Petits défis de MeIdmry

Questions d’ordre mathématique et petits défis
Règles du forum
Pas d’aide aux devoirs de lycée ! ;-)
Avatar de l’utilisateur
MeIdmry
Ancien
Messages : 2815
Inscription : 23 juin 2007, 14:13

Petits défis de MeIdmry

Messagepar MeIdmry » 28 juin 2014, 10:37

Salut à tous !

Deux exercices sympas pour bien commencer l'été. Attention, ils ont déjà été donné sur le forum une des années précédentes, donc pas de triche :wink:

1) Existe-t-il deux fonctions f:R->R et g:R->R telle que pour tout x réel, fog(x)=x^3 et gof(x)=x^2 ?
2) Existe-t-il une fonction f:N->N telle que fof(n)=n+2015 ?

Mes solutions personnelles sont assez astucieuses (ma solution du 2 utilise aussi quelques notions vues en sup). Mais je ne désespère pas de trouver des gens proposant des solutions tout à fait nouvelles de ces deux exercices :D

Au moins, c'est une bonne occasion de prendre un crayon et un feuille, et réfléchir :mrgreen:
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).

Avatar de l’utilisateur
Miltøn
Ancien
Messages : 11285
Inscription : 14 juin 2013, 21:14
Localisation : K-fêt

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Miltøn » 28 juin 2014, 16:00

Comment on met un spoiler ? :D
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Anciennement codictateur du forum.

« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

Monta ↝ Ozenne ↝ MP3 2013 ↝ MP* 2014 ↝ Ulm 2015 ↝ Dauphine MASH 2017 ↝ prep’ÉNA

Avatar de l’utilisateur
MeIdmry
Ancien
Messages : 2815
Inscription : 23 juin 2007, 14:13

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar MeIdmry » 28 juin 2014, 19:22

Milton a écrit :Comment on met un spoiler ? :D


Il faut une extension pour cela :P
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).

Avatar de l’utilisateur
Miltøn
Ancien
Messages : 11285
Inscription : 14 juin 2013, 21:14
Localisation : K-fêt

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Miltøn » 28 juin 2014, 20:05

Erf… Bon, en tout cas, le premier est assez évident… Le second est pas trivial, donc j’ai la fleeeeeeeemme… :-D
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Anciennement codictateur du forum.

« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

Monta ↝ Ozenne ↝ MP3 2013 ↝ MP* 2014 ↝ Ulm 2015 ↝ Dauphine MASH 2017 ↝ prep’ÉNA

Avatar de l’utilisateur
MeIdmry
Ancien
Messages : 2815
Inscription : 23 juin 2007, 14:13

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar MeIdmry » 28 juin 2014, 20:13

Milton a écrit :Erf… Bon, en tout cas, le premier est assez évident… Le second est pas trivial, donc j’ai la fleeeeeeeemme… :-D


Si vraiment le premier te paraît évident, ce n'est sans doute pas à l'ENS de Rennes que tu risques d'aller mais plutôt à la rue d'Ulm :wink:

Pour le second, une idée est de raisonner modulo 2015.
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).

Avatar de l’utilisateur
Miltøn
Ancien
Messages : 11285
Inscription : 14 juin 2013, 21:14
Localisation : K-fêt

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Miltøn » 28 juin 2014, 20:20

Je te réponds en MP pour le premier.
EDIT : bon, non, vraisemblablement, j’ai fait une connerie dans mon raisonnement, je revois le point qui cloche… Disoulé…
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Anciennement codictateur du forum.

« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

Monta ↝ Ozenne ↝ MP3 2013 ↝ MP* 2014 ↝ Ulm 2015 ↝ Dauphine MASH 2017 ↝ prep’ÉNA

Avatar de l’utilisateur
MeIdmry
Ancien
Messages : 2815
Inscription : 23 juin 2007, 14:13

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar MeIdmry » 28 juin 2014, 20:33

Milton a écrit :Je te réponds en MP pour le premier.
EDIT : bon, non, vraisemblablement, j’ai fait une connerie dans mon raisonnement, je revois le point qui cloche… Disoulé…


J'ai précisé ma phrase :P
Je sens néanmoins que tu n'es pas loin de la réponse :wink:
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 11 juil. 2017, 18:35

Je déterre en attendant de nouveaux exos ...
Commençons par le 1
Spoiler :

Soit f et g solutions.
Montrons que f est injective et g est surjective:
-Soit x et x' tels que f(x)=f(x') . Alors, g(f(x))=g(f(x')) donc x^3=x'^3 donc x=x' . Ainsi, f est injective .
-Clairement g(f(x^(1/3)))=x pour tout x réel ,donc g est surjective
Alors, en considérant f(g(f(x)), on tire f(x)²=f(x^3).
En particulier, f(0)=f(0)^2 ; f(1)=f(1)^2 ; f(-1)=f(-1)^2 donc deux sont égaux d'après le principe des tiroirs , contradiction avec l'injectivité de f ...

Ensuite, l'exo 2:
Spoiler :

Par l'absurde, soit f une solution éventuelle.
Alors f est clairement injective et pour tout entier n , f(n) est différent de n .
En considérant, f(f(f(n))), on trouve que pour tout n entier naturel, f(n)+2015=f(n+2015) . Ainsi, la donnée de f(i) pour i dans {0;1;...;2014} permet de décrire entièrement f.
On peut donc écrire f(k)=fof^a (n) pour un certain n dans {0;1;...;2014} et a entier. Par injectivité, on a alors a=0 ou 1 .
-Si a=0, f(k)=n mais donc on peut regrouper les éléments de {0;1;...;2014} par paires disjointes, absurde
-Si a=1, on trouve f(n)=k , et on conclut à la même absurdité ...
Ainsi f n'existe pas !

On peut même remplacer 2015 par 2017 ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2701
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Au soleil
Contact :

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Almar » 11 juil. 2017, 19:25

Zrun a écrit :On peut même remplacer 2015 par 2017 ...

C'est d'ailleurs tombé en kholle cette année avec 2017 ;)
(Kholle Che' 0-20 pour les connaisseurs)
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 11 juil. 2017, 19:26

Jolis solutions :p
Le 2 je suis sur de l'avoir déja vu mais je ne sais plus ou grrrrr.
Tu sembles aimer les équations fonctionelles je te propose de t'amuser avec celle ci ( meme si il y a un risque que tu la connaisses déjà) /
Trouver toutes les fonctions définies de Z vers Z tel que pour tout m,n de Z on a
m^2+f(n) divise mf(m)+n
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 11 juil. 2017, 20:36

je le connaissais de N* dans N* mais là c'est de suite beaucoup plus dur et je sèche ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 11 juil. 2017, 20:40

Oups c est Z>0 vers Z>0 donc c'est bien ça haha.
Zut les jolis que je connais tu les a surement déjà vus sur mathsraining!
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 11 juil. 2017, 20:44

Oui très certainement mais je ne suis vraiment pas un spécialiste d'équations fonctionnelles ....
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 12 juil. 2017, 02:18

4 jolis exos en cadeau pour toi :p ( faudra rembourser après :D ) . Tout le monde peut les faire ils sont astucieux mais ne nécessitent aucune connaisance.

1- Les nombres 1 , 1/2 , 1/3, ......., 1/2017 sont écrits sur un tableau . Zrun choisit deux nombres x et y les efface et les remplace par le nombre x+y+xy. Il continue jusqu a ce qu il reste un seul nombre écrit au tableau. Quel est ce nombre?
2- Les nombres 1,2,3,......,2017 sont écrit aux tableau . A chaque étape Zrun choisit deux nombres x et y et les remplace par le reste de la division euclidienne de leur somme par 13. A un moment donné il reste deux nombres. Sachant que l'un d'eux est 123. Trouver le deuxieme nombre.
3-Les nombres 1,2,3,......,2017 sont écrits au tableau . Mamoun et Zrun jouent à un jeu . Chacun choisit à tour de role un nombre et l'efface. Si l'un d'eux efface un nombre divisible par 2,3ou 5 il perd. Mamoun , courtois laisse Zrun commencer. Prouver que Mamoun va gagner :mrgreen: ( a une stratégie gagnante)
4- Mamoun et Zrun jouent à un jeu :roll:. Ils ont 2017 alumettes. Chacun à tour de role prend un nombre d'alumettes compris entre 1 et 7. Celui qui prend la derniere alumette gagne. Zrun se remettant mal de sa précédente défaite choisit de laisser Mamoun commencer. Prouver que Mamoun gagne :lol:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 12 juil. 2017, 08:03

Mes réponses détaillés rapidement pour que d'autres puisse chercher
Spoiler :

(x+y+xy)=(x+1)(y+1)-1 donc (a_1 +1)(a_2+1)...(a_n+1) est invariant , où a_1;...;a_n sont nos nombres .
Le nombre cherché est donc 2017

Spoiler :

123 n'est pas issu d'une opération. Il reste à évaluer la valeur de 1+2+3+..+122+124+...+2017 modulo 13. On trouve que le deuxième nombre est 10, sauf erreur de calcul ...

Spoiler :

Olympiades pan-africaines ....
Il suffit de compter les éléments qui sont multiples de 2,3 ou 5, et en déduire la parité de son complémentaire ...
La formule du crible montre que ces éléments sont aux nombres de 1479.
Après 538 tours , on est obligé de perdre et c'est donc Mamoun qui gagne ...

Spoiler :

2017=1+2016 et 2016 est divisible par 8. Mamoun prend la première allumette , puis quand Zrun prend k allumettes, il en prend 8-k ....


Je rembourse :
1- Le nombre “3” est écrit sur un tableau. Mamoun et Zrun jouent au jeu suivant : chacun leur tour, si on désigne par n le nombre écrit au tableau, le joueur le remplace par un entier m tel que n < m < n², et tel que m n’a pas de diviseur commun avec n autre que 1. Le premier joueurqui atteint un nombre plus grand ou égal à 2016 perd la partie . Zrun, déçu de ses défaites, commence. Montrez qu'il gagne enfin ...

2-Sur un tableau 2012x2012 formé exclusivement de cases blanches, Mamoun et Zrun jouent au jeu suivant : Un joueur commence par noircir la case en haut à gauche. L'autre doit alors noircir une case non encore noircie et adjacente (i.e. ayant un côté commun) à celle qui vient d'être norcie et ainsi de suite . Lorsqu’un joueur ne peut plus jouer, il a perdu.
Mamoun, fin calculateur, décide de commencer. Montrez qu'il s'est trompé, i.e., il va perdre .

3- Montrez que Mamoun gagne sur un tableau 2011x2011 .
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 12 juil. 2017, 11:57

Jolis problèmes!
Je suis en voyage je rédige ça dès que je trouve un peu de temps.... Par contre si d'autres personnes pouvaient se joindre à nous ce serait sympa.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 15 juil. 2017, 16:39

Et donc pour l exo 1 on remarque que 2015=5*13*31 et que pgcd (n,n+1)=1...
Le 2 en faisant un coloriage type echiquier on aboutit rapidement à ce qui est demandé ...
Je te laisse avec le p1 de notre test blanc de simulation imo ( meme si il est plutôt facile , l idée est classique!)

Soit x_1,x_2...x_n des entiers naturels strictements positifs de somme inférieure à 3n.
Montrer l existence de i et de j tel que
a (i+1)+ a (i+2)+.....+a_j=n-1
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
tphi
Ancien
Messages : 5937
Inscription : 28 août 2010, 20:15
Localisation : Dans une tour de contrôle

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar tphi » 15 juil. 2017, 22:49

Wow. Ce topic s'est transformé en un tripot incroyablement rapidemment :o
 Ancien administrateur du forum.
 MPSI2 ➝ XM2.

It's a beautiful day outside ! Birds are singing, flowers are blooming... On days like these, kids like you....
S h o u l d   b e   b u r n i n g   i n   h e l l.

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 15 juil. 2017, 23:10

tphi a écrit :Wow. Ce topic s'est transformé en un tripot incroyablement rapidemment :o

Faut nous rejoindre alors , on s amuse comme des fous! :lol: . Quoique moi cette semaine ce sera sans moi je veux profiter des délices du Brésil :mrgreen:.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Miltøn
Ancien
Messages : 11285
Inscription : 14 juin 2013, 21:14
Localisation : K-fêt

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Miltøn » 16 juil. 2017, 00:34

Ne pas faire de blagues sur le transgénérisme, ne pas faire de blague sur le transgénérisme... :mrgreen:
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Anciennement codictateur du forum.

« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

Monta ↝ Ozenne ↝ MP3 2013 ↝ MP* 2014 ↝ Ulm 2015 ↝ Dauphine MASH 2017 ↝ prep’ÉNA

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2701
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Au soleil
Contact :

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Almar » 16 juil. 2017, 16:18

Mamoun a écrit :Soit x_1,x_2...x_n des entiers naturels strictements positifs de somme inférieure à 3n.
Montrer l existence de i et de j tel que
a (i+1)+ a (i+2)+.....+a_j=n-1

Déjà tu mélanges des "a" et des "x", et ensuite, soit j'ai mal compris l'énoncé, soit il manque une hypothèse :|
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 17 juil. 2017, 14:28

Pardon c tous des a . Que n as tu pas compris?
I et j sont des indices
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Nemh
Conseiller départemental
Messages : 129
Inscription : 03 août 2015, 00:45

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Nemh » 17 juil. 2017, 21:04

Manifestement pour n=2, a_1 = 2 et a_2 = 2, ce que tu demandes de montrer n'a pas l'air très vrai, donc il doit manquer une hypothèse sur n ou un truc du style, c'est ce qu'Almar a voulu dire je suppose. ^^
2015-2016 : MPSI 1 ; Probablement en train d'enquêter sur le financement de la campagne du Z
2016-2017 : XM1
2017-20xx : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 18 juil. 2017, 01:07

Ah pardon il y a 2n nombres! X_1,x_2.....,x_n
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 19 juil. 2017, 11:28

Personne ?
Un premier indice ...
Spoiler :

Utilisez le principe des tiroirs ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 613
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Mamoun » 19 juil. 2017, 19:37

T as vu la combi de cette année?
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2701
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Au soleil
Contact :

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Almar » 20 juil. 2017, 10:42

Bon puisque personne ne le fait :roll:
Spoiler :

Soit n un entier et a_1, ... , a_2n des entiers dont la somme est inférieur à 3n.
Considerons S_1, S_2, ..., S_2n où S_i = a_ 1 + a_2 + ... + a_i, et S'_1, ... , S'_2n avec S'_i = S_i + (n-1)

On a pour tous i, 1 <= S_i <= 3n et n <= S'_i <= 4n -1
et pour tous (i,j), avec i =/= j, S_i =/= S_j (de même pour les S')

Comme il y a 2n S entre 1 et 3n et qu'ils sont tous différent, il y en a au moins n+1 entre n et 3n
De même, Comme il y a 2n S' entre n et 4n-1 et qu'ils sont tous différent, il y en a au moins n+1 entre n et 3n

Avec les S et les S', on a 2n +2 entier, entre n et 3n, donc d'après le principe des tiroirs, il existe deux entier égaux. Or on sait que cela ne peut ni être deux S ou deux S', donc il existe (i,j) tel que S_i = S'_j, c'est à dire S_i = S_j + (n-1) ou encore S_i - S_j = n-1
Or d'après la définition on a S_i - S_j = a_(j+1) + a_(j+2) + ... + a_i = n-1, d'où le résultat souhaité.
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
tphi
Ancien
Messages : 5937
Inscription : 28 août 2010, 20:15
Localisation : Dans une tour de contrôle

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar tphi » 20 juil. 2017, 18:39

Spoiler :

Bravo Almar, tu gagnes un cookie
 Ancien administrateur du forum.
 MPSI2 ➝ XM2.

It's a beautiful day outside ! Birds are singing, flowers are blooming... On days like these, kids like you....
S h o u l d   b e   b u r n i n g   i n   h e l l.

Zrun
Conseiller régional
Messages : 345
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Petits défis de MeIdmry

Messagepar Zrun » 21 juil. 2017, 00:59

On peut même aller plus vite , en remarquant que l'on a 4n nombres strictement positif et inférieur à 4n strictement
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*


Revenir vers « Forum maths »

Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 1 invité