Nouveaux bizuths = nouveau challenge

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 25 juin 2013, 09:01

Milton a écrit :
Jean-Batman a écrit : Soient a et b premiers entre eux. Montrer que tout nombre entier assez grand peut s'écrire N=ax+by, (x,y) dans N².
Quel est le plus grand entier ne pouvant pas s'écrire ainsi ?

Est-ce qu’on a le droit d’utiliser la conjecture de Goldbach ? :P

Même si c'était autorisé cela ne marcherait qu'avec a et b premiers (en prenant x=y=1) et pour N pair :P

Comme je n'aurais pas trop le temps de me pencher dessus aujourd'hui j'espère qu'il en restera toujours demain matin :roll:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 25 juin 2013, 09:31

La conjecture de Goldbach n'est valable que pour des entiers pairs.
Regardons le problème d'un oeil plus scolaire : Un seul théorème bien formulé casse l'exo.
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Messagepar Wave » 25 juin 2013, 10:43

En tout cas pour (x,y) entiers relatif il est facile de montrer que cela marche pour tout N>0
En effet :
a et b étrangers.
=> PGCD(da,db)=d (d>0)
D'après l'identité de Bezout il existe x' et y' entiers tels que x'da+y'db=d, soit xa+yb=N

Après ça ne répond pas à la question posée mais c'était juste posté en passant. :P Maintenant je vais à mon oral d'histoire :cry:

Au fait, félicitation pour ton admission en XPC ! :wink:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 25 juin 2013, 12:40

Jean-Batman a écrit :La conjecture de Goldbach n'est valable que pour des entiers pairs.
Regardons le problème d'un oeil plus scolaire : Un seul théorème bien formulé casse l'exo.

Oui, oui… Simplement une ébauche de démonstration par l’absurde en s’appuyant dessus et utilisant Goldbach m’était venue à l’idée… ;-)
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Messagepar Miltøn » 25 juin 2013, 12:52

Wave a écrit :En tout cas pour (x,y) entiers relatif il est facile de montrer que cela marche pour tout N>0
En effet :
a et b étrangers.
=> PGCD(da,db)=d (d>0)
D'après l'identité de Bezout il existe x' et y' entiers tels que x'da+y'db=d, soit xa+yb=N

Euh… Et plus simplement, si a et b sont premiers entre eux, d’après Bezout-Bachet, il existe un couple d’entiers u et v tels que au+bv=1 et, ainsi, Nau+Nbv=N, non ? Après, ça ne marche que dans les cas où on peut trouver (u;v) dans N²… ce qui dépend donc de a et de b. Mais je suppose qu’il y a d’autres solutions…
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Messagepar Wave » 25 juin 2013, 16:38

Milton a écrit :
Wave a écrit :En tout cas pour (x,y) entiers relatif il est facile de montrer que cela marche pour tout N>0
En effet :
a et b étrangers.
=> PGCD(da,db)=d (d>0)
D'après l'identité de Bezout il existe x' et y' entiers tels que x'da+y'db=d, soit xa+yb=N

Euh… Et plus simplement, si a et b sont premiers entre eux, d’après Bezout-Bachet, il existe un couple d’entiers u et v tels que au+bv=1 et, ainsi, Nau+Nbv=N, non ? Après, ça ne marche que dans les cas où on peut trouver (u;v) dans N²… ce qui dépend donc de a et de b. Mais je suppose qu’il y a d’autres solutions…

Comme tu veux mais c'est la même chose...(j'avais pensé à cette formulation après mais je n'ai pas beaucoup réfléchi avant décrire le message précédent :oops: )
Mais tu as toujours le problème de x et y qui sont des relatifs et non des naturels puisqu'il y a soit u soit v qui est négatif.
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Messagepar Jean-Batman » 25 juin 2013, 17:27

C'est bien pour Bachet-Bézout, vous deux ! :)

Milton : Bien. On remarque que dans l'expression N=Nxa+Nyb=ma+nb, min(Nx,Ny) est négatif ! En effet, on remarque rapidement que ax+yb=1 nécessite que chaque solution comporte un nombre négatif pour a et b premiers.
Notez que l'on a N=ma+(m+n-m)b=ma+mb+nb-mb=m(a+b)+(n-m)b

Quelles valeurs peut prendre b ?
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Messagepar Miltøn » 25 juin 2013, 21:16

Jean-Batman a écrit :On aligne n chasseurs en face de n lapins. Les chasseurs tirent au hasard sur un lapin sans se préoccuper de la cible du voisin. A quel nombre peut-on estimer le nombre de lapins survivants ?

Je trouve celui-ci assez sympa… Mais je m’y connais pas assez en combinaisons pour aller très loin ! :evil: En fait, mon problème est de trouver, parmi les n^n arrangements avec répétition de tous les n éléments d’un ensemble, le nombre d’arrangements avec répétition où on trouve un unique élément répété n fois (bon, ça c’est évidemment n), 2 éléments différents, 3 éléments différents… jusqu’à n éléments distincts les uns des autres (empiriquement, ça semble être n!, mais pour le démontrer…). Mais pour l’instant, je bloque !
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Messagepar Wave » 26 juin 2013, 09:28

Jean-Batman a écrit :On aligne n chasseurs en face de n lapins. Les chasseurs tirent au hasard sur un lapin sans se préoccuper de la cible du voisin. A quel nombre peut-on estimer le nombre de lapins survivants ?

En fait ce problème ressemble beaucoup à certains exos de TS sauf qu'il est déguisé et nettement moins guidé...

Voici ma réponse :
Image
Image

C'est ça ?
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Messagepar Wave » 26 juin 2013, 09:30

Et comme j'utilise une formule hors programme de TS concernant la forme explicite d'une suite arithmético-géométrique je me permet de mettre ici un exo d'animath qui présente 2 façon de la démontrer :
Image
(La 1ère est plus interressante selon moi parce qu'elle montre l'étape magique qui est faite lors de ce type d'exo en TS par celui qui a créé le sujet)
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Messagepar Wave » 26 juin 2013, 10:31

Jean-Batman a écrit :Notez que l'on a N=ma+(m+n-m)b=ma+mb+nb-mb=m(a+b)+(n-m)b
Quelles valeurs peut prendre b ?

En utilisant ceci j'arrive aux résultats suivants :
Image

Néanmoins je ne sais pas du tout si je prouve quelque chose ou non. :cry:
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Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 12:21

Jean-Batman a écrit :Trouver tous les carrés parfaits ne s'écrivant qu'avec des "1" en base 9.
Rappel : Un entier n est dit carré parfait si et seulement si il existe un entier k tel que n=k².

Pour l’instant, à coup de congruences, j’arrive à montrer qu’un tel entier serait congru à 1 ou à 10 modulo 90… Je vais essayer de poursuivre dans l’après-midi…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 26 juin 2013, 12:23

Tu as l'art de partir dans tous les sens, wave !
C'est confus, tu pars de nombres que nous n'avons pas introduit pour conclure que a et b sont premiers entre eux alors qu'il s'agit d'une donnée de l'énoncé.

Non, concentre-toi sur la piste suivante :

On veut connaitre le plus petit nombre qui peut s'écrire ma+nb avec a et b premiers entre eux.
En écrivant ceci sous la forme N=m(a+b)+pb=m(a+b)+(n-m)b, examine les différentes valeurs que peut prendre b. On ne s'occupe pas de a.
Et pour chaque cas, détermine les nombres N que l'on peut former !

Bon, petite aide : Remarque qu'au bout d'un moment, une valeur de b maximale fait que nous retombons sur le cas où b=0.

Commençons par étudier le cas b=0
Puis b=1, etc. Quelles sont les valeurs que l'on peut former ? Quelles sont les valeurs que l'on ne peut pas former à chaque cas ?
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Messagepar Wave » 26 juin 2013, 13:13

Milton a écrit :
Jean-Batman a écrit :Trouver tous les carrés parfaits ne s'écrivant qu'avec des "1" en base 9.
Rappel : Un entier n est dit carré parfait si et seulement si il existe un entier k tel que n=k².

Pour l’instant, à coup de congruences, j’arrive à montrer qu’un tel entier serait congru à 1 ou à 10 modulo 90… Je vais essayer de poursuivre dans l’après-midi…

Ah, moi sur les congruences j'arrive à montrer que k est congru à 1 ou 8 modulo 9 mais cela ne m'avance en fait à quasiment rien donc je vais attendre ta réponse :wink:

Jean-Batman a écrit :C'est confus, tu pars de nombres que nous n'avons pas introduit pour conclure que a et b sont premiers entre eux alors qu'il s'agit d'une donnée de l'énoncé.

Je suis content, pour une fois j'ai remarqué tout seul que cela ne marchait pas :lol:
Je vais essayer avec ta piste.

Sinon qu'en est-il de ma réponse concernant les lapins et les chasseurs ?
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Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 13:59

Wave a écrit :Ah, moi sur les congruences j'arrive à montrer que k est congru à 1 ou 8 modulo 9 mais cela ne m'avance en fait à quasiment rien donc je vais attendre ta réponse :wink:

Pour ma part, de mon assertion précédente, je déduis que k est congru à 1, 10, 19, 71, 80 ou 89 mod 90… J’essaye de voir ce qu’on peut trouver en croisant ce qu’on sait sur k, mais pour l’instant, je n’arrive pas à grand chose… :?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 26 juin 2013, 14:55

Wave a écrit :
Jean-Batman a écrit :On aligne n chasseurs en face de n lapins. Les chasseurs tirent au hasard sur un lapin sans se préoccuper de la cible du voisin. A quel nombre peut-on estimer le nombre de lapins survivants ?

En fait ce problème ressemble beaucoup à certains exos de TS sauf qu'il est déguisé et nettement moins guidé...

Voici ma réponse :
Image
Image

C'est ça ?

Très très bien :D
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 15:06

Jean-Batman a écrit :
Wave a écrit :
Jean-Batman a écrit :On aligne n chasseurs en face de n lapins. Les chasseurs tirent au hasard sur un lapin sans se préoccuper de la cible du voisin. A quel nombre peut-on estimer le nombre de lapins survivants ?

En fait ce problème ressemble beaucoup à certains exos de TS sauf qu'il est déguisé et nettement moins guidé...

Voici ma réponse :

C'est ça ?

Très très bien :D

Juste par curiosité — même si je pense que ma solution aurait été plus complexe — : est-ce que la formule dont je parlais existe ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 26 juin 2013, 15:27

Ton idée est pas si mauvaise, milton ! Tu constates en effet que nous avons deux ensembles de même cardinal en correspondance. C'était peut-être "joli" de regarder le problème d'une telle manière.
Cependant, aucune application bâteau ne convient ici car le tir n'est ni surjectif ni injectif...
Il me semble donc que l'on ne peut pas traiter le problème d'un point de vue combinatoire !
On nous invite plutôt à considérer l'exo avec des probas, car les tirs sont avant tout aléatoires.
Mais je peux être dans l'erreur aussi.

Quant à savoir si ce que tu m'as proposé est juste, laisse-moi le temps de regarder :p J'ai pas vraiment compris ce que tu as essayé de donner.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 16:53

Jean-Batman a écrit :Ton idée est pas si mauvaise, milton ! Tu constates en effet que nous avons deux ensembles de même cardinal en correspondance. C'était peut-être "joli" de regarder le problème d'une telle manière.
Cependant, aucune application bâteau ne convient ici car le tir n'est ni surjectif ni injectif...
Il me semble donc que l'on ne peut pas traiter le problème d'un point de vue combinatoire !
On nous invite plutôt à considérer l'exo avec des probas, car les tirs sont avant tout aléatoires.
Mais je peux être dans l'erreur aussi.

Quant à savoir si ce que tu m'as proposé est juste, laisse-moi le temps de regarder :p J'ai pas vraiment compris ce que tu as essayé de donner.


Oui, c’est assez complexe à expliquer… Je vais donc traiter spécifiquement le cas où n=3 de la façon que je propose. On note (x;y;z) les numéros des lapins sur lesquels tirent respectivement le chasseur 1, le chasseur 2, et le chasseur 3. Par exemple, (1;1;2) signifierait que les deux premiers chasseurs auraient tiré sur le premier lapin (PAN !) et le troisième sur le troisième lapin.

À partir de là, il paraît évident qu’il y a ici 27 (n^n) cas possibles (il me semble que ce sont des arrangements avec répétition) : (1;1;1), (1;1;2), …, (3;3;2), (3;3;3), équiprobables. Ce que je cherche, ce serait un opérateur dont j’ignore le nom (qu’on va par exemple appeler la trucation, et noter Θ) qui me donnerait, parmi ces 27 arrangements, le nombre d’arrangements où les trois valeurs seraient prises, où deux valeur seraient prises, ou bien où toutes les valeurs du couple seraient identiques. À la main, par exemple, je montre qu’il y a trois couples composés de trois fois la même valeur : (1;1;1), (2;2;2) et (3;3;3). On a donc 1 Θ 3 = 3. De même, avec un joli petit arbre, je compte 2 Θ 3 = 18 et 3 Θ 3 = 6. Et, avec un algorithme (que je n’ai pas réussi à généraliser pour n > 4, il faut que je le modifie pour chaque nouvelle valeur de n pour l’instant, mais je n’ai pas beaucoup cherché…), je trouve 1 Θ 4 = 4, 2 Θ 4 = 84, 3 Θ 4 = 84, 4 Θ 4 = 24. On remarque que pour tout n non nul, 1 Θ n = n, et il semble que n Θ n = n!.

Maintenant, c’est assez facile d’arriver à la solution, puisqu’il y a 1 Θ 3 = 3 cas où un seul lapin est tué, 2 Θ 3 = 18 où deux sont tués, et 3 Θ 3 = 6 où les trois sont fusillés. Et donc en posant T_3 la variable aléatoire qui compte le nombre de lapins troués, E(T_3) = [1 × (1Θ3) + 2 × (2Θ3) + 3 × (3Θ3)]/3^3 = 19/9 lapins morts en moyenne, et donc une probabilité de survie de 8/27.

Plus généralement, la probabilité de survie de chaque lapins pour n fixé serait de
lapin_compris.png
lapin_compris.png (1.66 Kio) Consulté 1152 fois

Mais la grande inconnue est : comment exprimer les kΘn ? Je suppose qu’il doit y avoir quelques factorielles qui interviennent, mais après… Et puis de toute façon, on fera difficilement plus simple que la formule trouvée par Wave. x)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 18:19

Un petit exo très rapide en passant, j'en donnerai de plus durs après :)

Montrer qu'il existe 2013 entiers consécutifs non premiers.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 18:32

JoanSivion a écrit :Un petit exo très rapide en passant, j'en donnerai de plus durs après :)

Montrer qu'il existe 2013 entiers consécutifs non premiers.

Soit N le produit des nombres de 1 à 2014 : N = 2N’ = 3N’’ = 4N’’’… Donc N+2 = 2(N’+1), N+3 = 3(N’’+1), N+4 = 4(N’’’+1)… et chacun des nombres de N+2 à N+2014, soit 2013 entiers consécutifs, sont composés.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 19:10

Très bien :) Bon à part que tu aurais pu dire "factoriel 2014", mais c'est un détail. :)

Un petit exo sympa en fin de TS qui devient une question de cours par la suite :

Calculer la somme pour k variant de 0 à n des cos(kx)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 20:28

Huh, huh ! Je crois que je l’avais déjà fait cette année…
Bon, en attendant, l’idée est simple : comme à chaque fois qu’on a des manipulations bizarroïdes à faire avec des (co)sinus, on essaye de se ramener à des produits (donc ici on va employer l’arc moitié) sur des exponentielles. Je propose donc :
somme_de_cos.png
somme_de_cos.png (52.2 Kio) Consulté 1117 fois
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 21:02

C'est pas mal du tout, mais à moins que mon téléphone n'affiche pas les x, il me semble que tu as calculé la somme des cos k et non celle des cos(kx) (x réel) :)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 26 juin 2013, 21:12

Effectivement, le x est passé à la trappe, sinon l'essentiel est compris ;)

PS : Vous maîtrisez bien les notions qu'on vous donne cette année, c'est encourageant les bizuths.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 21:13

JoanSivion a écrit :C'est pas mal du tout, mais à moins que mon téléphone n'affiche pas les x, il me semble que tu as calculé la somme des cos k et non celle des cos(kx) (x réel) :)

Whooh pardon… erreur de lecture d’énoncé…
Bah ça marche strictement pareil, suffit juste de multiplier à chaque fois l’argument des trois fonctions trigonométriques par x dans le résultat final… Désolé…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 21:25

Milton a écrit :
JoanSivion a écrit :C'est pas mal du tout, mais à moins que mon téléphone n'affiche pas les x, il me semble que tu as calculé la somme des cos k et non celle des cos(kx) (x réel) :)

Whooh pardon… erreur de lecture d’énoncé…
Bah ça marche strictement pareil, suffit juste de multiplier à chaque fois l’argument des trois fonctions trigonométriques par x dans le résultat final… Désolé…



Ahem. :)

*sors le fouet*

Tu es sur ? :P
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 21:47

Bah j’ai bien l’impression, oui… Si tu insistes, voici la démonstration complète revue :
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 21:53

Attention, quelle est la formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 22:04

JoanSivion a écrit :Attention, quelle est la formule qui donne la somme des termes d'une suite géométrique ?

Bah euh… u_0 × (1 - q^(n+1))/(1-q), me semble-t-il… non ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 22:13

Cette formule n'est pas viable quand q= 1. Du coup dans l'exo, il te manque le cas x congru à 0 modulo 2Pi. :)

Ca peut sembler être du pinaillage sur un exemple aussi simple, mais tu rencontreras des cas où faire la disjonction est fondamental.

Enfin en tous cas, ça reste quand meme très bien pour le passage à la forme exponentielle et la factorisation par l'angle moitié. :)
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 22:15

JoanSivion a écrit :Cette formule n'est pas viable quand q= 1. Du coup dans l'exo, il te manque le cas x congru à 0 modulo 2Pi. :)

Ca peut sembler être du pinaillage sur un exemple aussi simple, mais tu rencontreras des cas où faire la disjonction est fondamental.

Enfin en tous cas, ça reste quand meme très bien pour le passage à la forme exponentielle et la factorisation par l'angle moitié. :)

Honte à moi… En plus, ma prof de terminale me vantait pour ma rigueur… :oops:
Donc oui, dans ce cas, si x est congru à 0 mod 2pi, cos xk = 1 quel que soit k, et donc cette somme vaut n+1.
Sorry…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 26 juin 2013, 22:23

Ne t'inquiètes pas, c'est une erreur d'étourderie fréquente et ca arrive même de la faire en plein milieu de la sup^^
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 26 juin 2013, 22:38

JoanSivion a écrit :Ne t'inquiètes pas, c'est une erreur d'étourderie fréquente et ca arrive même de la faire en plein milieu de la sup^^

Ah, oké, merci ! :-)

Pour ma part, je voudrais vous poser une question : j’essaye de comprendre (« en exercice ») d’où sort la formule de Frénet, quelqu’un m’a expliqué le principe de la démonstration, mais il y a un point qui m’échappe : comment peut-on dériver un vecteur ? J’ai un peu cherché sur Wikipédia, mais j’ai du mal à comprendre…
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 27 juin 2013, 07:41

Dériver un vecteur c'est dériver chacune de ses composantes.

Tu verras notamment que dériver le vecteur radial u donne le vecteur orthoradial v.
Pas 5/2

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Flipe » 27 juin 2013, 10:46

Par exemple dans un repère (i,j,k) fixe, on prend un vecteur v ayant pour composantes (x,y,z).

v = x.i + y.j + z.k

Si on dérive ça par rapport à t par exemple, ça donne :

dv/dt = (dx/dt).i + x.(di/dt) + (dy/dt).j + y.(dj/dt) + (dz/dt).k + z.(dk/dt)

i, j et k sont fixes, ils ne varient pas par rapport à t. Donc di/dt = dj/dt = dk/dt = 0

Donc dv/dt = (dx/dt).i + (dy/dt).j + (dz/dt).k
Et donc ça revient à dériver les composantes.

Mais dans le cas de repères non fixes comme le repère de Frenet c'est moins simple.

Corrigez moi si je dis des bêtises.

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 27 juin 2013, 11:04

Jean-Batman a écrit :Tu verras notamment que dériver le vecteur radial u donne le vecteur orthoradial v.

Euh, ça ne fait pas plutôt la dérivée de la coordonnée orthoradiale par rapport au temps multipliée par le vecteur orthoradial ?
Et j’ai essayé de calculer la dérivée du vecteur orthoradial par rapport au temps, et je trouve l’opposé de la dérivée de la coordonnée orthoradiale par rapport au temps, multipliée par le vecteur radial…
Est-ce que j’ai bon ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 27 juin 2013, 13:28

T'as le vecteur u(theta)=(cos theta,sin theta), si tu dérives chacune de ses composantes ça te donne (-sin theta,cos theta)=(cos(theta+pi/2),sin(theta+pi/2))=u(theta+pi/2)=v(theta). C'est le vecteur unitaire directement orthogonal à u.

Si par contre tu travailles en physique, alors oui theta peut être fonction de t.
Auquel cas nous utilisons la formule de dérivation composée :

d(u(theta(t)))/dt = (du/dtheta)*(dtheta/dt)=(dtheta/dt)*v(theta(t))
Pas 5/2

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 27 juin 2013, 13:53

Jean-Batman a écrit :T'as le vecteur u(theta)=(cos theta,sin theta), si tu dérives chacune de ses composantes ça te donne (-sin theta,cos theta)=(cos(theta+pi/2),sin(theta+pi/2))=u(theta+pi/2)=v(theta). C'est le vecteur unitaire directement orthogonal à u.

Si par contre tu travailles en physique, alors oui theta peut être fonction de t.
Auquel cas nous utilisons la formule de dérivation composée :

d(u(theta(t)))/dt = (du/dtheta)*(dtheta/dt)=(dtheta/dt)*v(theta(t))

Heum… Ouais, en effet, je pensais à la physique, dans le cas d’un repère tournant…
En fait, j’avais regardé ici, la partie III : http://mawy33.free.fr/cours%20sup/33-10 ... coords.pdf
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 27 juin 2013, 13:59

Voilà, ce que je te dis est marqué dans le premier rectangle jaune.
la dénomination usuellement introduite en physique pour le vecteur radial (qu'on utilise énormément, en méca des astres par exemple, mais pas que) sera e_r ou u_r On utilisera e_{theta} ou u_{theta} pour le vecteur orthoradial du repère de Frenet correspondant au mouvement du point.
Pas 5/2

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Antoine » 27 juin 2013, 15:23

Yo !

Jean-Batman a écrit :2) Considérez un pavé [[1,n]]x[[1,n]]=[[1,n]]²
Combien existe-t-il de "carrés entiers", id est dont les sommets se situent sur des noeuds à coordonnées entières du type (a,b) (a et b entiers) du réseau [[1,n]]² ?

Bon si j'ai bien compris celui-là, il est assez facile. Du coup j'en ai fait une occasion de m'essayer à LaTeX (avec le logiciel Kile que j'aime bien). Désolé si c'est un peu mal mis en forme, je débute :)

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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 27 juin 2013, 16:38

Antoine a écrit :Yo !

Jean-Batman a écrit :2) Considérez un pavé [[1,n]]x[[1,n]]=[[1,n]]²
Combien existe-t-il de "carrés entiers", id est dont les sommets se situent sur des noeuds à coordonnées entières du type (a,b) (a et b entiers) du réseau [[1,n]]² ?

Bon si j'ai bien compris celui-là, il est assez facile. Du coup j'en ai fait une occasion de m'essayer à LaTeX (avec le logiciel Kile que j'aime bien). Désolé si c'est un peu mal mis en forme, je débute :)


EDIT : Je suis d'accord avec ta réponse, j'avais mal lu précédement
Dernière édition par Wave le 27 juin 2013, 16:51, édité 1 fois.
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Messagepar Wave » 27 juin 2013, 16:49

EDIT : Message faux, désolé
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 27 juin 2013, 19:51

Salut Antoine,

T'as un carré de côté n aussi non ?
Et 4 de côté n-1, 9 de côté n-2...

PS : C'est faux, j'ai rien dit.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Wave » 27 juin 2013, 20:13

Jean-Batman a écrit :Salut Antoine,

T'as un carré de côté n aussi non ?
Et 4 de côté n-1, 9 de côté n-2...

Il me semblait la même chose, mais après réflexion je pense que non puisqu'il n'y a pas par exemple de côté n puisque que c'est un pavage [1;n]*[1;n] et non un [0;n]*[0;n]
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Jean-Batman » 27 juin 2013, 20:24

T'as pas tort j'ai mal compté. n-1+1 est bien le nombre de points sur le côté [[1,n]], et non pas la valeur du côté maximal qui est bien de n-1.
Mais le raisonnement d'Antoine a la malchance de ne pas fonctionner : Il cherche les carrés aux côtés parallèles aux axes alors que nous cherchons tous les carrés dont les sommets sont sur des noeuds.
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Loutre12 » 19 juil. 2013, 22:49

Jean-Batman a écrit :Dériver un vecteur c'est dériver chacune de ses composantes.

Tu verras notamment que dériver le vecteur radial u donne le vecteur orthoradial v.



en dimension finie :twisted:
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 08 août 2013, 12:19

Je relance le topic avec un petit exo si certains s'ennuient :)

Factoriser dans R[X] (c'est à dire "l'ensemble des polynômes à coefficients réels") : X^(2n) - 2cos(na)*X^(n) + 1 avec n un entier naturel non nul et a dans ]0;Pi[

(Cet exo utilise un bout de cours sur les complexes qui n'est pas au programme du lycée, néanmoins c'est un thème d'étude/exo fréquent en TS, donc bon :) )
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar Miltøn » 08 août 2013, 13:37

Heum… J’ai quelques doutes, n’ayant encore jamais été confronté à des polynômes avec des exposants variables…
Si j’arrive à me ramener à un truc de la forme P(X)=(X^n - r)(X^n - s), où r et s sont des machins tous moches qui dépendent de a et n, est-ce que ça passe ?
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Re: Nouveaux bizuths = nouveau challenge

Messagepar JoanSivion » 08 août 2013, 13:43

Effectivement, c'est un bon début :)
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