Petits défis de Milton

Questions d’ordre mathématique et petits défis
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Miltøn
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Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 15 juin 2014, 13:21

Salut ! Vous aussi, réviser le bac vous gonfle, et vous préférez faire des maths ? Alors voici quelques exercices normalement abordables en fin de TS (avec éventuellement des indications) pour vous entraîner cet été.
Conseil : si ça vous amuse de regarder le programme de l’an prochain en avance, allez-y, mais les notions théoriques sont bien plus difficiles à aborder que celles de term… Alors je pense qu’il est plus intéressant de faire des exercices ne nécessitant que les notions théoriques du lycée, mais poussées à bout, et surtout, de s’entraîner à calculer ;-)


Exercice no. 1 (khôlle Gadat sur les déterminants, mais en fait y’a pas besoin de déterminants >_< ) :
Soient a,b et c trois complexes distincts. Résoudre le système d’équations à inconnues complexes x, y, z suivant :
equa_gadat.png
equa_gadat.png (3.45 Kio) Consulté 1393 fois

Indice : introduire un polynôme dont on connaît trois racines (c’est-à-dire trois « zéros »), et utiliser le théorème de d’Alembert-Gauss qui dit (entre autres) que tout polynôme à coefficients complexes peut se factoriser comme (X-a)(X-b)(X-c…) où les a, b, c… sont les racines du polynôme et le nombre de facteurs est le degré du polynôme, et chercher des relations entre les coefficients et les racines de ce polynôme…



Exercice no. 2 (khôlle Bourgade sur les probas, mais en fait c’est plus de l’arithmétique qu’autre chose) :
On pose n un entier naturel supérieur à 2, et on choisit de manière équiprobable un entier compris entre 1 et n. Pour chacun des diviseurs premiers p_i (i compris entre 1 et m, c’est-à-dire que n est le produit de m premiers comptés sans leurs multiplicités) de n, on note A_(p_i) l’événement « le nombre choisi est divisible par p_i ».
Montrer que les événements A_(p_i) sont mutuellement indépendants, c’est-à-dire que l’on a pour toute partie J de [1,m] :
probas_bourgade.png
probas_bourgade.png (3.92 Kio) Consulté 1393 fois

En déduire que pour tout n de N*, on a :
probas_bourgade_2.png
probas_bourgade_2.png (3.7 Kio) Consulté 1393 fois

Où φ est la fonction indicatrice d’Euler, définie par
probas_bourgade_3.png
probas_bourgade_3.png (3.35 Kio) Consulté 1393 fois

Avec P l’ensemble des nombres premiers, et ⋀ le PGCD.



Exercice no. 3 (khôlle Soares sur les séries, mais en fait y’a pas vraiment besoin de séries…) :
Calculer la somme de la série de terme général ln(1 - 1/(n+4)^2 ), c’est-à-dire la limite quand n tend vers +infini de :
series_soares.png
series_soares.png (4.05 Kio) Consulté 1393 fois




Exercice no. 4 (khôlle Bourgade sur les intégrales, trouvé dans le Cassini (mais ça, il me l’a dit qu’après la khôlle XD )) :
Soit f une fonction continue par morceaux sur [0,1] (ie : on peut découper [0,1] en un nombre fini d’intervalles tels que f est continue sur ces intervalles et admet une limite à chaque extrémité), et dont l’intégrale sur [0,1] est nulle. Démontrer que :
inte_bourgade.png
inte_bourgade.png (8.26 Kio) Consulté 1393 fois


Un indice, parce que l’exercice est je trouve difficile, même s’il ne nécessite pas beaucoup de connaissances : tenter de se ramener à un problème consistant à déterminer le signe d’un produit mettant en jeu f(t), min f et max f, puis utiliser la positivité de l’intégrale.


Exercice no. 5 (vraiment difficile, vague souvenir d’une conférence qui nous a été donnée en deuxième année sur le théorème de Fermat par Henri Cohen) :

  • Supposons l’existence de a, b et c entiers naturels strictement positifs premiers entre eux tels que a⁴ + b⁴ = c² : Montrer l’existence de s et t entiers premiers entre eux de parités opposées tels que a² = s² - t², b² = 2st.
  • Par un raisonnement similaire, en déduire l’existence de u et v premiers entre eux tels que u, v et u²+v² soient des carrés parfaits avec u² + v²  ≤ c²
  • En déduire que que le théorème de Fermat-Wiles est faux pour n=4 : pour tous a, b, c entiers naturels positifs non nuls, a⁴ + b⁴ ≠ c⁴.

Indice pour la question 3 : vous pouvez chercher sur internet quel est le principe de démonstration qui a été inventé par Fermat (et qui porte son nom…)

Bon courage, et demandez conseil si vous bloquez ! ;-)
Dernière édition par Miltøn le 09 juin 2015, 21:01, édité 5 fois.
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar tphi » 15 juin 2014, 14:23

Youhou, je sais encore faire des "maths", enfin, le 1 et le 3 parce que les probas j'en ai fait qu'en TS et yavait rien à l'époque. L'est marrant le 3, je l'avais jamais vu (spoil ln(4/3) ?)

P.S : je me souviens avoir eu le 1er en colle gadat, lors d'une colle sur les déterminants, et il m'avait repproché de l'avoir fait avec un déterminant alors que selon lui, c'était plus élégant de le faire avec des polynomes (pff, c'était plus rapide avec un bon déterminant des familles :lol: )
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar Miltøn » 15 juin 2014, 15:03

Je l’ai fait avec un polynôme, mais j’ai pas eu le temps de le finir, le premier… Faut dire aussi que je me souvenais plus des formules des fonctions symétriques et que j’avais la flemme de les redémontrer :p
C’est bien tphi, tu as le niveau pour rentrer en MPSI :P
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar tphi » 15 juin 2014, 15:32

Yeah 8)

Blague à part, ça m'ennuie toujours un peu de me dire que toutes ces belles mathématiques ne me serviront plus à rien maintenant... mais bon au moins je me serais bien amusé avec :mrgreen:
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar miko90 » 27 juin 2014, 17:01

Bonjour. Apparemment je suis la seule qui n'ai pas compris comment introduire ce trinôme (ex1)... Pourrais-je avoir une petite aide?
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar Miltøn » 27 juin 2014, 19:17

A priori, ce n’est pas d’un trinôme que tu vas avoir besoin !
Cherche un polynôme d’un certain degré, dépendant de tes inconnues, et donc tu connais trois racines… ;-)
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar miko90 » 27 juin 2014, 22:29

Est-ce un 3em degré avec x,y,z dans les coefficients?
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Re: Pour les futurs bizuths : remise en forme estivale

Messagepar Miltøn » 28 juin 2014, 06:58

Pas troisième, non, mais il y a bien du x, du y et du z dans les coefficients ! ;-)
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar miko90 » 28 juin 2014, 23:55

Si j'ai bien compris ce polynôme est tiré des 3 équations. Donc il est de 4eme degré et il y a donc 4 racines (3 connues et une dernière à introduire et ensuite à exprimer en fonction des 3 autres). Est-ce juste? Si oui alors j'ai trouvé, sinon pas de chance :(
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 29 juin 2014, 11:08

Tu as trouvé ! ;-) Maintenant, à coup de développements et factorisations, et d’égalités entre polynômes (par construction, deux polynômes sont égaux ssi ils ont même degré et même coefficient), tu dois pouvoir trouver… Tu peux m’envoyer un MP avec ce que tu as fait, si tu veux ;-)
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 29 juin 2014, 22:12

Puisque certains ont déjà bien avancé les exercices déjà proposés, j’en ai rajouté un quatrième, ne nécessitant quasiment aucun outil, mais difficile ! :twisted:
Je verrais si j’en retrouve d’autres intéressants en farfouillant mes archives ;-)
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 07 juin 2015, 10:16

J’ai remis les exercices en place, ils avaient disparu ! ^^
Les futurs première année, n’hésitez pas à vous entraîner, si vous vous ennuyez entre deux épreuves du bac ! ;-)

Et les spés/intégrés, n’hésitez pas non plus à proposer !
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 07 juin 2015, 14:08

Bonjour bonjour,

Merci d'avoir remis ces exos en place, ils sont très sympas !
Je n'ai pas trouvé d'environnement spoiler (serais-je bigleux ?) donc voici mes solutions pour les exos 1 et 2.

Pour l'exo 1, soit [tex]P(X)=X^4-zX^2-yX-x[/tex]. D'après les conditions de l'énoncé, a,b et c sont des racines de P. Puisque le coefficient de X^3 est 0, on en déduit que la quatrième racine de P, appelons-la d, vaut [tex]d=-(a+b+c)[/tex]. Ensuite les relations entre coefficients et racines donnent

[tex]x = -abcd[/tex]
[tex]y = abc+abd+acd+bcd[/tex]
[tex]z = -(ab+ac+ad+bc+bd+cd)[/tex]

Pour l'exo 2, soit a l'entier tiré. D'après le théorème de Gauss, le fait que a soit divisible par plusieurs p_i à la fois est équivalent au fait qu'il soit divisible par leur produit. On en déduit l'indépendance des A_(p_i). Les évènements contraires des A_(p_i) sont donc également indépendants (je ne sais pas si on peut dire ça directement pour m variables, même si je sais que c'est vrai pour deux variables, toutefois ça semble marcher). Ainsi

[tex]\mathbb{P} \left(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{m}\bar{A_{p_i}}\right) = \displaystyle \prod_{i=1}^{m} \mathbb{P}(\bar{A_{p_i}}) = \displaystyle \prod_{i=1}^{m} (1-\mathbb{P}(A_{p_i})) = \displaystyle \prod_{i=1}^{m} \left(1-\frac{1}{p_i}\right)[/tex]

En effet l'ensemble des entiers a entre 1 et n vérifiant l'évènement A_(p_i) sont précisément les multiples de p_i entre 1 et n, qui sont au nombre de n/p_i.
On conclut en remarquant que
[tex]\mathbb{P} \left(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{m}\bar{A_{p_i}}\right)=\mathbb{P} \left(\displaystyle \bigcap_{i=1}^{m} a \wedge p_i = 1 \right)= \mathbb{P} \left(\displaystyle a \wedge n =1 \right)= \frac{\phi(n)}{n}[/tex]

Voilà voilà, dites-moi ce que vous en pensez !

P.S.: Vous utilisez quel module pour mettre LaTeX sur le forum ?
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 07 juin 2015, 16:54

C’est parfait pour ces deux exercices ! Le théorème concernant l’indépendance des événements contraires se généralise à un nombre fini quelconque d’événements (par récurrence, tu peux le faire toi-même ! ;-) ).

Pour LaTeX, je crois que c’est le parser de Google qui est utilisé.

Question : les relations coefficients-racines, tu les as vues cette année, ou ?… :shock:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 07 juin 2015, 17:40

Milton a écrit :Question : les relations coefficients-racines, tu les as vues cette année, ou ?… :shock:

Pas vraiment... :roll:

Sinon merci pour le théorème avec les évènements contraires, je vois la récurrence, un peu chiante à rédiger mais en fait il suffit de savoir dessiner des patates :mrgreen:

En parlant de récurrence, ça s'applique très bien à l'exercice 3 :

Déjà, on écrit
[tex]\sum_{k=0}^{n} \ln \left(1-\frac{1}{(k+4)^2}\right)=\sum_{i=4}^{n+4} \ln \left(\frac{i^2-1}{i^2}\right)=\sum_{i=4}^{n+4} (\ln(i+1) + \ln(i-1)-2 \ln i)[/tex]
puis on pose
[tex]P_n : \sum_{k=0}^{n} \ln \left(1-\frac{1}{(k+4)^2}\right) =\ln 3 - \ln 4 + \ln(n+4)-\ln(n+3)[/tex]
Initialisation : [tex]\ln 5 + \ln 3 - 2 \ln 4 + \ln 6 + \ln 4 -2 \ln 5 + \ln 7 + \ln 5 - 2 \ln 6 = \ln 3 - \ln 4 + \ln 7 - \ln 6[/tex] donc P_3 est vraie.
Hérédité :
[tex]\sum_{k=0}^{n+1} \ln \left(1-\frac{1}{(k+4)^2}\right) = \ln 3 - \ln 4 + \ln(n+4)-\ln(n+3)+\ln(n+5)+\ln(n+3)-2\ln(n+4)=\ln 3-\ln 4+ \ln(n+5)-\ln(n+4)[/tex]
Bref, en +infini, [tex]\ln(n+4)-\ln(n+3)[/tex] tend vers 0 donc la réponse est [tex]\ln 3 - \ln 4[/tex].

En ce qui concerne le latex, si je peux me permettre un conseil, MathJax (https://www.mathjax.org/) est plus joli, plus facile à utiliser et comporte bcp d'environnements, tout en étant extrêmement simple à mettre en place par l'admin (bon d'accord j'ai des actions dans ce truc mais il est quand même super :P ).
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 07 juin 2015, 18:52

L'exo 4 est vraiment super, car on commence à faire plein de trucs compliqués, à chercher le lien entre minimum, maximum et l'intégration...etc. alors qu'en fait l'indice donné prend tout son sens quand on comprend que tout ce qu'on peut dire sur min f et max f est que pour tout x de [0,1]
[tex]f(x) \geq \min f[/tex] et [tex]f(x) \leq \max f[/tex]
soit en multipliant ces deux inégalités
[tex]- \min f \max f + f(x)(\max f + \min f) \geq f(x)^2[/tex]
On passe à l'intégrale et c'est terminé :D
Très joli pb en tout cas, merci bcp !
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 08 juin 2015, 07:17

Bon, ben il ne me reste plus qu’à aller chercher de nouveaux exos ! :D
J’ai suggéré MathJax aussi, mais je ne sais plus ce qui avait décidé l’admin à choisir ce parseur-ci plutôt qu’un autre…
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Kennedjiro » 08 juin 2015, 18:53

Soares... Soares... Hey, mais c'est ma prof de spé maths en terminale ! :lol:

Merci pour les exos en tout cas, je garde ça de côté pour la fin de l'été. :roll:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 08 juin 2015, 18:59

Milton a écrit :Bon, ben il ne me reste plus qu’à aller chercher de nouveaux exos ! :D


Ce sera avec plaisir :twisted:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 08 juin 2015, 19:41

Kennedjiro a écrit :Soares... Soares... Hey, mais c'est ma prof de spé maths en terminale ! :lol:

Ah, tiens, je me demandais où elle enseignait ! Ben si tu es en MP3, tu devrais la retrouver l’an prochain alors ! Quelques profs de lycée khôllent en prépa (Gadat jusqu’à l’an dernier bien sûr, mais aussi M. Felten, par exemple)

Pafnouti42 a écrit :
Milton a écrit :Bon, ben il ne me reste plus qu’à aller chercher de nouveaux exos ! :D


Ce sera avec plaisir :twisted:

Je te garde mes oraux d’Ulm de côté ? :-P
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Zénon » 08 juin 2015, 19:46

Milton a écrit :
Pafnouti42 a écrit :
Milton a écrit :Bon, ben il ne me reste plus qu’à aller chercher de nouveaux exos ! :D


Ce sera avec plaisir :twisted:

Je te garde mes oraux d’Ulm de côté ? :-P

Eh, moi aussi je veux ! :)

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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 08 juin 2015, 21:03

Milton a écrit :Je te garde mes oraux d’Ulm de côté ? :-P


Euh...Doucement quand même :lol: ...
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 09 juin 2015, 20:52

Bon, ben vous avez droit à un exo supplémentaire : démonstration du théorème de Fermat pour n=4. C’est le seul cas qu’on est certain que Fermat ait réussi à démontrer (on pense qu’il a aussi fait n=3, mais on en est pas certains). C’est évidemment le second point qui est le plus difficile (mais je pouvais pas détailler plus sans que l’exo ne devienne facile ^^ ). Pour le troisième, vous pouvez aller chercher ce que Fermat a inventé comme principe de raisonnement, auquel il a donné son nom, et qui sert ici…

Bon courage ! :twisted:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Zénon » 09 juin 2015, 21:30

Pafnouti42 et moi avons suivi la conférence d'Henri Cohen :wink: Donc je suis au courant pour la difficulté de n=3 :) Tu les as eu en fait les documents dont il parlait pendant la conférence ? Il y a des exercices sympa là aussi :lol:

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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 09 juin 2015, 21:38

Ah je suis bête ; en plus Pafnouti42 m'avait dit que vous étiez à la conf. L'exercice 5 est une démonstration faite par Cohen au début... mais je vous encourage à essayer de la refaire par vous même ! ;-)

On avait eu à l'avance le texte de la conférence, j'avais regardé les exos la veille (et n'avais pas réussi ! :-p ). Depuis, je ne m'y suis guère replongé...
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 10 juin 2015, 22:21

Remboursé !!! Nan c'est un exo super intéressant, mais en effet Henri Cohen nous avait vendu la mèche. Je l'ai refait, mais ai conclu un peu moins rapidement car j'avais oublié qu'il suffisait de montrer plus fort, à savoir que l'équation [tex]x^4+y^4=z^2[/tex] était également insoluble. En gros le lemme important (triplets pythagoriciens primitifs, ou encore substitution de Diophante) est que si x, y et z sont premiers entre eux dans leur ensemble (cela suffit car sinon on divise par le pgcd au carré) et vérifient [tex]x^2+y^2=z^2[/tex], alors il existe des entiers m et n premiers entre eux tels que [tex]x=m^2-n^2[/tex], [tex]y=2mn[/tex] et [tex]z=m^2+n^2[/tex]. Quand on applique deux fois ce lemme au problème, on retombe sur l'équation de départ au nom des variables près. Sauf que les variables en question sont plus petites que celles de départ, ce qui nous permet d'achever la preuve par descente infinie.

Du coup, puisque vous nous avez passé pas mal d'exos, est-ce que nous avons le droit de vous renvoyer la balle :mrgreen: (en étant un peu moins gentils car vous êtes bcp plus forts que nous...) ?
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 10 juin 2015, 22:28

Bon, ben écoutes, si tu veux passer l’agreg, tente le coup, hein… 8)

Et oui, si tu as des « petits défis » aussi, ouvre un nouveau topic. Bien entendu, il faut savoir résoudre les exercices qu’on propose, sinon c’est de la triche ! :twisted:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 10 juin 2015, 22:40

Milton a écrit :Bon, ben écoutes, si tu veux passer l’agreg, tente le coup, hein… 8)


Je veux bien, mais seulement si j'ai une conf d'Henri Cohen sur le sujet juste avant :lol:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Snatch24 » 11 juin 2015, 10:46

Exo 1 fait.
Le 2 je fais pas spé maths, j'avoue avoir renoncé à la vue des nombres premiers... :p
Pour le 3 j'ai commencé pareil (transformation en ln[(i²-1)/i²)] puis en ln(i-1)+ln(i+1)-2ln(i) tous ca tout ca) mais j'ai fini différemment:
J'ai calculé le premier terme (pour i = 4 donc), on trouve ln(3)+ln(5)-2ln(4). Puis en faisant tendre n a l'infini, on peut voir que certains termes s'annulent, et on obtient ln(3)-ln(4)-ln(n)+ln(n+1), ce qui avec n tendant à l'infini donne ln(3)-ln(4)
Le résultat semble bon. Quelqu'un pour me dire si la démarche est bonne ? :) Merci !
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Zénon » 11 juin 2015, 11:17

Snatch24 a écrit :Pour le 3 j'ai commencé pareil (transformation en ln[(i²-1)/i²)] puis en ln(i-1)+ln(i+1)-2ln(i) tous ca tout ca) mais j'ai fini différemment:
J'ai calculé le premier terme (pour i = 4 donc), on trouve ln(3)+ln(5)-2ln(4). Puis en faisant tendre n a l'infini, on peut voir que certains termes s'annulent, et on obtient ln(3)-ln(4)-ln(n)+ln(n+1), ce qui avec n tendant à l'infini donne ln(3)-ln(4)
Le résultat semble bon. Quelqu'un pour me dire si la démarche est bonne ? :) Merci !


Les termes se télescopent pour n mais il faut aussi le montrer pour n+1 d'où la récurrence (si on veut être très rigoureux). Par contre, on ne trouve pas ln(3)-ln(4)-ln(n)+ln(n+1), je pense que tu t'es trompé lors du changement d'indice de la somme.

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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 11 juin 2015, 11:45

Le changement de l’indice de la somme a manifestement posé problème… Pour le reste, la démarche est bonne.

Au fait, Pafnouti : je sais que tu connais l’idée de l’exercice 5. Après, faudrait peut-être l’écrire proprement, hein ! ;-) Parce que le principe est simple et se retient quand on l’a vu une fois, mais la mise en pratique est souvent moins simple… :wink:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Snatch24 » 11 juin 2015, 13:43

Effectivement, je viens de comprendre qu'il faut utiliser la récurrence pour pouvoir generaliser la nouvelle écriture pour tout n !
ah oui, j'avais zappé qu'on etait pas au rang n, mais bien a n+4 ^^ c'est touuuut faux ! je corrige ça :)
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 11 juin 2015, 14:06

Bravo à toi en tout cas ! Un conseil : entraîne-toi en arithmétique cet été. Tu en auras vraiment besoin en prépa. :wink:
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Snatch24 » 11 juin 2015, 14:19

Oui, j'ai fait l'erreur de prendre spe physique... bon, je suis imbattable pour mesurer l'aire d'un panneau solaire à vue d'oeil sur une photo sans echelle, mais bon, l'arithmétique c'est pas vraiment ca quoi :p
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 11 juin 2015, 15:24

c’est parfait, tu as deux mois pour te mettre au niveau si tu comptes torcher !

(et un peu plus si ce n’est pas ton objectif ! :p )
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 11 juin 2015, 16:20

Milton a écrit :Au fait, Pafnouti : je sais que tu connais l’idée de l’exercice 5. Après, faudrait peut-être l’écrire proprement, hein ! ;-) Parce que le principe est simple et se retient quand on l’a vu une fois, mais la mise en pratique est souvent moins simple… :wink:


Bon, bon, j'avoue que j'avais bien la flemme, mais allons-y :roll:

Nous allons donc montrer que l'équation [tex]x^4+y^4=z^2[/tex] n'a pas de solution sur les entiers.

Pour cela, remarquons déjà quelques conditions qu'on peut avoir sur x,y et z. On peut supposer qu'ils sont premiers entre eux dans leur ensemble, quitte à diviser par le pgcd. De là, on peut remarquer que x et y sont de parité différentes. En effet, ils ne peuvent pas être pairs tous les deux car sinon z est également pair et x, y et z ne sont plus premiers entre eux dans leur ensemble. Ils ne peuvent pas non plus être impairs tous deux : si c'était le cas, z serait pair, donc x^4+y^4 devrait être divisible par 4, or x^4+y^4=2 modulo 4 quand x et y sont impairs.

Ensuite, utilisons le lemme que j'ai évoqué dans mon dernier message. Il existe des entiers m et n premiers entre eux tels que
[tex]x^2=m^2-n^2[/tex]
[tex]y^2=2mn[/tex]
[tex]z=m^2+n^2[/tex]
(x et y jouent le même rôle, donc peu importe lequel des deux est pair)

m^2=x^2+n^2 donc on peut à nouveau appliquer notre lemme (m et n premiers entre eux suffit à m, n et x premiers entre eux dans leur ensemble car l'équation révèle qu'un diviseur premier commun à m et n divisera aussi x) en remarquant que x est impair et donc n pair. Il existe ainsi des entiers u et v premiers entre eux tels que
[tex]m=u^2+v^2[/tex]
[tex]n=2uv[/tex]
[tex]x=u^2-v^2[/tex]

Ensuite y^2=2mn=4muv, on en déduit que m, u et v sont tous trois des carrés parfaits. Notons donc m=m'^2, u=u'^2 et v=v'^2. L'égalité m=u^2+v^2 devient
[tex]m'^2=u'^4+v'^4[/tex]
et on a terminé par descente infinie car m', u' et v' sont clairement plus petits que z, x et y respectivement.
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Miltøn » 11 juin 2015, 18:15

Bien. J’ergote un peu, mais comment tu justifies que m, u et v sont des carrés ? ;-)
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Vanxoo_ » 11 juin 2015, 18:49

On sait que [tex]m[/tex] et [tex]n=2uv[/tex] sont premiers entre eux, et que [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] sont premiers entre eux, donc [tex]m[/tex],[tex]u[/tex] et [tex]v[/tex] sont premiers entre eux deux à deux. On sait de plus que [tex]4muv[/tex] est un carré, comme 4 en est un aussi on a que [tex]muv[/tex] est aussi un carré, ainsi tous ses exposants dans sa décomposition en facteurs premiers sont pairs. Comme les trois sont premiers entre eux, ils apportent des facteurs premiers différents : ainsi dans la décomposition de [tex]m[/tex], [tex]u[/tex] et [tex]v[/tex], les exposants sont aussi tous pairs. Donc ce sont des carrés.
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Pafnouti42 » 12 juin 2015, 10:56

C'est exactement ça Vanxoo_, oeuvre collective :D
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Re: Petits défis de Milton

Messagepar Vanxoo_ » 12 juin 2015, 12:08

Je voulais contribuer histoire de pas te laisser tout le mérite :D
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