Petits problèmes de maths et d'informatique

[lulu3030]

Salut tout le monde !

Vous aimez les maths et l'informatique ? Pourquoi pas essayer de résoudre des problèmes mêlant les deux ?
Avant de donner les programmes, je tiens juste à faire quelques petites précisions :

• un niveau basique en programmation suffit, càd maîtriser les conditions, boucles, fonctions suffit
• tous les problèmes sont solubles avec des programmes dont le temps d'exécution est inférieur à 1 minute (temps pris avec des programmes Python ) : ce qui prime est donc d'avoir de bons algorithmes
• vous pouvez faire quelques recherches si vous avez besoin d'obtenir des informations sur les notions mathématiques en jeu
• ne faîtes pas trop de recherche quand même car, pour certains problèmes, les réponses sont en ligne...

Problème 1 (issu du Project Euler)

Les facteurs premiers de 13195 sont 5, 7, 13 et 29.
Quel est le plus grand facteur premier du nombre 600851475143 ?

Problème 2 (issu du Project Euler)

2520 est le plus petit nombre divisible par tous les nombres de 1 à 10 avec un résultat entier.
Quel est le plus petit nombre positif divisible par tous les nombres de 1 à 20 avec un résultat entier ?

Note : Ce problème peut être résolu avec une simple calculatrice collège

Problème 3

Trouver les 123456ème, 123457ème, 123458ème décimales de sqrt(2).

Problème 4 (issu du Project Euler)

1/6 = 0.166666...
Ici, la longueur de la période est de 1 car un 1 seul chiffre se répète infiniment (6 en l'occurrence).
Trouvez la valeur de d < 1000 pour laquelle 1/d contient la période la plus longue.

Problème 5

Trouver les 123456ème, 123457ème, 123458ème décimales de e.

Problème 6

Donner les 5 premières décimales de .

Problème 7

Il est possible d'écrire 5 comme une somme de 6 manières différentes exactement :

4 + 1
3 + 2
3 + 1 + 1
2 + 2 + 1
2 + 1 + 1 + 1
1 + 1 + 1 + 1 + 1

De combien de manières différentes 100 peut-il être écrit comme une somme d'au moins 2 nombres positifs ?

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Voilà tout pour les problèmes. J'en mettrais peut être encore.
Je peux donner des aides aussi et vous pouvez me contacter par MP pour me soumettre vos programmes si vous voulez.

[Csdo]

Tu le prends pas mal que personne t'ait répondu en plus de 1 an ?

[Kennedjiro]

Tu le prends pas mal que personne t'ait répondu en plus de 1 an ?

Répondre, c'est spoiler la réponse aux autres. Moi je les aime bien ces exos, même si certains sont un peu trop simplistes. Pour l'histoire des décimales de sqrt(2) en revanche je ne vois pas comment faire.

[Miltøn]

Bof, au moins on peut mettre un message « a été résolu par Untel ». Ou bien des propositions de réponses toujours améliorables, hein !
(par exemple, il y en a certains qui marchent très bien par force brute, mais dont je pense qu’il peut exister des solutions plus… intelligentes ! x) )

[AlphA]

@Kennedjiro : Si ça t'intéresse pour le sqrt(2), jette un coup d’œil à la Méthode de Héron, qui n'est -si je ne m'abuse- un cas particulier de la méthode d'Euler (qui sert à approcher les solutions de f(x) = 0 numériquement)

[Csdo]

Problème 2 : 232792560

Comment ça j'ai fait le plus simple ?

[lulu3030]

CSDO : je m'en fiche que personne n'ait répondu pendant plus 1 an, je n'ai pas mis les problèmes pour avoir des réponses, juste pour les partager et faire chercher les personnes intéressées.

Tu le prends pas mal que personne t'ait répondu en plus de 1 an ?

Répondre, c'est spoiler la réponse aux autres. Moi je les aime bien ces exos, même si certains sont un peu trop simplistes. Pour l'histoire des décimales de sqrt(2) en revanche je ne vois pas comment faire.

En parlant de problème simpliste, tu parles des décimales de sqrt(2) et e^1 ?
Pour sqrt(2), tu peux voir du côté de la méthode de Newton (la Méthode de Héron marche très bien aussi comme l'a dit AlphA).
Pour e^1, j'ai utilisé la série de l'exponentielle en 1 avec une petite astuce qui fait gagner énormément de temps car apporte un énorme gain en précision. Par exemple, j'ai vu des solutions (sur internet) de personnes ayant aussi utilisé la série de exponentielle mais pas la petite astuce et qui avait un temps d'exécution 100x plus important...

Pour finir, le problème 7 qui est très simple à comprendre est, je pense, assez difficile à résoudre sans utiliser la récursivité, donc si quelqu'un a une solution sans, je suis preneur !

Edit : désolé de revenir à chaque fois de répondre 40 ans après...

[Miltøn]

Je pense avoir une solution sans récursivité pour le 7…

[lulu3030]

Tu veux pas me l'envoyer par MP ?
Je parle d'une solution entièrement programmation. Pas de maths nécessaire.

Edit : En fait, Milton, je viens de reregarder mon programme et j'avais complètement oublié que j'avais fait 2 versions... Une sans (que j'ai fait en premier) et une avec récursivité (que j'ai fait quelques temps plus tard)... Mais comme je l'ai fait il y a presque 2 ans maintenant, j'avais oublié...
Donc, le 7 est faisable sans récursivité

[Miltøn]

Mmh… moi j’ai une solution purement mathématique en fait… x)
Je te l’envoie quand même ?

[Csdo]

Tu acceptes les récurrences fortes ? (c'est pas tout à fait de la récursivité vu qu'on est pas en info )

[lulu3030]

Milton, je veux bien ! Mais peut-être que je la connais, car j'ai pu voir des solutions mathématiques sur internet aussi.
Et Csdo aussi je veux bien !

[Miltøn]

…bon en fait j’ai juste un détail qui cloche, et pas de papier ni crayon sous la main pour débugguer. Je reprends ça plus tard…

[Csdo]

Ah non en fait ma 1e idée faisait compter plusieurs fois la même écriture (2+1+2 et 2+2+1 par exemple pour 5)
Mais j'en ai une autre, je vais y réfléchir vite fait (sans écrire, c'est fatigant)

[Miltøn]

CSDO : je crois qu’on avait la même… j’ai pensé ensuite à diviser par factorielle du nombre de termes pour tenir compte des permutations, mais ça ne marche pas (le cas pathologique, c’est par exemple 5 = 1+1+1+1+1 où on n’a qu’une façon d’obtenir cette combinaison, donc pas de permutation à faire… )