Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

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Kennedjiro
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Kennedjiro » 21 août 2015, 23:36

Vanxoo_ a écrit :Bah si, tu pars de a et b compris entre 0.5 et 1/sqrt(2), et les deux seconds termes sont en dessous ^^

En fait je le reredigerais bien, mais je suis maintenant sur mon téléphone, et faire du latex dessus est juste AFFREUX. :mrgreen:

Effectivement, j'avais mal regardé ce cas-là. :?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Sketshup » 21 août 2015, 23:49

Le souci technique n'en est pas un. On peut au pire restreindre (a_n) (b_n) aux termes qui sont de la seconde moitié de L. ça ne change rien au problème, et c'est plus fluide quant à la rédaction (pas besoin de traiter le cas chiant où [math] sont dans la première moitié, qui n'est qu'une ligne à ajouter pour dire que [math] seront dans la seconde moitié).

Pour la solution de Vanxoo, la suite différence est une belle considération; En utilisant la même suite, j'ai trouvé une construction qui amène à un résultat explosif! Je poste l'approche de ma solution. (Je mets entre 2 gros Spoiler car apparemment la balise [spoiler] ne marche pas)

Je pose

\[D_n = \{n \in \mathbb{N} | a_n, b_n > \frac{\sqrt{2}}{2} \}\]

[SPOILER][math] est infini. C'est assez facile à prouver. Par absurde, on obtient un majorant de [math], à partir duquel on peut construire un nouveau terme d'ordre plus grand. On peut le faire de manière rigoureuse en suivant la même approche que AlphA sur les racines (2k)-ème.[SPOILER]

[SPOILER]L'ensemble de différence étant infini, on peut restreindre la suite aux termes de cet ensemble. Il devient facile de prouver que la suite de différence a une limite infinie. Contradiction, puisque nos deux suites sont bornées.[/SPOILER]

Vu l'heure qu'il est en France, je pense qu'on dort par ici....
Dernière édition par Pafnouti42 le 22 août 2015, 11:04, édité 2 fois.
Raison : Remise en forme du latex

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Vanxoo_ » 21 août 2015, 23:56

En quoi c'est une contradiction le fait que la suite des différences ait une limite en l'infini ? Les suites sont bornées, mais la suite des différences peut faire ce qu'elle veut tant qu'elle reste dans ]0,1[ (à moins que tu veuilles dire que tu prouves qu'elle a une limite infinie en l'infini, dans ce cas d'accord)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Sketshup » 22 août 2015, 00:03

Je me suis mal exprimé, j'ai voulu dire que sa limite est l'infini!!

Voili voilou!

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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 21 juil. 2017, 21:22

Pafnouti42 a écrit :Bonsoir,

Milton m'a dit que je pouvais vous défier tant que je connaissais la solution du problème que je postais. Je connais bel et bien la solution du problème suivant, mais en utilisant un lemme "magique" royalement cheaté :mrgreen: Du coup je vous le soumets pour voir comment vous pourriez faire autrement :

Trouver le plus petit M tel que

[Rendering math]|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2

Bonne chance :D


Mamoun, tu la connais celle-là :o ?
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 22 juil. 2017, 00:34

Pafnouti42 a écrit :
Pafnouti42 a écrit :Bonsoir,

Milton m'a dit que je pouvais vous défier tant que je connaissais la solution du problème que je postais. Je connais bel et bien la solution du problème suivant, mais en utilisant un lemme "magique" royalement cheaté :mrgreen: Du coup je vous le soumets pour voir comment vous pourriez faire autrement :

Trouver le plus petit M tel que

[Rendering math]|(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c)| \leq M(a^2+b^2+c^2)^2

Bonne chance :D


Mamoun, tu la connais celle-là :o ?

Oui elle est vraiment chaaaauuuuddeee. Sinon c est juste de la.factorisation de l IAG ( ''juste'' :D :roll: )
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2017, 20:14

Mamoun a écrit :Oui elle est vraiment chaaaauuuuddeee.

Comme ta ...

Mais le "juste" est introuvable selon moi, ou je ne dispose pas des capacités de calcul des américains :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 22 juil. 2017, 23:30

Hahaha mais quand tu bosses beaucoup les inégalités tu connais par coeur toutes les factorisations. Et une astuce pour appliquer l iag est de deviner les cas d egalites et être qu ils sont conservés à chaque majoration! Bon après celle la c est du fuutur je pense pas pouvoir la resoudre rapidement même si j ai déjà vu la solution ^^
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 23 juil. 2017, 10:08

« Factorisation de l’inégalité arithmético-géométrique » ? Vous pouvez développer (sans mauvais jeu de mot) ? o.o
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 23 juil. 2017, 12:11

Pardon j ai oublié une virgule!
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 19:08

Bon alors pour relancer quelques défis, je suis tombé sur cet exercice :
Donner un exemple de fonction f de classe C1 sur R+, à valeurs dans
R, admettant une limite en +∞ mais telle que f' ne tende pas vers 0 en
+∞.

J'ai effectivement trouvé une telle fonction, mais j'étais curieux de savoir ce que vous trouveriez. À vous ! :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 25 août 2017, 22:06

f(x)=sin(x^2)/x
f'(x)=2cos(x^2) - sin (x^2)/x^2 qui n'admet pas de limite en +infini
Dernière édition par Mamoun le 25 août 2017, 22:10, édité 1 fois.
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 22:09

Mon dieu quelle horreur cette fonction :D
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 22:17

Pas mal, moi j'avais f(x) = intégrale de 0 à x de sin(e^x) :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 22:22

Almar a écrit :Pas mal, moi j'avais f(x) = intégrale de 0 à x de sin(e^x) :)

Ca converge ce machin ??!
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 22:25

Vers 0.62... pour être précis
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 22:26

C'est pas évident vu comme ça mais je te crois :P
Tu prouves comment la convergence ?
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 22:31

Tu poses x_k le k-ieme point d'annulation de la fonction sin(e^x). Tu poses U_n = l'intégral de sin(e^x) entre x_n et x_{n+1}. L'intégral de sin(e^x) de 0 à +∞ correspond à la somme de terme général U_n. Et cette série converge d'après le TSCSA :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 22:33

le Théoreme des Séries Convergentes Sauf Aberration ? :oops:
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Messagepar thuiop » 25 août 2017, 22:34

Je suis quasi sûr que SA veut dire Séries Alternées.
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 22:34

Le théorème spécial de convergence de série alternée :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 22:35

Ah mais oui le THEOREME SPECIAL. On avait un meme là dessus en MPSI2, honte à moi :lol: :lol:

Du coup je vois la preuve merci :P
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 22:58

Quel était donc ce meme ? (Si tu as le droit de partager avec un MPSI1 bien sûr)
Sinon je me demande toujours d'où viens ce "spécial", qu'est-ce que ce théorème a de plus spécial que les autres :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 25 août 2017, 23:02

C'était justement ce "special" qui nous faisait rire et on avait tendance en MPSI2 à hurler des noms bizarres de théorèmes, dont typiquement ce "le THEOREME SPECIAAAAAAAL" (à dire dans la queue du self par exemple), puis ça a dérivé avec le temps vers "LE THEOREME SPATIAAAAAAL" évidemment.

Puis est venu la formule de taylor avec reste intégral qui a supplanté à peu près tous les autres memes mathématiques (LE RESTE INTER GRAAL !)
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Messagepar Almar » 25 août 2017, 23:31

Je trouve que dans le genre, "THEOREME SPECTRAAAAL" sonne plutôt bien.
Je suis néanmoins surpris que la formule de Taylor fasse tant d'effet, même chez les MP* :o
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 26 août 2017, 00:02

Almar a écrit :Je suis néanmoins que la formule de Taylor face tant d'effet, même chez les MP* :o

Ça vaut combien de jours de ban ça? :mrgreen:
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Messagepar Almar » 26 août 2017, 00:12

On dira que c'est mon correcteur orthographique :mrgreen: (ce qui est probablement le cas en plus)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 26 août 2017, 00:28

Almar a écrit :On dira que c'est mon correcteur orthographique :mrgreen: (ce qui est probablement le cas en plus)

Ta phrase n'a toujours aucun sens , n’empêche. :D
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Messagepar Almar » 26 août 2017, 00:37

Il m'arrive d'oublier des mots :roll:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 26 août 2017, 15:54

Almar a écrit :Bon alors pour relancer quelques défis, je suis tombé sur cet exercice :
Donner un exemple de fonction f de classe C1 sur R+, à valeurs dans
R, admettant une limite en +∞ mais telle que f' ne tende pas vers 0 en
+∞.

J'ai effectivement trouvé une telle fonction, mais j'étais curieux de savoir ce que vous trouveriez. À vous ! :)

Heu… bêtement : x ⟼ x + cos(x) ?
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Messagepar Almar » 26 août 2017, 15:57

Une limite finie :P
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Neex » 26 août 2017, 18:09

cos(exp(x))/x peut-être ?
-∞ / 2014 : Fallait suivre ! :x
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Messagepar Almar » 26 août 2017, 18:19

Elle fonctionne, c'est le même principe que celle de Mamoun :)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 27 août 2017, 10:04

Almar a écrit :Une limite finie :P

Ce n’était pas précisé ! :o
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 27 août 2017, 15:46

Petit défi en passant très rapidement :
Existe-t-il une fonction réelle f telle que la limite de l'integrale de 0 à x de f(x)dx en l'infini soit finie et telle que f n'admette pas 0 comme limite en l'infini ...
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Messagepar Almar » 27 août 2017, 15:49

Ma fonction? :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 27 août 2017, 15:51

Ou disons, la dérivée de n’importe quelle solution de ton exercice ? :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 27 août 2017, 15:52

Almar a écrit :Ma fonction? :lol:

J'avais même pas lu ton message ..
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 20:44

Essayez mon pauvre exo :oops: .
Trouver tous les entiers positifs n≥2 ayant la propriété suivante : chaque entier m>1 qui est inférieur à n et relativement premier avec n est un nombre premier.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 21:12

2, 4, 6, 8, 12, 18, 24 et 30 !
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 21:31

Almar a écrit :2, 4, 6, 8, 12, 18, 24 et 30 !

Ce fut rapide :mrgreen:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 21:31

C'était simple, il suffisait d'essayer tous les nombre entier un par un !
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 21:34

Almar a écrit :C'était simple, il suffisait d'essayer tous les nombre entier un par un !

:roll: :roll: :roll:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 21:38

Bon je montre qu'il n'y en a pas d'autres :mrgreen:
Il s'agit de remarquer que ce sont tous les nombres entier :
- inférieur à 4
- inférieur à 9 et divisible par 2
- inférieur à 25 et divisible par 6
- inférieur à 49 et divisible par 30
- inférieur à 121 et divisible par 210
...
Tous les nombres compris entre P_i² et p_{i+1}² divisible par le produit des nombres premiers inférieurs à P_i (P_i étant la suite des nombres premiers). Sauf qu'après p_i = 7 c'est plus possible.
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 21:42

Almar a écrit :Bon je montre qu'il n'y en a pas d'autres :mrgreen:
Il s'agit de remarquer que ce sont tous les nombres entier :
- inférieur à 4
- inférieur à 9 et divisible par 2
- inférieur à 25 et divisible par 6
- inférieur à 49 et divisible par 30
- inférieur à 121 et divisible par 210
...
Tous les nombres compris entre P_i² et p_{i+1}² divisible par le produit des nombres premiers inférieurs à P_i (P_i étant la suite des nombres premiers). Sauf qu'après p_i = 7 c'est plus possible.

Et pourquoi ce n'est plus possible? :roll: ( grosse artillerie en approche je le sens :p)
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 27 août 2017, 21:44

Ca se voit sur un dessin.
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 21:46

Encore une fois j'ai testé avec tous les nombres premiers
Grosse artillerie ? Mais non, juste le postulat le Bertrand :lol:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 21:48

Almar a écrit :Encore une fois j'ai testé avec tous les nombres premiers
Grosse artillerie ? Mais non, juste le postulat le Bertrand :lol:

Un résultat des plus élémentaires :lol: .
A ton tour de poster un exo du coup :mrgreen: .
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 21:53

Je connais pire en terme de résultat OVER-cheat qui trivialise un petit éxo, si tu veux :lol:
J'y réfléchis, j'ai pas trop d'idée... les seuls éxos que je fait en ce moment, ce sont des exos de révision de sup'/préparation de spé, et des énigmes qui demande un certains nombres de connaissances par forcément aux programmes :mrgreen:
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Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 21:59

Almar a écrit :Je connais pire en terme de résultat OVER-cheat qui trivialise un petit éxo, si tu veux :lol:
J'y réfléchis, j'ai pas trop d'idée... les seuls éxos que je fait en ce moment, ce sont des exos de révision de sup'/préparation de spé, et des énigmes qui demande un certains nombres de connaissances par forcément aux programmes :mrgreen:

J'aimerais bien , j'adore dire ' Bah en fait d'apres le theoreme machin , on peut se restreindre à ce petit cas qui est trivial :mrgreen: '
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