Conseil : si ça vous amuse de regarder le programme de l’an prochain en avance, allez-y, mais les notions théoriques sont bien plus difficiles à aborder que celles de term… Alors je pense qu’il est plus intéressant de faire des exercices ne nécessitant que les notions théoriques du lycée, mais poussées à bout, et surtout, de s’entraîner à calculer
Exercice no. 1 (khôlle Gadat sur les déterminants, mais en fait y’a pas besoin de déterminants >_< ) :
Soient a,b et c trois complexes distincts. Résoudre le système d’équations à inconnues complexes x, y, z suivant :
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Indice : introduire un polynôme dont on connaît trois racines (c’est-à-dire trois « zéros »), et utiliser le théorème de d’Alembert-Gauss qui dit (entre autres) que tout polynôme à coefficients complexes peut se factoriser comme (X-a)(X-b)(X-c…) où les a, b, c… sont les racines du polynôme et le nombre de facteurs est le degré du polynôme, et chercher des relations entre les coefficients et les racines de ce polynôme…
Exercice no. 2 (khôlle Bourgade sur les probas, mais en fait c’est plus de l’arithmétique qu’autre chose) :
On pose n un entier naturel supérieur à 2, et on choisit de manière équiprobable un entier compris entre 1 et n. Pour chacun des diviseurs premiers p_i (i compris entre 1 et m, c’est-à-dire que n est le produit de m premiers comptés sans leurs multiplicités) de n, on note A_(p_i) l’événement « le nombre choisi est divisible par p_i ».
Montrer que les événements A_(p_i) sont mutuellement indépendants, c’est-à-dire que l’on a pour toute partie J de [1,m] :
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En déduire que pour tout n de N*, on a :
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Où φ est la fonction indicatrice d’Euler, définie par
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Avec P l’ensemble des nombres premiers, et ⋀ le PGCD.
Exercice no. 3 (khôlle Soares sur les séries, mais en fait y’a pas vraiment besoin de séries…) :
Calculer la somme de la série de terme général ln(1 - 1/(n+4)^2 ), c’est-à-dire la limite quand n tend vers +infini de :
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Exercice no. 4 (khôlle Bourgade sur les intégrales, trouvé dans le Cassini (mais ça, il me l’a dit qu’après la khôlle XD )) :
Soit f une fonction continue par morceaux sur [0,1] (ie : on peut découper [0,1] en un nombre fini d’intervalles tels que f est continue sur ces intervalles et admet une limite à chaque extrémité), et dont l’intégrale sur [0,1] est nulle. Démontrer que :
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Un indice, parce que l’exercice est je trouve difficile, même s’il ne nécessite pas beaucoup de connaissances : tenter de se ramener à un problème consistant à déterminer le signe d’un produit mettant en jeu f(t), min f et max f, puis utiliser la positivité de l’intégrale.
Exercice no. 5 (vraiment difficile, vague souvenir d’une conférence qui nous a été donnée en deuxième année sur le théorème de Fermat par Henri Cohen) :
- Supposons l’existence de a, b et c entiers naturels strictement positifs premiers entre eux tels que a⁴ + b⁴ = c² : Montrer l’existence de s et t entiers premiers entre eux de parités opposées tels que a² = s² - t², b² = 2st.
- Par un raisonnement similaire, en déduire l’existence de u et v premiers entre eux tels que u, v et u²+v² soient des carrés parfaits avec u² + v² ≤ c²
- En déduire que que le théorème de Fermat-Wiles est faux pour n=4 : pour tous a, b, c entiers naturels positifs non nuls, a⁴ + b⁴ ≠ c⁴.
Indice pour la question 3 : vous pouvez chercher sur internet quel est le principe de démonstration qui a été inventé par Fermat (et qui porte son nom…)
Bon courage, et demandez conseil si vous bloquez !
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