ? :shock:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar MeIdmry » 21 juin 2013, 19:32

Et essayez de voir comment on peut en déduire le corollaire suivant :
Si trois fermés recouvrent une sphère, l'un au moins contient deux points antipodaux.
(intuitivement, on dit qu'une partie est fermée si elle contient son bord)
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Messagepar Wave » 21 juin 2013, 19:35

Je fais un tour sur wikipédia pour le vocabulaire et je m'y attelle :)
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Messagepar Wave » 21 juin 2013, 19:45

Bon en fait je pense que ça va me prendre un certain temps pour bien comprendre la notion de R² donc je vais voir ça plus en détail demain... :oops:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 21 juin 2013, 20:23

En gros, R² c'est le plan.
On lui associe souvent une base canonique et orthongale (e1,e2) en l'affublant du rôle d'espace vectoriel, car tout élément de R² est un point (si on le regarde du point de vue espace affine) mais surtout un vecteur dans R², c'est-à-dire un machin qui a deux composantes.

Breffons, Nicolas veut vous faire toucher aux applications de deux variables, et donc la première difficulté se trouvera sans doute au niveau de la continuité d'une telle application dans R². Il faut montrer par le biais des applications partielles que la fonction reste continue quelle que soit la direction avec laquelle on approche n'importe quel point de la sphère.

Ta démonstration est un peu loufoque, wave; J'aimerais bien essayer de la comprendre. Je sais pas si l'hérédité a une possible incidence structurelle sur ton hypothèse de contradiction. Mais je ne peux pas en juger en ayant survolé ton billet. Je vais essayer de m'y pencher un peu plus ce soir.

Sinon je t'engage sur cette piste :
L'aventurier enlève le k-ième joyau (k dans [[1,2n+1]]), et alors pour un tel k fixé, nous avons une égalité entre deux sommes que je te laisse écrire.
En ramenant le tout d'un seul côté, tu as une ligne d'un système (2n+1)*(2n+1) qui a un certain sens matriciel...
Et sachant que vous avez vu les matrices en spé, je suis sûr que vous pouvez avancer un peu.

@lavi : J'annonce une pantalon-vert grillade party en contre-partie.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar MeIdmry » 21 juin 2013, 22:50

Jean-Batman a écrit :Breffons, Nicolas veut vous faire toucher aux applications de deux variables, et donc la première difficulté se trouvera sans doute au niveau de la continuité d'une telle application dans R². Il faut montrer par le biais des applications partielles que la fonction reste continue quelle que soit la direction avec laquelle on approche n'importe quel point de la sphère.


Oui, mon application est à variable vectorielle mais cela n'est pas si important que ça dans le raisonnement. Il suffit de s'imaginer x un point de la sphère S^2 (de R^3) et de s'imaginer la fonction f comme dépendant de x. La notion de continuité est alors très simple : "deux points proches sur la sphère auront des images proches dans R^2".

Une indication : on va raisonner par l'absurde et supposer qu'il n'existe aucun point x de S^2 tel que f(x)=f(-x). On va poser :
Image
Que peut-on dire de g ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar lavi » 22 juin 2013, 09:36

Wave a écrit :
lavi a écrit :Non absolument pas, je vais ressortir mon RPG-7 du placard et partir à la chasse au jean-batman pour la peine. :twisted:

La saison est ouverte ? :shock:


Oui depuis 4 jours petit chanceux ! :mrgreen:
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Messagepar Wave » 22 juin 2013, 10:06

Jean-Batman a écrit :Ta démonstration est un peu loufoque, wave; J'aimerais bien essayer de la comprendre. Je sais pas si l'hérédité a une possible incidence structurelle sur ton hypothèse de contradiction. Mais je ne peux pas en juger en ayant survolé ton billet. Je vais essayer de m'y pencher un peu plus ce soir.

Sinon je t'engage sur cette piste :
L'aventurier enlève le k-ième joyau (k dans [[1,2n+1]]), et alors pour un tel k fixé, nous avons une égalité entre deux sommes que je te laisse écrire.
En ramenant le tout d'un seul côté, tu as une ligne d'un système (2n+1)*(2n+1) qui a un certain sens matriciel...
Et sachant que vous avez vu les matrices en spé, je suis sûr que vous pouvez avancer un peu.

C'est que tu y tiens à tes matrices toi !

Donc je vais voir si je peux avancer un peu avec ça mais j'aimerais tout de même savoir si ma démo par récurrence est juste.
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Messagepar Wave » 22 juin 2013, 10:54

Jean-Batman a écrit :Sinon je t'engage sur cette piste :
L'aventurier enlève le k-ième joyau (k dans [[1,2n+1]]), et alors pour un tel k fixé, nous avons une égalité entre deux sommes que je te laisse écrire.
En ramenant le tout d'un seul côté, tu as une ligne d'un système (2n+1)*(2n+1) qui a un certain sens matriciel...
Et sachant que vous avez vu les matrices en spé, je suis sûr que vous pouvez avancer un peu.


Bon, j'ai essayé de suivre ton conseil pour le début, mais je suis très vite parti dans une autre direction (en fait je n'ai même pas atteint ta 2e ligne...)
Bon, cette fois-ci j'émets un très sérieux doute quant à la validité de la démonstration, mais la voici :
Image
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 23 juin 2013, 09:29

Salut wave,

Ta démonstration a une apparence solide. Chacun de tes arguments se tient, mais il existe des écueils :
Ton indexation est fixe, ce qui fait perdre tout son sens au réarrangement des joyaux. Et c'est ça qui fait bloquer ta démonstration.
Aies à l'esprit que la visée même de cet exo est de te montrer qu'il faut raisonner sans perte de généralité, ce que tu ne fais pas.
Puis la contradiction finale ne vient pas du fait que si k=n+1, alors M[1,n+1]=M[n+2,2n+1]. C'est tout simplement parce qu'il s'agit de l'hypothèse principale de l'énoncé.

Mais c'est bien essayé, et j'aime quand même la façon dont tu utilises l'absurde... Mais tu l'utilises sans doute un peu trop, quitte à te focaliser un peu trop là-dessus.
Tu perds alors de vue d'autres manières de voir l'énoncé.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 23 juin 2013, 09:41

Euh, je suis peut-être très con ( :oops: ), mais il y a un point que je ne comprends pas dans ta démonstration : tu commence par dire qu’il y a n+1 joyaux, puis tu dis ensuite que l’on retire le ke (comment on met un texte en indice ?) joyau, avec k ∈ [[1;2n+1]]… Que représente k si k>n+1 ? :o
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 23 juin 2013, 10:09

Milton a écrit :Euh, je suis peut-être très con ( :oops: ), mais il y a un point que je ne comprends pas dans ta démonstration : tu commence par dire qu’il y a n+1 joyaux, puis tu dis ensuite que l’on retire le ke (comment on met un texte en indice ?) joyau, avec k ∈ [[1;2n+1]]… Que représente k si k>n+1 ? :o

Il a dû se tromper en éditant, vu qu'il utilisait la syntaxe N+1=impair au lieu de 2k+1 ou 2n+1 lors de sa première démonstration.
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Messagepar Wave » 23 juin 2013, 10:18

Milton a écrit :Euh, je suis peut-être très con ( :oops: ), mais il y a un point que je ne comprends pas dans ta démonstration : tu commence par dire qu’il y a n+1 joyaux, puis tu dis ensuite que l’on retire le ke (comment on met un texte en indice ?) joyau, avec k ∈ [[1;2n+1]]… Que représente k si k>n+1 ? :o

C'est bien vu... En fait c'est que j'ai fait un copié collé de ma méthode 1 dans laquelle il y avait N+1 joyaux et du coup en la modifiant j'ai oublié d'écrire le 2 pour 2n+1 :oops:
Donc il y a bien 2n+1 joyaux et ainsi k a un sens si k>n+1. Désolé pour ceci.

Jean-Batman a écrit :Ton indexation est fixe, ce qui fait perdre tout son sens au réarrangement des joyaux. Et c'est ça qui fait bloquer ta démonstration.

En fait ce que je voulais faire (mais visiblement ça n'a pas marché) c'est montrer que pour tout k<n+1 et k'>n+1 on a M[k]=M[k']
Ainsi cela signifierait que pour tout i∈[1;n] on aurait M[i]=M[k'] et pour tout j∈[n+2;2n+1] on aurait M[j]=M[k]
Et donc on aurait M[i]=M[j] et il ne resterait qu'à montrer que M[n+1]=M[i] (ce qui est évident en inversant 2 joyaux car ce n'est qu'un cas particulier) pour montrer que tous les joyaux auraient la même masse.

Donc en fait je ne vois pas pourquoi cette partie du raisonnement fait perdre de la généralité.
Par contre effectivement si le raisonnement par l'absurde lui-même est faux dans ce cas c'est sûr qu'il y a perte de généralité :cry:
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Messagepar Jean-Batman » 23 juin 2013, 10:27

Ce que j'entends par perte de généralité, c'est que tu scindes le tas en deux au milieu et n'envisages pas de couper la collection en de petits tas de joyaux et de les recoller aléatoirement en deux tas de même "cardinal".
Dans ton cas on n'envisage qu'un cas de figure. Mais il faut généraliser sur les indices.
Donc le choix de travailler sur les indices n'est pas pertinent : Il faut travailler sur des ensembles !

Le problème avec cet exo est qu'il ne propose pas beaucoup de voies de résolution. Mon prof et moi n'en avons vu qu'une seule...
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Messagepar Miltøn » 23 juin 2013, 10:55

Jean-Batman a écrit :Ce que j'entends par perte de généralité, c'est que tu scindes le tas en deux au milieu et n'envisages pas de couper la collection en de petits tas de joyaux et de les recoller aléatoirement en deux tas de même "cardinal".


Oui, mais l’ordre qu’il donne à ses joyaux est quelconque, non ?
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Messagepar Wave » 23 juin 2013, 12:50

Jean-Batman a écrit :Ce que j'entends par perte de généralité, c'est que tu scindes le tas en deux au milieu et n'envisages pas de couper la collection en de petits tas de joyaux et de les recoller aléatoirement en deux tas de même "cardinal".
Dans ton cas on n'envisage qu'un cas de figure. Mais il faut généraliser sur les indices.
Donc le choix de travailler sur les indices n'est pas pertinent : Il faut travailler sur des ensembles !

Le problème avec cet exo est qu'il ne propose pas beaucoup de voies de résolution. Mon prof et moi n'en avons vu qu'une seule...

Sur les ensembles j'ai juste réussi à formaliser le problème et puis j'ai eu l'impression d'avoir trouvé un moyen de le résoudre mais ce n'était qu'une impression... :cry:

Et est-ce que tu penses réellement que l'on est capable de découvrir ta solution avec les matrices n*n parce que personnellement j'en doute. :oops:

Milton a écrit :Oui, mais l’ordre qu’il donne à ses joyaux est quelconque, non ?

C'est exact mais le problème c'est que l'ordre est seulement quelconque au début, etdu coup il reste le même lors du tirage du k-ième joyau et lors du tirage du k'-ième joyau alors que 'lon pourrait très bien imaginer qu'il change à ce moment là. (j'ai mis du temps à comprendre ça :oops: )

Jean-Batman a écrit :Ta démonstration est un peu loufoque, wave; J'aimerais bien essayer de la comprendre. Je sais pas si l'hérédité a une possible incidence structurelle sur ton hypothèse de contradiction. Mais je ne peux pas en juger en ayant survolé ton billet. Je vais essayer de m'y pencher un peu plus ce soir.

Et alors elle donne quoi cette première méthode en fin de compte ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 24 juin 2013, 11:34

Voici la correction que j'ai postée sur ce site : http://www.fichier-pdf.fr/2013/06/24/l- ... -diamants/

Je m'attendais à ce que vous vous arrêtiez à la fin de la première partie.
Le reste est HS en ce qui vous concerne.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 24 juin 2013, 13:34

Jean-Batman a écrit :Voici la correction que j'ai postée sur ce site : http://www.fichier-pdf.fr/2013/06/24/l- ... -diamants/

Je m'attendais à ce que vous vous arrêtiez à la fin de la première partie.
Le reste est HS en ce qui vous concerne.

Euh… Ouais… En effet… C’est du niveau MPSI ou MP les notions abordées en partie 2 et 3 ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 24 juin 2013, 15:39

Tout est niveau maths sup. Il faut de la jugeote.
Extrait d'un oral de l'ENS à ce qu'il parait...
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 24 juin 2013, 22:24

Bon bon bon...

J'ai mis la barre trop haut, même MeIdmry n'était pas aussi exigeant avec nous.
Alors pour des problèmes encore élégants mais plus "gérables", je vous donne :

I) Pour les inconditionnels d'arithmétique :

Deux exos pas si évidents (le premier si en fait, le deuxième est difficile), mais je ne poste pas ceci dans la partie "défis" du site pour rien.

1) Soient a et b premiers entre eux. Montrer que tout nombre entier assez grand peut s'écrire N=ax+by, (x,y) dans N².
Quel est le plus grand entier ne pouvant pas s'écrire ainsi ?

2) Trouver tous les carrés parfaits ne s'écrivant qu'avec des "1" en base 9.
Rappel : Un entier n est dit carré parfait si et seulement si il existe un entier k tel que n=k².


II) De la combinatoire et des probas

1) On aligne n chasseurs en face de n lapins. Les chasseurs tirent au hasard sur un lapin sans se préoccuper de la cible du voisin. A quel nombre peut-on estimer le nombre de lapins survivants ?

2) Considérez un pavé [[1,n]]x[[1,n]]=[[1,n]]²
Combien existe-t-il de "carrés entiers", id est dont les sommets se situent sur des noeuds à coordonnées entières du type (a,b) (a et b entiers) du réseau [[1,n]]² ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 24 juin 2013, 23:37

Jean-Batman a écrit : Soient a et b premiers entre eux. Montrer que tout nombre entier assez grand peut s'écrire N=ax+by, (x,y) dans N².
Quel est le plus grand entier ne pouvant pas s'écrire ainsi ?

Est-ce qu’on a le droit d’utiliser la conjecture de Goldbach ? :P
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