Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

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Zénon
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zénon » 30 juin 2015, 20:01

Milton a écrit :
Zénon a écrit :PS : Le code pour faire un bon spoiler #E3EAF2 !

Merci ! J’avais la flemme de faire une capture d’écran et sortir ma pipette à couleurs… :mrgreen:

De rien :D Par contre comme la couleur des messages alterne :roll: l'autre c'est #EDF3F7

(Mais l'option spoiler serait mieux :mrgreen: )

Bravo à toi si tu as lu ce message !

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 02 juil. 2015, 19:56

Milton a écrit :Merci ! J’avais la flemme de faire une capture d’écran et sortir ma pipette à couleurs… :mrgreen:

Pourquoi faire une capture d'écran ?

Sinon, pour l'exo de Zénon, la remarque cruciale est que si [math] est solution alors [math] est également solution. En effet, si [math] alors [math]. Puisque [math] est solution, on peut appliquer la transformation précédente à plusieurs reprises sur ce couple, en alternant le nombre qui reste fixe (car sinon on revient sur un couple déjà vu), ce qui donne [math] On en déduit que les termes de la forme [math] (ou son symétrique) sont solution pour tout [math], où [math] est la suite définie par [math], [math] et [math].

Réciproquement, tous les éventuels couples solution sont de la forme précédente. Effectivement, si [math] est solution avec [math], alors [math] était aussi solution, or [math] donc ce couple était composé du [math] qui reste constant et d'un nombre plus petit. En réitérant ce processus, on fait à chaque fois diminuer un des deux nombres, jusqu'à ce que l'un d'entre eux vale [math]. Mais alors l'autre vaudra [math] ou [math], ce qui fournit deux couples déjà vus. En remontant, on en conclut que [math] était déjà de la forme [math], ce qui conclut.

Voilà voilà, dites-moi ce que vous en pensez (surtout pour la réciproque), et vive MathJax :D
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Messagepar Zénon » 02 juil. 2015, 21:00

Boh tu reconnais pas les nombres :( ? (34 !!) Tu devrais plutôt appliquer la formule de Viète au lieu de faire un truc du style Pell-Fermat. Tu verras une jolie solution apparaître :wink:

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Messagepar Pafnouti42 » 03 juil. 2015, 16:32

Si ça te fait plaisir, la suite donne un terme sur deux de la suite de Fibonacci, mais je ne vois pas le rapport, ce qui est important me semble être la transformation qui conserve les couples solution. Euh, je ne vois pas trop le rapport entre Pell-Fermat et ce que j'ai fait :? Sinon qu'est-ce que tu appelles la formule de Viète ? Et prétendrais-tu que ma solution (si toutefois elle est bonne) n'est pas jolie ?
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Messagepar Zénon » 03 juil. 2015, 17:11

Tu résous ça comme une équation quadratique paramétrique, tu factorises puis ce qui est intéressant c'est de montrer pour quelles valeurs de [math], [math] est un carré parfait...
Dernière édition par Zénon le 03 juil. 2015, 17:17, édité 2 fois.

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Messagepar Zénon » 03 juil. 2015, 17:17

Tu veux que je poste ma solution ? (elle est plus calculatoire...)

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Messagepar Pafnouti42 » 03 juil. 2015, 17:18

J'y avais pensé, mais finalement en observant la forme des solutions j'ai trouvé la transformation et je pense que ça m'a bien permis de comprendre d'où sortaient les solutions :) Mais oui je veux bien ta solution pour voir, c'est tjrs intéressant de comparer les points de vue !
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Messagepar Zénon » 03 juil. 2015, 17:51

Ma solution :

Avec la formule de Viète, on a [math] et [math]. Il faut donc montrer que [math] est un entier. Pour tout [math], [math] divise [math]. Donc, [math] doit être un carré parfait. Si [math] est un nombre de Fibonacci, alors [math] ou [math] est un carré parfait. Soit [math], [math], [math] la série de Fibonacci. On a [math] qui est toujours un carré parfait (Je fais la preuve après). Donc [math] avec [math] un nombre impair.

Soit [math], [math], [math] la série de Lucas. On a les relations :

[math] et [math].

Donc on a [math].

(ici ce n'est plus de moi...)

Problème : Montrer que [math] est un nombre de Fibonacci si, et seulement si [math] ou [math] est un carré parfait.

Démonstration : Soit [math], [math], [math] la série de Fibonacci et soit [math], [math], [math] la série de Lucas. On a les relations :

(1) : [math],
(2) : [math].

On soustrait quatre fois la première forme de la seconde au carré, on a :

[math].

Donc [math] ce qui conclue. [math]

Démonstration du contraire : (Là ça vient d'un poly, je la comprends pas très bien...) Assumons [math]. Alors [math], donc

[math]

et donc [math] et [math] ont la même parité,

[math] et [math]

sont des entiers dans [math], et leur produit est [math], ils sont unitaire. C'est bien connu que les seules unités intégrées dans [math] sont de la forme [math], où [math]. Alors nous avons

[math],

[math]. Maintenant [math] et [math].

Donc [math] et [math]. [math]






Les solutions de l'équation sont donc les couples (symétrique) [math] avec [math] et [math].
Dernière édition par Zénon le 04 juil. 2015, 01:30, édité 3 fois.

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 03 juil. 2015, 18:26

Ca a l'air plus compliqué que ma preuve mais intéressant, sauf que je ne comprends pas la seconde partie : qu'est-ce que tu appelles [math] ?

Sinon je te conseille d'utiliser [\![ et ]\!] pour les intervalles d'entiers, c'est plus mieux :wink:
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Messagepar Miltøn » 03 juil. 2015, 19:15

J’utilise \mathbf{[]}, c’est encore plus mieux ! ;-)

Je suppose que [tex]\mathbf{Q}(\sqrt{5})[/tex] désigne le corps (pas l’anneau d’entiers, tu te souviens de la conférence de Cohen, Pafnouti ? ;-) ) Q-engendré par 1 et racine de 5 – c’est-à-dire l’ensemble des polynômes rationnels en racine de 5, ou encore l’ensemble des a + b racine de 5.
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Messagepar Miltøn » 03 juil. 2015, 19:17

Zénon a écrit :C'est bien connu que les seules unités intégrées dans [math] sont de la forme [math], où [math]

Euuuuh ? ^^

Au passage, la formule de Viète, c’est l’expression par radicaux des racines d’un polynôme du second degré ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 03 juil. 2015, 19:21

Milton a écrit :Je suppose que [tex]\mathbf{Q}(\sqrt{5})[/tex] désigne le corps (pas l’anneau d’entiers, tu te souviens de la conférence de Cohen, Pafnouti ? ;-) ) Q-engendré par 1 et racine de 5 – c’est-à-dire l’ensemble des polynômes rationnels en racine de 5, ou encore l’ensemble des a + b racine de 5.


Ah ah oui, mais je voulais être sûr ! Et d'ailleurs attention à ne pas confondre [math] et [math] ;-)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 03 juil. 2015, 19:49

Tssss… tu me prends pour un analyse ? :-P
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 03 juil. 2015, 19:54

:P

J'ai applaudi qd il a dit ça, mais d'un autre côté il avait ensuite sorti que ce que les prépas faisaient de plus fondamental était le calcul :evil:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 03 juil. 2015, 20:05

Pfff… Je pense qu’il a raison quand il explique qu’il n’y a plus de recherche en algèbre : aujourd’hui, les seuls problèmes restants sont tous récompensés d’un million de dollar, et il est presque impossible de trouver une thèse à faire.

Mais ça ne signifie pas que nous soyons condamnés au calcul bourrin et à l’analyse. Entre autre, je suis convaincu que les probabilités sont une filière d’avenir ! :wink:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2015, 19:09

Milton, as-tu eu le courage de finir les calculs pour mon inégalité ou tu as la flemme et je poste la paramétrisation magique ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2015, 20:20

J’ai un énorme accès de flemme, et un doute que ma solution puisse fonctionner (je me demande si des équations > 5e degré, donc insolubles par radicaux, ne vont pas apparaître… :/)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 13 juil. 2015, 12:20

OK :P Donc nous revenons au sujet initial de la discussion, à savoir la magnifique (...) inégalité que j'avais proposée.

L'idée est de tout décomposer à partir des polynômes symétriques élémentaires.
On note [math], [math] et [math].

Notre premier travail consiste alors à exprimer [math] en fonction des [math].
Après des calculs un peu chiants (ou mieux, des dérivations partielles :) ), on arrive à
$$(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2=27(3d_1^2d_2^2-4d_2^3+d_3(6d_1d_2-4d_1^3)-d_3^2)$$
De ce fait, \((a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 \geq 0\) est une inégalité quadratique en \(d_3\) qui est vérifiée ssi le discriminant positif et \(d_3\) se trouvent entre les racines. Donc
\begin{align}
d_3 &= 3d_1^2d_2^2-2d_1^3 \pm \sqrt{(3d_1d_2-2d_1^3)^2+3d_1d_2-4d_2^3}\\
&= 3d_1^2d_2^2-2d_1^3 \pm \sqrt{12d_1^2d_2^2+4d_1^6-12d_1^4d_2^2-4d_2^3}\\
&= 3d_1^2d_2^2-2d_1^3 \pm \sqrt{4(d_1^2-d_2)^3}
\end{align}
D'où
$$d_3=3d_1^2d_2^2-2d_1^3 \pm 2(d_1^2-d^2)^{\frac{3}{2}}$$

On peut ainsi effectuer la paramétrisation suivante :

8) Paramétrisation magique 8)
  • \(d_1=d\), \(d \in \mathbb{R}\)
  • \(d_2=d^2(1-k^2)\), \(k \in \mathbb{R}\)
  • \(d^3=1-3k^2 + 2k^3 cos \ x\), \(x \in \mathbb{R}\)
En effet \(d_3 = 3d^3(1-k^2)-2d^3 \pm 2(dk)^3 = d^3(1-3k^2 \pm 2k^3)\)

Finalement,
\begin{align}
(a-b)^2(b-c)^2(c-a)^2 &= -27(d_3-(3d_1d_2-2d_1^3+2(d_1^2-d_2)^{\frac{3}{2}}))(d_3-(3d_1d_2-2d_1^3-2(d_1^2-d_2)^{\frac{3}{2}}))\\
&=-27(d_3-d^3(1-3k^2+2k^3))(d_3-d^3(1-3k^2-2k^3))\\
&= -27(2d^3k^3(cos \ x -1))(2d^3k^3(cos \ x +1))\\
&= 4 \times 27 \ d^6k^6 sin^2 \ x
\end{align}
On obtient le :twisted: corollaire :twisted:
$$(a-b)(b-c)(c-a)=6 \sqrt{3} d^3 k^3 sin \ x $$

Voilà voilà, ce lemme diabolique établi, appliquons-le à l'exo :
\begin{align}
|6 \sqrt{3} d^3 k^3 sin \ x \ 3d_1| \leq M(9d_1^2-6d_2)^2 &\Leftrightarrow |2 \sqrt{3} d^4k^3sin \ x| \leq M(3d^2-2d^2(1-k^2)^2)^2\\
&\Leftrightarrow |2 \sqrt{3} k^3 sin \ x | \leq M(1+2k^2)^2\\
&\Leftrightarrow \sqrt{2}\ \sqrt[4]{3}\ k^\frac{3}{2} \leq \sqrt{M} (1+2k^2)
\end{align}
(On suppose sans restreindre la généralité que \(sin \ x=1\) et que \(k \geq 0\))
Mais par IAG
$$1+2k^2=1+\frac{2}{3}k^2+\frac{2}{3}k^2+\frac{2}{3}k^2\geq 4\ \sqrt[4]{\frac{2^3}{3^3}} \ k^{\frac{6}{4}}$$
Ainsi \(M\) est minimal lorsque
$$\sqrt{2} \ \sqrt[4]{3} \ k^{\frac{3}{2}} = \sqrt{M} 4\ \sqrt[4]{\frac{2^3}{3^3}} \ k^{\frac{6}{4}} \Leftrightarrow M=\frac{9}{16 \sqrt{2}}$$

Ploum.
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 13 juil. 2015, 12:43

Question innocente : cet exo, tu l’as trouvé où ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zénon » 13 juil. 2015, 13:11

IMO 2006 Problème 3.

Il y a quand même plus simple pour cette inégalité...

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 13 juil. 2015, 14:31

N'empêche que je m'attendais à un truc plus rapide quand tu parlais de ton lemme scandaleux :(
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar MeIdmry » 13 juil. 2015, 14:52

Milton a écrit :Je pense qu’il a raison quand il explique qu’il n’y a plus de recherche en algèbre : aujourd’hui, les seuls problèmes restants sont tous récompensés d’un million de dollar, et il est presque impossible de trouver une thèse à faire.


Presque :wink:
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 13 juil. 2015, 14:53

MeIdmry a écrit :
Milton a écrit :Je pense qu’il a raison quand il explique qu’il n’y a plus de recherche en algèbre : aujourd’hui, les seuls problèmes restants sont tous récompensés d’un million de dollar, et il est presque impossible de trouver une thèse à faire.


Presque :wink:

Certes :mrgreen:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 13 juil. 2015, 17:29

Zénon a écrit :Il y a quand même plus simple pour cette inégalité...


Zénon, qui a visiblement regardé la correction sur aops :P
En tout cas poste-la si tu veux !

Vanxoo_, j'ai redémontré tout le lemme, mais aux IMO tu peux l'utiliser directement.
Si tu fais ça, ça veut dire que tu torches un IMO 3 en moins d'une demie-heure donc niveau scandale ça passe :mrgreen:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 13 juil. 2015, 18:23

Il a un nom ce lemme ? Genre en gros, aux IMO on a le droit de sortir "On définit les polynômes symétriques élémentaires blablabla, et ensuite d'après le lemme de Berswinskiwyzc, on sait que [math], ce qui nous permet de..." ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 13 juil. 2015, 19:07

Non, ce lemme n'a pas de nom (à ma connaissance). Mais si les élèves l'ont vu pendant leur préparation, ils peuvent le parachuter puis l'utiliser.
En fait, pour un IMO 3, si tu résous l'exo tu as 7 pts, sinon 0 (je caricature presque pas).
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 14 août 2015, 10:29

UP :o

Personnellement, j'aimerais bien une indication de la part d'AntoDodo (ou de quelqu'un d'autre) pour l'exo

Soit [math]. Montrer que si [math] alors [math]


Notez que je m'essaie au \mathbf :wink:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 14 août 2015, 12:42

Pafnouti42 a écrit :UP :o

Personnellement, j'aimerais bien une indication de la part d'AntoDodo (ou de quelqu'un d'autre) pour l'exo

Soit [math]. Montrer que si [math] alors [math]


Notez que je m'essaie au \mathbf :wink:

haha je l'ai pas fait dsl ^^' si tu sèches vraiment j'irais voir la correction st :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Csdo » 14 août 2015, 13:17

Euh ... Il faudrait plutôt un [math] non ? Parce que sinon, avec n = 1 et a = b = 4 c'est bon :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AntoDodo » 14 août 2015, 13:32

Csdo a écrit :Euh ... Il faudrait plutôt un [math] non ? Parce que sinon, avec n = 1 et a = b = 4 c'est bon :lol:

ha oui effectivement faut que je vérifie mes sources ^^'
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 14 août 2015, 13:42

AntoDodo a écrit :ha oui effectivement faut que je vérifie mes sources ^^'

:roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Sketshup » 19 août 2015, 21:35

Salut!

Je viens de m'inscrire. Voici ma première contribution, avec l'un de mes problèmes favoris:

On pose: [tex]L = ]0;1[[/tex] . Soit [tex]a, b \in L[/tex] Distincts. La fonction [tex]f[/tex] de [tex]L vers L[/tex] est définie comme suivant:

[tex]f(x) = x^2 ; x \in [1/2; 1[. f(x) = x+1/2; x \in ]0;1/2[.[/tex]

On définit les deux suites [tex](a_n), (b_n)[/tex] récursivement:
[tex]a_0 = a, b_0 = b. (a_{n+1};b_{n+1}) = (f(a_n);f(b_n)). n \in IN[/tex]

On doit prouver qu'il existe [tex]n[/tex] entier strictement naturel tel que le produit [tex](a_{n+1} - a_n)(b_{n+1} - b_n)[/tex] est strictement négatif.

[EDIT]a et b sont distincts, merci pour la remarque!
Dernière édition par Sketshup le 21 août 2015, 20:25, édité 1 fois.

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Csdo » 19 août 2015, 21:38

Salut :D Tu pourrais aller dire bonjour sur le forum 15/16 :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 19 août 2015, 22:15

Sketshup a écrit :Salut!

Je viens de m'inscrire. Voici ma première contribution, avec l'un de mes problèmes favoris:

On pose: [tex]L = ]0;1[[/tex] . Soit [tex]a, b \in L[/tex] La fonction [tex]f[/tex] de [tex]L vers L[/tex] est définie comme suivant:

[tex]f(x) = x^2 ; x \in [1/2; 1[. f(x) = x+1/2; x \in ]0;1/2[.[/tex]

On définit les deux suites [tex](a_n), (b_n)[/tex] récursivement:
[tex]a_0 = a, b_0 = b. (a_{n+1};b_{n+1}) = (f(a_n);f(b_n)). n \in IN[/tex]

On doit prouver qu'il existe [tex]n[/tex] entier strictement naturel tel que le produit [tex](a_{n+1} - a_n)(b_{n+1} - b_n)[/tex] est strictement négatif.

Si [tex]a = b[/tex] ton produit est toujours positif, non ? C'est un contre-exemple à ta proposition, qui peut être fausse indépendamment de [tex]n[/tex]. :|
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Sketshup » 21 août 2015, 21:38

Je poste pour dire que j'ai édité.

a et b sont distincts.

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 21:43

Sketshup a écrit :Je poste pour dire que j'ai édité.

a et b sont distincts.

C'est bête, maintenant j'ai plus trop la motivation pour le faire correctement. Peut-être que j'y réfléchirai demain, si Pafnouti ne l'a pas encore torché. :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AlphA » 21 août 2015, 22:03

J'ai le cas facile où [math] et [math] n'appartiennent pas au même [math] (ou alors je raconte n'importe quoi parce que j'ai besoin de dormir :roll: )
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Csdo » 21 août 2015, 22:07

AlphA a écrit :J'ai le cas facile où [math] et [math] n'appartiennent pas au même [math] (ou alors je raconte n'importe quoi parce que j'ai besoin de dormir :roll: )


Euh ... [math] et [math] non ? Dans ce cas, tu as [math] et ton intervalle est pas défini comme ça :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AlphA » 21 août 2015, 22:15

Csdo a écrit :
AlphA a écrit :J'ai le cas facile où [math] et [math] n'appartiennent pas au même [math] (ou alors je raconte n'importe quoi parce que j'ai besoin de dormir :roll: )


Euh ... [math] et [math] non ?

D'où ? O.o c'est plutôt [math] à la rigueur non ? genre en prend la racine carrée de l'intervalle [math] à chaque fois
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Csdo » 21 août 2015, 22:19

Autant pur moi, je suis fatigué et j'ai confondu la gauche et la droite :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar AlphA » 21 août 2015, 22:21

Csdo a écrit :Autant pur moi, je suis fatigué et j'ai confondu la gauche et la droite :roll:

Au début mon post c'était "OMFG HOLIDAYS", autant te dire que je suis pas très serein non plus :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 22:27

Déjà, on voit que l'équation [math] n'admet aucune solution, donc la suite ne sera jamais constante : aucun des facteurs du produits n'est donc nul. De plus, ce produit est négatif si et seulement si les deux facteurs sont de signes différents, donc si l'une des suites est croissante et l'autre décroissante. On voit aussi que [math]. Il faut donc montrer qu'il existe un rang [math] tel que [math] et [math] (ou le contraire).
Aussi, on a [math] et [math] : [math] et [math] ne peuvent être "séparées" que lorsque les deux sont supérieures à 1/2, et la différence entre les deux est conservée lorsqu'ils passent de la première moitié à la seconde moitié de [math].
Soit un rang [math] tel que [math] et [math] sont supérieurs à 1/2 (si ce rang n'existe pas, le problème est résolu), et on suppose [math]. On a alors [math]. Ainsi, si on suppose que [math] et [math] sont toujours du même côté de [math], alors en posant (pour [math]) [math] on a [math] pour [math] de même parité que [math] et [math] pour [math] d'une parité différente de [math]. Ainsi, [math] est croissante (puisque lorsque [math], [math]. Comme elle est majorée par 1, elle converge : c'est donc que [math] tend vers 1. Comme on suppose que les deux suites sont du même côté de[tex]L[/tex], c'est qu'elle convergent toutes les deux vers 1/2. Mais alors la différence entre les deux tend vers 0. Contradiction.

Voilà, j'ai l'impression de pas avoir été clair... je reprend demain si il faut :?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 22:55

Vanxoo_ a écrit :Déjà, on voit que l'équation [math] n'admet aucune solution, donc la suite ne sera jamais constante : aucun des facteurs du produits n'est donc nul. De plus, ce produit est négatif si et seulement si les deux facteurs sont de signes différents, donc si l'une des suites est croissante et l'autre décroissante. On voit aussi que [math]. Il faut donc montrer qu'il existe un rang [math] tel que [math] et [math] (ou le contraire).
Aussi, on a [math] et [math] : [math] et [math] ne peuvent être "séparées" que lorsque les deux sont supérieures à 1/2, et la différence entre les deux est conservée lorsqu'ils passent de la première moitié à la seconde moitié de [math].
Soit un rang [math] tel que [math] et [math] sont supérieurs à 1/2 (si ce rang n'existe pas, le problème est résolu), et on suppose [math]. On a alors [math]. Ainsi, si on suppose que [math] et [math] sont toujours du même côté de [math], alors en posant (pour [math]) [math] on a [math] pour [math] de même parité que [math] et [math] pour [math] d'une parité différente de [math]. Ainsi, [math] est croissante (puisque lorsque [math], [math]. Comme elle est majorée par 1, elle converge : c'est donc que [math] tend vers 1. Comme on suppose que les deux suites sont du même côté de[tex]L[/tex], c'est qu'elle convergent toutes les deux vers 1/2. Mais alors la différence entre les deux tend vers 0. Contradiction.

Voilà, j'ai l'impression de pas avoir été clair... je reprend demain si il faut :?

Tu ne voulais pas plutôt dire « Soit un rang [math] tel que pour tout [math] on a [math], [math] » ? Parce que sinon, ta suite [math] n'est plus croissante lors du passage sous 1/2. :|
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 22:58

Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :Déjà, on voit que l'équation [math] n'admet aucune solution, donc la suite ne sera jamais constante : aucun des facteurs du produits n'est donc nul. De plus, ce produit est négatif si et seulement si les deux facteurs sont de signes différents, donc si l'une des suites est croissante et l'autre décroissante. On voit aussi que [math]. Il faut donc montrer qu'il existe un rang [math] tel que [math] et [math] (ou le contraire).
Aussi, on a [math] et [math] : [math] et [math] ne peuvent être "séparées" que lorsque les deux sont supérieures à 1/2, et la différence entre les deux est conservée lorsqu'ils passent de la première moitié à la seconde moitié de [math].
Soit un rang [math] tel que [math] et [math] sont supérieurs à 1/2 (si ce rang n'existe pas, le problème est résolu), et on suppose [math]. On a alors [math]. Ainsi, si on suppose que [math] et [math] sont toujours du même côté de [math], alors en posant (pour [math]) [math] on a [math] pour [math] de même parité que [math] et [math] pour [math] d'une parité différente de [math]. Ainsi, [math] est croissante (puisque lorsque [math], [math]. Comme elle est majorée par 1, elle converge : c'est donc que [math] tend vers 1. Comme on suppose que les deux suites sont du même côté de[tex]L[/tex], c'est qu'elle convergent toutes les deux vers 1/2. Mais alors la différence entre les deux tend vers 0. Contradiction.

Voilà, j'ai l'impression de pas avoir été clair... je reprend demain si il faut :?

Tu ne voulais pas plutôt dire « Soit un rang [math] tel que pour tout [math] on a [math], [math] » ? Parce que sinon, ta suite [math] n'est plus croissante lors du passage sous 1/2.

Ben si, puisqu'elle augmente quand a_n et b_n descendent sous 1/2 et qu'elle stagne quand elles repassent au dessus
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 23:07

Vanxoo_ a écrit :Ben si, puisqu'elle augmente quand a_n et b_n descendent sous 1/2 et qu'elle stagne quand elles repassent au dessus

Eh non, car si on a (et on aura) [math], on aura forcément [math], d'où [math]. :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 23:14

Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :Ben si, puisqu'elle augmente quand a_n et b_n descendent sous 1/2 et qu'elle stagne quand elles repassent au dessus

Eh non, car si on a (et on aura) [math], on aura forcément [math], d'où [math]. :roll:


J'ai supposé que les deux suites étaient toujours du même côté de 1/2 ^^ (d'où la contradiction de la fin)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 23:15

Vanxoo_ a écrit :
Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :Ben si, puisqu'elle augmente quand a_n et b_n descendent sous 1/2 et qu'elle stagne quand elles repassent au dessus

Eh non, car si on a (et on aura) [math], on aura forcément [math], d'où [math]. :roll:


J'ai supposé que les deux suites étaient toujours du même côté de 1/2 ^^ (d'où la contradiction de la fin)

D'où ce que je proposais pour introduire [math] trois posts plus haut. :wink:

Et puis c'est pas un peu bâclé à la fin ? Tu ne détailles même pas la conclusion, qui me paraît pourtant la partie la plus sensible. :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 23:23

Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :
Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :Ben si, puisqu'elle augmente quand a_n et b_n descendent sous 1/2 et qu'elle stagne quand elles repassent au dessus

Eh non, car si on a (et on aura) [math], on aura forcément [math], d'où [math]. :roll:


J'ai supposé que les deux suites étaient toujours du même côté de 1/2 ^^ (d'où la contradiction de la fin)

D'où ce que je proposais pour introduire [math] trois posts plus haut. :wink:

Nope, tu supposes qu'il existe un rang à partir duquel les deux suites sont supérieures à 1/2, moi je suppose qu'elles sont soient toutes les deux supérieures soit toutes les deux inférieures ... Mais c'est vrai que j'aurais pu écrire explicitement "supposons qu'il existe m tel que pour tout p>m, a_p,b_p >1/2 ou a_p,b_p<1/2". Mais ça revient au même, en gros tu fais ton hypothèse absurde une ligne plus haut, moi c'est quand je dis "on suppose que les deux suites sont du même côté de L".
Aussi le calcul que je fais sur a_p et b_p est mal placé, ce qui est important c'est surtout qu'il est valable pour tout n de la même parité que p (vu que j'utilise ce résultat direct quand j'exprime u_n).
Oui, c'est bâclé, mais le Latex à 23h30 c'est chiant donc j'ai posté des que j'avais fini, si tu veux je le rédige mieux demain ^^
Dernière édition par Vanxoo_ le 21 août 2015, 23:28, édité 1 fois.
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 23:25

Vanxoo_ a écrit :Nope, tu supposes qu'il existe un rang à partir duquel les deux suites sont supérieures à 1/2, moi je suppose qu'elles sont soient toutes les deux supérieures soit toutes les deux inférieures ... Mais c'est vrai que j'aurais pu écrire explicitement "supposons qu'il existe m tel que pour tout p>m, a_p,b_p >1/2 ou a_p,b_p<1/2". Mais ça revient au même, en gros tu fais ton hypothèse absurde une ligne plus haut, moi c'est quand je dis "on suppose que les deux suites sont du même côté de L".

En effet, mais avec a et b distincts on peut difficilement avoir les deux en-dessous. Il n'empêche que l'exo n'est pas fini, il faut conclure dignement et explicitement ! :o
#adverbes
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 23:31

Kennedjiro a écrit :
Vanxoo_ a écrit :Nope, tu supposes qu'il existe un rang à partir duquel les deux suites sont supérieures à 1/2, moi je suppose qu'elles sont soient toutes les deux supérieures soit toutes les deux inférieures ... Mais c'est vrai que j'aurais pu écrire explicitement "supposons qu'il existe m tel que pour tout p>m, a_p,b_p >1/2 ou a_p,b_p<1/2". Mais ça revient au même, en gros tu fais ton hypothèse absurde une ligne plus haut, moi c'est quand je dis "on suppose que les deux suites sont du même côté de L".

En effet, mais avec a et b distincts on peut difficilement avoir les deux en-dessous. Il n'empêche que l'exo n'est pas fini, il faut conclure dignement et explicitement ! :o
#adverbes

Bah si, tu pars de a et b compris entre 0.5 et 1/sqrt(2), et les deux seconds termes sont en dessous ^^

En fait je le reredigerais bien, mais je suis maintenant sur mon téléphone, et faire du latex dessus est juste AFFREUX. :mrgreen:
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