Nouveaux bizuths = nouveau challenge

[Miltøn]

Mwoké… Alors je vais essayer de finir ça !

[JoanSivion]

Bon, comme ca a pas l'air de beaucoup avancer, voici une question intermédiaire

Résoudre dans C l'equation z^n = 1 (où n entier naturel non nul)

[Miltøn]

Bon, comme ca a pas l'air de beaucoup avancer, voici une question intermédiaire

Résoudre dans C l'equation z^n = 1 (où n entier naturel non nul)

Ça ce n’est pas bien difficile : c’est l’ensemble S = {e^(i×2π/n)|i ∊ [[0;n]]}
Le reste, je n’ai pas vraiment eu le temps de m’y concentrer

[JoanSivion]

Tu voulais plutot dire S = {e^(i×2kπ/n)|k ∊ [[0;n]]} , mais c'est une faute de frappe c'est pas très grave.

Par contre, ton indice se ballade soit entre 0 et n-1 soit entre 1 et n, car sinon tu as une redondance.

Bon alors maintenant à partir de ça, tu as quasiment tout l'exo de fait !

[Miltøn]

Tu voulais plutot dire S = {e^(i×2kπ/n)|k ∊ [[0;n]]} , mais c'est une faute de frappe c'est pas très grave.

Par contre, ton indice se ballade soit entre 0 et n-1 soit entre 1 et n, car sinon tu as une redondance.

Bon alors maintenant à partir de ça, tu as quasiment tout l'exo de fait !

Euh ouais, en fait j’avais pensé à i comme variable muette sans penser que c’était aussi l’unité imaginaire ^^
Bon, alors je vais regarder la suite cette nuit

[Miltøn]

Bon, évidemment, c’était une erreur de calcul stupide qui me bloquait…
Donc je pose P_n(x) = x^(2n) -2 cos(na) + 1.
On a alors P_n(x) = [x^n - cos(na)]² + 1 - cos²(na) = [x^n - cos(na)]² + sin²(na) = [x^n - cos(na)]² - [i sin(na)]² = [x^n - exp(nai)][x^n - exp(-nai)]

Ainsi, P_n(x) = 0 ⇔ x^n = exp(nai) ou x^n = exp(-nai) ⇔ x = exp((2kπ/n + a)i) ou x = exp((2kπ/n - a)i), avec k∊[[0;n-1]].

Et donc, on a :

factorisation.png (11.56 Kio) Consulté 725 fois

Est-ce que l’on peut bien parler de factorisation dans R[X] alors que mes racines sont complexes ?

[Mati]

Attention, pour ton deuxième facteur, ce n'est pas exp(i(2kπ/n -a)), mais exp(-i(2kπ/n +a)) !
Mise à part cette erreur de signe, ta factorisation est juste…mais dans C[X] !

Petite indication pour trouver dans R[X] : essaie de voir s'il existe des racines réelles de P_n sous certaines conditions…

[Miltøn]

Attention, pour ton deuxième facteur, ce n'est pas exp(i(2kπ/n -a)), mais exp(-i(2kπ/n +a)) !
Mise à part cette erreur de signe, ta factorisation est juste…mais dans C[X] !

Petite indication pour trouver dans R[X] : essaie de voir s'il existe des racines réelles de P_n sous certaines conditions…

Arf… Je dirais que c’est dans les cas où a est un multiple de 2pi/n, non ? Mais alors, dans ce cas, mon polynôme P_n ne sera pas complètement factorisé, si ?

[Mati]

Quelle racine as-tu dans ce cas là ? Quelle autre racine évidente tu peux trouver sous une autre condition ?
Après avoir répondu à ces questions, tu pourras envisager une petite disjonction de cas afin de résoudre l'exo

[lavi]

Attention, pour ton deuxième facteur, ce n'est pas exp(i(2kπ/n -a)), mais exp(-i(2kπ/n +a)) !

euh... tu es sûre ? moi je trouve comme milton, puisque (X/exp(-ia))^n = 1 d'où X*exp(ia)=exp(i*2kpi/n)

[Mati]

On a X^(2n) − 2 cos(na)X^n + 1 = (X^n − exp(ina))(X^n − e(−ina))
Tu es d'accord que exp(i(2kπ/n +a)) avec k qui appartient à {0,...,n-1} est racine de X^n - exp(ina) ? En conjuguant, on a les racines de X^n - exp(-ina)…

[lavi]

euh... oui autant pour moi, c'est juste une autre façon de parcourir l'ensemble des solutions puisque exp_complexe est 2pi périodique *facepalm*

[Timot]

Tu voulais plutot dire S = {e^(i×2kπ/n)|k ∊ [[0;n]]} , mais c'est une faute de frappe c'est pas très grave.

Par contre, ton indice se ballade soit entre 0 et n-1 soit entre 1 et n, car sinon tu as une redondance.

Bon alors maintenant à partir de ça, tu as quasiment tout l'exo de fait !

L'indice varie comme il a envie, il peut aller de moins l'infini à plus l'infini, tant qu'il contient un représentant de chacune des n classes d'équivalence.
Donc son ensemble S est bon. (chipoter pour chipoter, autant le faire jusqu'au bout )

[Miltøn]

Je relance le topic avec un petit exo si certains s'ennuient

Factoriser dans R[X] (c'est à dire "l'ensemble des polynômes à coefficients réels") : X^(2n) - 2cos(na)*X^(n) + 1 avec n un entier naturel non nul et a dans ]0;Pi[

(Cet exo utilise un bout de cours sur les complexes qui n'est pas au programme du lycée, néanmoins c'est un thème d'étude/exo fréquent en TS, donc bon )

Bouah, ça fait bizarre de retomber sur ce topic, un an après ^^