Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 14:36

je viens de comprendre ce que disait Vanxoo ne me dit pas que ct une contrepèterie :shock: ?? Si oui, superbe 8)
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Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 14:37

Oui, je sais pas trop pourquoi j'ai fait ça, en plus même pour l'exo transformé ce n'était pas la bonne façon de faire :roll:
Disons que l'histoire (surtout la géo en fait) a endommagé mes capacités cérébrales pour un certain temps :mrgreen:
Pour me rattraper je parachute que [tex]2^{1/2}+3^{1/3}[/tex] est racine de [tex]X^6-6X^4-6X^3+12X^2-36X+1[/tex] et en conclut le résultat :lol:
Et oui, c'est même deux contrepèteries...
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 14:43

Du coup je comprends pas l'énoncé de l'exo restant : tu supposes aussi que a et b ne sont pas des puissances 2n-ièmes j'imagine ?
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 14:54

quel tricheur tu le tiens d'où ça ????
sinon je trouve pas la 2eme ^^'
ben nn qd meme :)
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Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 14:57

Tu poses un exo dégeulasse, tu obtiens une solution dégeulasse :mrgreen:
Sinon pour la deuxième contepèterie, il n'y a qu'une seule inversion...
Il y a une solution jolie pour le truc avec les puissances 1/2n ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 14:59

eh bien si tu veux je te dis mais bon surement j'ai le corrigé et par les profs de llg pour certains ;)
ok je vais essayer de la trouver ^^
sinon vs vs connaissez zenon et toi ?
votre réponse sur 100! est incomplète ...
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 15:06

mais si tu exos "pas de pd" je peux t'en donner d'autres (stylés)!
d'ailleurs détailles moi comment tu fais l'ex avec [tex]\frac{n(n+1)}{3}[/tex]
Pour tout le monde il s'agit de :
Soit n un entier naturel tel que : [tex]\frac{n(n+1)}{3}[/tex] soit un carré parfait.

Montrer que : n est un multiple de 3 puis que [tex]\frac{n}{3}[/tex] et [tex]n+1[/tex] sont des carrés parfaits.
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 15:08

bon décidément je vois pas la 2ème contrepèterie :(
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Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 15:13

Nan je veux pas la solution, juste savoir si c'est pas trop moche parce que le premier (enfin du moins ma solution)...
Des profs de llg ? C'est les exos pour les futurs sup à llg ? Sinon toi aussi tu connais Zénon :P (mais passe en MP pour parler de l'identité des gens)
Et pour 100! je m'étais rendu compte que j'avais arnaqué quand j'ai directement enlevé le 2 dans la parenthèse, mais personne ne me l'a fait remarquer.
Si on veut faire ça proprement on enlève juste le 5 puis on calcule modulo 10 et on fait sortir le 2^24. Etonamment, on trouve pareil...
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 15:31

ah mais que tu trouves juste ne veux rien dire, preuve : trouve les évaluations 2,3 et 7 adique de 100!, multiplie les et tu vas voir que ça fait le bon résultat (à condition de retirer 24=valuation 5 adique de 100! à ta valuation 2 adique)
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 15:32

ben je sais pas mais c est des profs de llv qui ont fait le bouquin oui ...
Dernière édition par AntoDodo le 18 juin 2015, 16:31, édité 1 fois.
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 15:38

llg dsl*
sinon pour 100! t as une erreur justement parce que tu disais qu'on a enlevé TOUTES les puissances de 2 et de 5. Non on a enlevé 24 puissances de 2, il en reste encore 73 (si j'ai bien calculé ^^) !!
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Messagepar Vanxoo_ » 18 juin 2015, 15:48

Non c'est pas pour ça son erreur, il a juste enlevé le 2 (en divisant par 2) et a fait comme s'il restait rien, sauf qu'il peut rester un 6... et il a pas enlevé toutes les puissances de 2 mais il l'a compté dans son calcul (vu qu'il a laissé 4 6 et 8 ) ^^

Par contre AntoDodo, édite tes messages plutôt que d'en poster 3 à la suite x)
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Messagepar AntoDodo » 18 juin 2015, 16:31

Ok ok je vois x) ben c'est simple je vais proposer un truc :

Avis à la population, j'attire l'attention sur l'exercice suivant :
Trouver le dernier chiffre non nul de 100!, puis 1000!

Pafnouti et Zénon : vous allez voir qu'il y a un problème ...
Vanxoo : j y penserai par la suite ^^'
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Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 17:31

Vanxoo_ a écrit :Non c'est pas pour ça son erreur, il a juste enlevé le 2 (en divisant par 2) et a fait comme s'il restait rien, sauf qu'il peut rester un 6... et il a pas enlevé toutes les puissances de 2 mais il l'a compté dans son calcul (vu qu'il a laissé 4 6 et 8 ) ^^

Ah ! Merci pour le soutien :D

Vanxoo_ a écrit :Par contre AntoDodo, édite tes messages plutôt que d'en poster 3 à la suite x)

Je suis d'accord : on voit plus grand chose après...

Quant au dernier chiffre de 1000!, c'est la même chose, mais franchement j'ai la flemme.
Je vais plutôt chercher les puissances 2n-ièmes car ça m'intrigue.

Je tiens quand même à préciser qu'au départ c'était un topic sur ma jolie inégalité, peut-être faudrait-il créer un topic "Défis d'AntoDodo" où tu mettrais tous les problèmes dans un seul post car là c'est un peu le bordel :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 18 juin 2015, 18:21

Pafnouti42 a écrit :Ah ! Merci pour le soutien


(en fait ça marche pas non plus pour les 5 mais en bidouillant on retrouve ^^)

Bon, pour se mettre d'accord sur cette factorielle (vu que jusqu'ici on a que des démos sales et/ou fausses qui donnent par hasard le bon résultat) je propose de démontrer le résultat suivant :

Soit [tex]n\in \mathbb{N}[/tex]. On note [tex]\overline{a_ma_{m-1}...a_0}^5[/tex] la décomposition en base 5 de [tex]n[/tex]. Démontrer que

[tex]\frac{n!}{5^{v_5(n!)}} \equiv (-1)^{v_5(n!)} \times a_m!a_{m-1}!...a_0! \mod 5[/tex]

En utilisant ce résultat sorti de nulle part, comme on a [tex]1000 = \overline{13000}^5[/tex] et [tex]v_5(1000!) = 249[/tex], on obtient
[tex]\frac{n!}{5^{249}} \equiv -6 \equiv 4 \mod 5[/tex]
Si on appelle [tex]a[/tex] le dernier chiffre non nul de 1000!, on a [tex]2^{249}a\equiv 4 \mod 5[/tex] donc [tex]2a\equiv 4 \mod 5[/tex] donc [tex]a=2[/tex].
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 18:26

Vanxoo_ a écrit :Démontrer que
[tex]\frac{n!}{5^{v_5(n!)}} \equiv (-1)^{v_5(n!)} \times a_m!a_{m-1}!...a_0! \mod 5[/tex]


Euh...tu as trouvé ça tout seul :shock: ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 18 juin 2015, 18:49

Non t'inquiètes x) j'essayais de le démontrer (trouvé sur un forum) puis comme c'est bien pour l'exo je vous le partage :D
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 18 juin 2015, 19:48

Bon bah Vanxoo_, je te nomme mon digne successeur dans la lignée des gens utilisant des théorèmes cheatés :P
Je n'ai pas trop regardé la formule en question, mais une remarque qui pourrait peut-être s'avérer utile (ou pas :mrgreen: ) est que

[tex]a_0+...+a_m=n-4v_5(n!)[/tex]

Sinon, on peut même montrer que le dernier chiffre non nul de n! forme une suite non périodique (même à partir d'un certain rang).
Pour plus d'information, voir l'exercice 148 de l'excellent http://www.animath.fr/IMG/pdf/cours-arith1.pdf ou encore http://www.artofproblemsolving.com/community/c6h220913p1225019, avec un lien vers un pdf qui va faire rager AntoDodo :twisted:

Cette histoire me fait penser à un exo plus facile qui est le suivant (il faut bien qu'AntoDodo ait des exos à chercher également, puisqu'il n'a pas donné signe d'activité sur mon inégalité :roll: ) :

On considère la suite 1,3,4,9,10,12,13...constituée des entiers supérieurs ou égaux à 1, en ordre croissant, qui sont des puissances de 3 ou des sommes de puissances distinctes de 3 (par exemple 4=3^1+3^0, 10 =3^2+3^0, 13=3^2+3^1+3^0...etc.). Quel est l'entier qui se trouve à la centième place ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 18 juin 2015, 19:51

Hmm...

Je me sens totalement largué, là :lol: Mais c'est beau de voir des futurs sup' s'amuser avec les maths, c'est ça l'esprit :P
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zénon » 18 juin 2015, 20:07

En combinant avec du binaire, on trouve 981 (sachant que la place une est le premier terme de la suite).

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 18 juin 2015, 20:24

Ta suite c'est la suite des entiers qui s'écrivent qu'avec des 1 et des 0 en base 3 quoi ?
Du coup comme dit Zénon le centième s'écrit en base 3 comme 100 en binaire, soit 1100100, donc 981
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 07:33

Oui, c'est exactement ça !
C'est pas trop dur mais rigolo comme exo je trouve :D
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 08:35

Noyé dans le flot de messages à la suite d'AntoDodo, je n'avais pas vu l'exo d'arithmétique qui était proposé.
Peut-être qu'il y a plus simple, mais voici quelque chose qui m'a l'air de marcher :

On cherche à résoudre [tex]\frac{n(n+1)}{3}=m^2[/tex]. Pour que la fraction soit entière, il faut que n soit divisible par 3 ou congru à 2 modulo 3.
On étudie donc ce dernier cas en posant [tex]n=3k+2[/tex]. L'équation se réécrit [tex]3k^2+5k+(2-m^2)=0[/tex].
On considère ça comme un trinôme du second degré en k. Si l'équation a des solutions entières en k, le discriminant (scriminant...MINANT !) de ce trinôme doit être un carré parfait.
Or [tex]\Delta=m^2+1[/tex]. Mais [tex]m^2+1[/tex] est un carré si et seulement si m=0, ce qui donne k=-1 et donc n=-1. Contradiction.
On en conclut que n est nécessairement divisible par 3. En posant [tex]n=3k[/tex], il vient [tex]k(3k+1)=m^2[/tex]. Or k et 3k+1 sont premiers entre eux. Donc ce sont tous les deux des carrés. Quite Easily Done :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 08:55

Ah oui j'avais pas pensé, mais la méthode que t'avais dite : un carré est congru à 0 ou 1 (mod 3) ne te sert a rien en fait :p
Ok j'editerais mon petit "coin exo" dorénavant ;)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 08:57

AntoDodo a écrit :Ah oui j'avais pas pensé, mais la méthode que t'avais dite : un carré est congru à 0 ou 1 (mod 3) ne te sert a rien en fait :p

Oui, j'avais bien truandé :mrgreen:

AntoDodo a écrit :Ok j'editerais mon petit "coin exo" dorénavant ;)

Nice :D
Si j'en ai pas oublié il ne reste que les puissances 1/2n et la démo du théorème cheaté de Vanxoo_, c'est bien ça ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 09:15

ouais si tu veux ;) tu me dis si tu t'ennuies après :)
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 11:57

Pour revenir sur le polynôme de Pafnouti42, tu l'as trouvé avec internet ou seul avec une méthode ? Je trouve ça bien pratique pour montrer que quelque chose est irrationnel en montrant que c'est une solution d'un polynôme à coefficient entier (surtout si c'est un polynôme unitaire).

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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 16:48

A la main ça se fait, je posterai les détails si tu y tiens : c'est juste calculatoire.
Mais j'ai vérifié avec Wolfram : tu tapes "minimal polynomial of ..."
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 16:50

J'y tiens !

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Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 16:51

je tiens à préciser que ta solution est bien la bonne et celle de la correction 8)
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 16:53

Tu parles du polynôme ? Ils balancent ça comme ça dans la correction ??

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Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 16:57

oui le polynôme, nn pas direct mais il introduise progressivement pour dire que c est bien une racine
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 16:57

Tu peux m'envoyer le poly alors :mrgreen:

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 17:02

il te l a pas donné Pafnouti ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 17:04

Bon ok Zenon, je t'écrirai les détails quand je serai motivé pour me les taper...

Ca m'étonne que ce soit la solution "officielle", car avec les nombres algébriques c'est trivial en fait... :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 17:05

AntoDodo a écrit :il te l a pas donné Pafnouti ?


Il s'appelle comment ?

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 17:10

What ?
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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 17:15

Je pense qu'il parle du poly.
Mais moi je ne le connais pas :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 19 juin 2015, 17:38

le poly a un nom maintenant ? x) ben le poly de Pafnouti qu'on va l'appeler ;) quoique non les polynomes de Tchebychev ça existe déjà :P
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Messagepar zzzzz » 20 juin 2015, 07:54

Kennedjiro a écrit :Veuillez m'excuser... On est vraiment censé pouvoir manipuler ça en fin de terminale ? Parce que nous niveau arithmétique on est pas allés plus loin que le théorème de Bezout. :|

Ne t'inquiète pas, chaque année il y a quelques petits génies qui font peur sur le forum et font souvent beaucoup moins peur une fois que les cours ont commencé...
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:12

Qui font souvent beaucoup moins peur, mais qui restent souvent assez bons… il y a eu un exemple dans ta classe, ton année, non ? :wink:
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Messagepar zzzzz » 20 juin 2015, 09:14

Milton a écrit :Qui font souvent beaucoup moins peur, mais qui restent souvent assez bons… il y a eu un exemple dans ta classe, ton année, non ? :wink:

Pas toujours, en fait.
Quant à un exemple dans ma classe... Tu parles de qui ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 20 juin 2015, 09:36

Je suis désolé Zénon, mais j'ai jeté mes brouillons ( :oops: ) pour l'irrationnalité du truc dégeulasse, et de toute façon le développement immonde ne tiendrait pas dans la marge :roll:

Sinon si tu poses [tex]a=\sqrt{2}+\sqrt[3]{3}[/tex], les seuls trucs intéressants que tu peux dire sont que [tex](a-\sqrt[3]{3})^2=2[/tex] et [tex](a-\sqrt{2})^3=3[/tex].
Ensuite il faut homogénéiser tout ça et donc plutôt écrire [tex]((a-\sqrt[3]{3})^2-2)^3=0[/tex] et [tex]((a-\sqrt{2})^3-3)^2=0[/tex].
L'idée est d'alors de bidouiller ces deux trucs après développement pour obtenir un polynôme à coefficients entiers en les combinant.
Normalement si on s'y prend bien on tombe sur celui que j'ai proposé, mais il y en a sans doute d'autres.

Quoi qu'il en soit, c'est beaucoup plus instructif de dire que la somme de deux entiers algébriques est un entier algébrique :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:40

D’un élève qui personnellement m’a fait peur sur le forum fin juin 2013, qui a eu 20 tout rond au bac (même si on sait que ça ne veut pas dire grand chose) et vient de faire exploser la barre des Mines (hahaha) avec plus de 20 de moyenne à l’écrit… Donc même si rares sont ceux qui explosent tout dès le début (de toute façon, c’est presque toujours des marocains qui majorent le premier DS de maths :mrgreen: ), même si bien sûr on peut voir des ascensions assez fulgurantes en cours de prépa, j’ai pas d’exemple d’élèves qui aurait tout explosé en terminale et fait peur sur le forum, mais se serait rétamé en prépa…
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Messagepar zzzzz » 20 juin 2015, 09:42

Bien sûr, bien sûr. Je distinguais juste « se rétamer », « avoir d'excellents résultats » et « avoir du génie ». Pas assez binaire pour être vraiment clair, je sais... :wink:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:46

Mmmh… D’acord, alors j’ai mal compris le second degré de ton premier post ici même… je comprends mieux ! ;-)
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Messagepar zzzzz » 20 juin 2015, 09:49

Ça n'est pas forcément du second degré, c'était juste pour rassurer Kennedjiro : pas d'inquiétude, a priori et sauf parachutage d'extraterrestres ils sont quand même de la même planète que toi (corollaire : tu es aussi de la leur, ça fait encore plus agréable dans ce sens-là). :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:57

Et puis y’a pas besoin d’être major pour intégrer les meilleures des écoles… :wink:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 20 juin 2015, 10:21

Milton a écrit :D’un élève qui personnellement m’a fait peur sur le forum fin juin 2013, qui a eu 20 tout rond au bac (même si on sait que ça ne veut pas dire grand chose) et vient de faire exploser la barre des Mines (hahaha) avec plus de 20 de moyenne à l’écrit… Donc même si rares sont ceux qui explosent tout dès le début (de toute façon, c’est presque toujours des marocains qui majorent le premier DS de maths :mrgreen: ), même si bien sûr on peut voir des ascensions assez fulgurantes en cours de prépa, j’ai pas d’exemple d’élèves qui aurait tout explosé en terminale et fait peur sur le forum, mais se serait rétamé en prépa…


Il prend plaisir à passer les mines, quoi :mrgreen:
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