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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 11:58

Puisque je vois que les bizuths aiment bien s’amuser avec des exercices d’arithmétique tordus (et puisque mon topic précédent contient tous les spoils XD )… je vous propose un résultat classique :

p est premier ssi (p-1)! ≡ -1 [mod p]


Il y a une démonstration relativement simple… mais elle nécessite de s’y connaître en théorie des groupes :mrgreen: Pourtant, le résultat est connu depuis le Xe siècle, et les premières démonstrations avérées remontent à la fin du XVIIIe, alors que la notion de groupe n’était pas encore inventée ! Du coup, je vous lance pour voir si vous arrivez à avoir des idées ! :wink:


D’autres exercices à suivre quand vous aurez trouvé celui-ci !
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 12:11

Quelques uns ont déjà appris un résultat similaire :mrgreen: :
" P est premier <=> (p-1)!/p n'appartient pas à N (sauf pour p=4)"

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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 17:13

Il s'agit du théorème de Wilson, mais on l'a déjà eu en DS en spé :cry:
L'idée pour le sens indirect est ce qu'a dit Zénon.
Si p est premier, Z/pZ a le bon goût d'être un corps !
En particulier, tous les éléments sont inversibles.
Les seuls éléments égaux à leur inverse dans Z/pZ sont 1 et -1.
Si on fait le produit de tous les éléments de Z/pZ, par définition c'est (p-1)!
Mais on sait aussi que chaque résidu va aller avec son inverse et donner 1.
Il ne reste alors que ceux qui sont eux-mêmes leur inverse, et 1*(-1)=-1, d'où le résultat.
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 17:20

Z/pZ c'est un groupe abélien fini pour p en général ?

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Messagepar Vanxoo_ » 19 juin 2015, 17:27

J'ajoute que pour montrer que les seuls éléments égaux à leur inverse sont -1 et 1, il suffit de dire que si [tex]k[/tex] est son propre inverse, alors [tex]k^2\equiv 1 \mod p \iff (k+1)(k-1)\equiv 0 \mod p[/tex] donc [tex]p[/tex] divise [tex](k+1)(k-1)[/tex] donc [tex]k\equiv \pm 1 \mod p[/tex].

Et pour la réciproque de ce qu'à dit Pafnouti, suffit de dire que si [tex]n[/tex] n'est pas premier, alors il existe un entier [tex]a[/tex] non inversible modulo [tex]n[/tex], ce qui fait que pour tout [tex]m[/tex], [tex]ma[/tex] est différent de -1 modulo [tex]n[/tex] (puisque sinon [tex]m^2a[/tex] serait l'inverse de [tex]a[/tex]). Comme cet entier [tex]a[/tex] est un des facteurs de [tex](n-1)![/tex], on en conclut que le produit est différent de -1.
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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 17:45

Zénon a écrit :Z/pZ c'est un groupe abélien fini pour p en général ?


Ca dépend sur quelle loi ! En général il n'y a pas toujours un élément symétrique sur la multiplication.
En revanche tu peux dire que Z/nZ est toujours un anneau commutatif il me semble.
Après je ne connais que vaguement ces définitions, d'autres pourront mieux te préciser ça que moi :|
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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 17:52

Vous n’avez pas lu ce qui suivait l’énoncé de mon exercice manifestement…

Faudrait quand même qu’on m’explique un truc : c’est récent, l’ajout au programme de TS de l’algèbre générale ?
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Messagepar Vanxoo_ » 19 juin 2015, 17:59

Ben, on peut faire la même démo en rajoutant juste le théorème de Bézout pour prouver que tous les éléments sont inversibles, puis on montre que les seuls éléments qui sont leur propre inverse sont 1 et -1, puis dans l'autre sens on montre par l'absurde en utilisant Bézout qu'il existe un élément non inversible et on finit.
Par contre, Bézout c'est quand justement, avant ou après la fin du XVIIIème ?
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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 18:03

Avant : il est mort juste avant la Révolution.

Mais je ne peux que très difficilement m’empêcher d’être surpris de voir trois élèves en fin de TS qui savent manipuler les groupes quotients…
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Messagepar Kennedjiro » 19 juin 2015, 18:09

Milton a écrit :Avant : il est mort juste avant la Révolution.

Mais je ne peux que très difficilement m’empêcher d’être surpris de voir trois élèves en fin de TS qui savent manipuler les groupes quotients…


T'en fais pas, je ne trouve pas ça normal non plus. :(
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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 18:12

Après, j’ai préparé quelques exercices d’algèbre générale pour si un jour je suis amené à khôller… je peux toujours les ressortir… :twisted:
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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 19:13

Je suis d'accord avec toi Vanxoo_, ça fait toujours du bien de remontrer Bézout :mrgreen:

Quant à les notions d'algèbre évoquées, personnellement je ne les connais que via l'arithmétique, et je ne les connais pas bien.
Et ce n'est malheureusement pas en TS que nous l'avons vu, en effet...Plutôt sous l'influence d'un truc que tu mettais en lien avec l'Europe de l'Est, Milton :P
Toutefois notre prof de spé maths nous a effectivement posé le théorème de Wilson en DS, avec des indications s'entend.
Quant à tes exos d'algèbre générale, je veux bien mais j'ai moins de chance de les résoudre que tes exos d'arithmétique par exemple...
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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 19:34

Alors du coup, pour rester dans le thème de l’algèbre… :twisted:

Soit l’ensemble A des fonctions arithmétiques (de N* dans Z) ; considérons la loi :
[Rendering math]* : \left|\begin{array}{rcl}A\times A &\longrightarrow& A\\ (f,g) &\longmapsto& f*g : \left|\begin{array}{rcl}\mathbf{N}* &\longrightarrow& \mathbf{Z}\\ n &\longmapsto& \sum\limits_{d\in \mathbf{N}, d|n} f(d)\times g(n/d)\end{array} \right. \end{array}\right.

1. Montrer que (A,+,*) est un anneau commutatif ; trouver son élément neutre (pour *). Quel est l’inverse de la fonction constante égale à 1 (ci-après notée [1]) le quotient de l’identité par la fonction constante [1] ?
2. On définit la fonction de Möbius par µ(n) = 0 si n est divisible par un carré, et (-1)^p(n) où p(n) est le nombre de premiers intervenant dans la décomposition de n. Montrer que µ * [1] est l’élément neutre.

Soit [Rendering math](G,\star) un groupe abélien. On note [Rendering math]x^{\star k} l’itéré k fois de x par la loi [Rendering math]\star pour k entier relatif (pour k = -1, c’est l’inverse par exemple). [Rendering math]\mathcal F(\mathbf N^*, G) est l’ensemble des fonctions de N* dans G ; on définit la loi externe :
[Rendering math]\cdot : \left|\begin{array}{rcl}A \times \mathcal F (\mathbf N^*, G) &\longrightarrow& \mathcal F (\mathbf N^*, G)\\ (f,u) &\longmapsto& u\cdot g : \left|\begin{array}{rcl}\mathbf{N}* &\longrightarrow&G\\ n &\longmapsto& {\bigstar}_{d\in \mathbf{N}, d|n} f(d)^{\star g(n/d)}\end{array} \right. \end{array}\right.

3. Montrer que [Rendering math](\mathcal F(\mathbf N^*, G), \star, .) est un A-module à gauche (je précise la définition ou pas ?)

On définit [Rendering math]\Phi_n le n-ième polynôme cyclotomique, dont les racines sont toutes les racines primitives n-ièmes de l’unité (celles qui engendrent le groupe des racines n-ième de l’unité).

4. Déduire des questions précédentes que :
[Rendering math]\Phi_n(X) = \prod_{d|n}(X^d - 1)^{\mu(n/d)}


On a réalisé ce qu’on appelle une inversion de Möbius, dans le cas particulier des polynômes cyclotomiques.
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 19:36

Pafnouti42 a écrit :Je suis d'accord avec toi Vanxoo_, ça fait toujours du bien de remontrer Bézout :mrgreen:

:mrgreen:

Pafnouti42 a écrit :Quant à les notions d'algèbre évoquées, personnellement je ne les connais que via l'arithmétique, et je ne les connais pas bien.
Et ce n'est malheureusement pas en TS que nous l'avons vu, en effet...Plutôt sous l'influence d'un truc que tu mettais en lien avec l'Europe de l'Est, Milton :P
Toutefois notre prof de spé maths nous a effectivement posé le théorème de Wilson en DS, avec des indications s'entend.
Quant à tes exos d'algèbre générale, je veux bien mais j'ai moins de chance de les résoudre que tes exos d'arithmétique par exemple...

Ah, d’accord, je comprends mieux. Mais ce qui est très surprenant, c’est de voir l’aisance avec laquelle tu sembles manipuler les groupes quotient.
L’exercice que je viens de poster montre un résultat important en arithmétique ; c’est surtout de l’arithmétique, même si c’est formulé en termes algébriques. Je peux clarifier les définitions s’il t’en manque.
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Messagepar Pafnouti42 » 19 juin 2015, 19:42

Merci :P

L'exo avec Möbius m'a tout l'air d'être un fâcheux problème de maths :mrgreen:
Je ne sais pas trop quand j'aurai le tps de le chercher, mais je veux bien que tu précises la définition du A-module à gauche stp...
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Messagepar Kennedjiro » 19 juin 2015, 20:05

Enfin le top avec le ruban de Möbius, c'est quand même ce qu'il se passe quand on le coupe en deux bien au milieu, ou en trois parties égales. :lol:
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 20:17

C’est une généralisation des espaces vectoriels pour des anneaux, c’est-à-dire qu’il faut s’assurer que :

  • (A,+,*) est un anneau commutatif
  • (F(N*,G),⋆) est un groupe abélien
  • Et les quatre propriétés de compatibilité sont vérifies :
    1. [tex]\forall f \in \mathcal F (\mathbf N^*, G), 1_A.f = f[/tex]
    2. [tex]\forall f \in \mathcal F (\mathbf N^*, G), \forall (u,v) \in A^2, u.(v.f) = (u*v).f[/tex]
    3. [tex]\forall f \in \mathcal F (\mathbf N^*, G), \forall (u,v) \in A^2, (u+v).f = (u.f) \star (v.f)[/tex]
    4. [tex]\forall (f,g) \in F (\mathbf N^*, G)^2, \forall u \in A, u.(f* g) = (u.f) \star (u.g)[/tex]
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 21:08

Petite question sur la forme de ton énoncé, la flèche : [tex]\longrightarrow[/tex] se met quand on parle d'ensemble ? Et [tex]\longmapsto[/tex] pour des éléments de ces ensembles ? Par exemple :
[tex]f: \mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}[/tex]
[tex]f: x\longmapsto x^2[/tex]

Ou c'est simplement du pur hasard (ce qui m'étonnerait).

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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 21:14

Oui, exactement ! Pour une application, tu spécifies toujours les ensembles de départ et d’arrivée, et la fonction. D’où les deux types distincts de flèches.
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Messagepar Vanxoo_ » 19 juin 2015, 21:18

Edit : alors j'aurais sûrement du lire la question 2 avant de faire la 1 :? Quand tu dis Id, c'est l'élément neutre pour la loi * où l'identité normale ? Vu que ma fonction [tex]g[/tex] c'est [tex]\mu[/tex] en fait, du coup j'ai fait la question 2 en fait x)... mais quand tu demandes l'inverse de [1], ça devrait être ça, donc je vois pas comment ça peut à la fois donner l'élément neutre et l'identité, et si c'est pareil, t'as posé deux fois la même question non ?


Pour la question 1 :
Il est évident que (A, +) est un groupe abélien, on vérifie donc juste que la loi * est commutative. Pour ça on remarque que si[tex]\{d_1, d_2, ... d_k\}[/tex] est l'ensemble des diviseurs de [tex]n[/tex], alors [tex]\{n/d_1, n/d_2, ..., n/d_k\}[/tex] l'est également. Du coup on a [tex]f*g = \sum_{d | n} f(d) \times g(n/d) = \sum_{d | n} f(n/d) \times g(d) = g*f[/tex].
L'élément neutre pour * est la fonction [tex]u[/tex] qui est nulle partout sauf en 1 où elle vaut 1 En effet, lorsque [tex]d=n[/tex], le terme de la somme correspondant est [tex]f(n) \times u(1) = f(n)[/tex], et lorsque [tex]d\neq n[/tex], le terme correspondant vaut [tex]f(d) \times u(n/d) = f(d)\times 0 =0[/tex]. On peut dire [tex]u(n) = \lfloor 1/n \rfloor[/tex].

Pour la fonction [1], pour toute fonction [tex]g[/tex] on a
[tex][1]*g = \sum_{d|n} g(d)[/tex]

Soit [tex]g[/tex] la fonction telle que :
- [tex]g(n) = 0[/tex] si [tex]n[/tex] est un multiple du carré d'un nombre premier
- [tex]g(n) = 1[/tex] si [tex]n[/tex] est le produit d'un nombre pair de nombres premiers distincts
- [tex]g(n) = -1[/tex] si [tex]n[/tex] est le produit d'un nombre impair de nombres premiers distincts

Déjà, on remarque que si [tex]n[/tex] possède [tex]k[/tex] facteurs premiers distincts, alors ses diviseurs sont 1, [tex]k[/tex] nombres premiers, [tex]k \choose 2[/tex] produits de 2 nombres premiers, ... et plus généralement pour tout [tex]m\leq k[/tex], [tex]k\choose m[/tex] produits de [tex]m[/tex] nombres premiers. Il faut aussi rajouter tous les diviseurs qui sont multiples du carré d'un nombre premier.

Avec notre fonction [tex]g[/tex], on a donc
[tex]\sum_{d|n} g(d) = \sum_{i=0}^k (-1)^i {k \choose i}[/tex].
Si [tex]k[/tex] est impair, ça vaut 0 puisque [tex]{n \choose p} = {n \choose n-p}[/tex] pour tout [tex]p[/tex]. Si [tex]k[/tex] est pair et [tex]k\neq 0[/tex], on écrit
[tex]\sum_{i=0}^k (-1)^i{k\choose i} = 1 + \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^i {k-1 \choose i} + \sum_{i=1}^{k-1} (-1)^{i-1} {k-1 \choose i-1} + 1[/tex]
Or [tex]k-1[/tex] est impair, donc les deux sommes du milieu valent -1 (pour la première il manque le terme où [tex]i=0[/tex], qui vaut 1, et pour la deuxième il manque le terme [tex]i=k[/tex], qui vaut 1 également). Donc au final, on obtient pour tout [tex]n[/tex] ayant [tex]k\neq 0[/tex] facteurs premiers, [tex]\sum_{d|n} g(d)=0[/tex].
On vérifie également que comme [tex]g(1)=1[/tex], on a bien [tex]\sum_{d|1}g(d)=1[/tex].
Ainsi, pour tout [tex]n[/tex], [tex][1]*g(n) = u(n)[/tex]. [tex]g[/tex] est donc l'inverse de [1]

Voilà, ça m'a l'air un peu long pour l'inverse de [1], y avait peut-être plus simple ?
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 21:58

Dans un premier temps, j’ai commis une petite erreur d’énoncé ; je demande en fait le quotient de Id par [1] et non l’inverse de [1], ce qui change absolument tout :mrgreen: Désolé pour cette erreur. Du coup, Id désigne bien la fonction qui a n associe n.

Très bien vu pour l’élément neutre, on le note en pratique [tex]\delta_1[/tex] (mais je n’ai pas donné son nom qui est une indication trop évidente 8) ). Bravo en tout cas pour cette partie. La commutativité ne pose pas de problème. En revanche, tu as oublié de vérifier les autres propriétés fondamentales d’un anneau, que je te rappelle :
  • Distributivité de la loi * sur la loi +, et surtout
  • Associativité de la loi * ! Ce n’est pas si compliqué à montrer, mais il ne faut pas se planter dans les calculs !

Tu as du coup bien fait la question 2 (je suis épaté que tu aies intuité l’inverse de [1] comme ça si tu n’as pas regardé la question 2 avant ! :shock: ). Un moyen à peine plus simple de formaliser la première partie de ta démonstration est de constater que pour m et n premiers entre eux, on a µ(mn) = µ(m)µ(n) ; c’est généralement donné comme lemme avant ; mais l’idée est là, c’est exactement ça. Par contre, je ne comprends pas tes calculs : pourquoi ne pas appliquer directement la formule du binôme de Newton ?

Il faut encore que tu fasses la question 1 corrigée, fondamentale pour la suite. La question 3 ne devrait pas poser de difficultés (c’est presque comme la 1, avec une rupture de la symétrie des calculs). Et la 4 je ne sais pas si elle vous résistera ou pas, au pire je donnerai des indications ! :wink:
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Messagepar Vanxoo_ » 19 juin 2015, 22:06

Milton a écrit :En revanche, tu as oublié de vérifier les autres propriétés fondamentales d’un anneau, que je te rappelle :

- Distributivité de la loi * sur la loi +, et surtout
- Associativité de la loi * ! Ce n’est pas si compliqué à montrer, mais il ne faut pas se planter dans les calculs !


Ah oui, ben j'ai essayé de faire de mémoire et ça a pas marché ^^
Milton a écrit :Par contre, je ne comprends pas tes calculs : pourquoi ne pas appliquer directement la formule du binôme de Newton ?


Parce que j'y ait pas pensé :mrgreen: Effectivement c'est carrément plus simple... [tex](1-1)^k[/tex] x)
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 22:15

Je diffuse donc avec son accord l’aide-mémoire sur les structures algébrique, extrêmement complet, réalisé par Gaspard Kemlin, élève MP2/MP* de mon année. Il contient toutes les définitions et caractérisations que vous rencontrerez au cours des deux ans — sauf les modules, qu’on n’a pas vu en deux ans ! Tout n’est pas à retenir par cœur tout de suite, hein ! ;-)

(pensez quand même, si vous le diffusez, à le créditer ! ;-) )
Pièces jointes
algèbre_gaspard.pdf
Aide-mémoire sur les strucutres algébriques, par Gaspard Kemlin (MP2/MP* 2013-2015)
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« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

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Messagepar Miltøn » 19 juin 2015, 22:17

Vanxoo_ a écrit : Effectivement c'est carrément plus simple... [tex](1-1)^k[/tex] x)

Voilà XD
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Kennedjiro » 19 juin 2015, 22:33

Milton a écrit :Je diffuse donc avec son accord l’aide-mémoire sur les structures algébrique, extrêmement complet, réalisé par Gaspard Kemlin, élève MP2/MP* de mon année. Il contient toutes les définitions et caractérisations que vous rencontrerez au cours des deux ans — sauf les modules, qu’on n’a pas vu en deux ans ! Tout n’est pas à retenir par cœur tout de suite, hein ! ;-)

(pensez quand même, si vous le diffusez, à le créditer ! ;-) )


Ils sont où les octonions où le produit n'est plus associatif ? :mrgreen:
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Messagepar Zénon » 19 juin 2015, 23:45

J'ai cherché un peu pour montrer l'associativité. On cherche donc à montrer [tex](f\ast g)\ast i=f\ast( g\ast i)=( g\ast i)\ast f[/tex] (car on a montré que c'était commutatif). Au final, je trouve pour[tex](f\ast g)\ast i[/tex] :
[tex]\sum\limits_{d|n} \left(\sum\limits_{k|d}f(k)g(d/k)i(n/d) \right)[/tex]

et pour [tex]( g\ast i)\ast f[/tex] :

[tex]\sum\limits_{d|n} \left(\sum\limits_{k|d}f(n/d)g(k)i(d/k) \right)[/tex]

C'est déjà un bon chemin ? Ici je bloque, je cherche notamment à faire des changements d'indice pour retrouver la même formule. Sinon utiliser les propriétés de la double somme ? Ou alors j'ai pas fait le bon truc :x

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Messagepar MeIdmry » 19 juin 2015, 23:56

Ils commencent fort les bizuths cette année :mrgreen:
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:09

Zénon a écrit :J'ai cherché un peu pour montrer l'associativité. On cherche donc à montrer [tex](f\ast g)\ast i=f\ast( g\ast i)=( g\ast i)\ast f[/tex] (car on a montré que c'était commutatif). Au final, je trouve pour[tex](f\ast g)\ast i[/tex] :
[tex]\sum\limits_{d|n} \left(\sum\limits_{k|d}f(k)g(d/k)i(n/d) \right)[/tex]

et pour [tex]( g\ast i)\ast f[/tex] :

[tex]\sum\limits_{d|n} \left(\sum\limits_{k|d}f(n/d)g(k)i(d/k) \right)[/tex]

C'est déjà un bon chemin ? Ici je bloque, je cherche notamment à faire des changements d'indice pour retrouver la même formule. Sinon utiliser les propriétés de la double somme ? Ou alors j'ai pas fait le bon truc :x


Utiliser la commutativité pour montrer l’associativité est une très bonne idée, ça simplifie grandement les calculs. Il faut en effet un peu bidouiller les indices des sommes doubles. Peut-être un petit changement d’indices avec un produit ? ;-)
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:10

MeIdmry a écrit :Ils commencent fort les bizuths cette année :mrgreen:

Tu l’as dit ! :shock:
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Re: Nouveaux défis

Messagepar zzzzz » 20 juin 2015, 09:15

Il va encore y avoir des grands savants pour nous rappeler la fameuse théorie selon laquelle « de toute façon c'est une année sur deux »...
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 09:37

De toute façon, c’est une année sur deux ! :mrgreen:

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 20 juin 2015, 10:35

C'est galère ce changement de somme ! Quand tu parles de changement d'indice avec produit c'est bien un truc du style a=b x c ? J'arrive pas à bien arranger après avec [tex]d|n[/tex] et [tex]k|d[/tex]...

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 20 juin 2015, 11:17

En fait, on arrive à s’en sortir sans utiliser la commutativité directement, il y a juste plein de façons de dérouler les calculs. La façon dont tu l’utilise t’éloigne (je pense) du résultat, je te prie de m’excuser de t’avoir lancé sur la mauvaise piste. Essaye de te débrouiller pour obtenir une somme indexée par du x | (n/y), et de faire un changement de variable intelligent à partir de là ! :wink:
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 20 juin 2015, 23:25

J'ai finalement fait une autre méthode bien plus simple pour tout regrouper en une somme et enlever les fractions :

On commence d'abord par [math]. On a alors :

[math]

On passe ensuite à [math] :

[math]

Et par un changement de variable ([math], [math] et [math]), on en conclue que [math]
Dernière édition par Zénon le 18 juil. 2015, 20:50, édité 3 fois.

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 21 juin 2015, 08:47

Pour la distributivité :

[tex]f\ast(g+h)(n)=\sum_{d\mid n}f(d)(g(n/d)+h(n/d))=\sum_{d\mid n}f(d)g(n/d)+\sum_{d\mid n}f(d)h(n/d)=(f\ast g)(n)+(f\ast h)(n).[/tex]

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 21 juin 2015, 09:44

Zénon a écrit :[tex](f\ast (g\ast i)(n/y))(n)=\sum_{y\mid n}f(y)\left(\sum_{\ell \mid \frac{n}{y}}g(\ell)i(n/\ell y)\right).[/tex]

En posant [tex]d=\ell y[/tex] puis [tex]y=k[/tex] car c'est une variable muette, on obtient bien :

[tex](f\ast (g\ast i)(n/y))(n)=\sum_{d\mid n}\sum_{k\mid d}f(k)g(d/k)i(n/d).[/tex]


Voilà, c’est ça ! :-) Attention, un examinateur te demanderait quand même de plus détailler les changements d’indice de somme, tu passes très vite dessus… Au passage, ((f*g)(d) * i)(n) n’a pas de sens, je pense que tu voulais écrire ((f*g)*i)(n) ?
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 21 juin 2015, 10:09

Ah j'ai édité mon message parce que j'ai vu qu'il y avait un problème dans le changement d'indice ! J'ai préféré l'autre méthode, ça me gênait trop [tex]\ell \mid \frac{n}{y}[/tex] ! Donc [tex](A, +, \ast)[/tex] est bien un anneau commutatif :D

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 21 juin 2015, 10:14

Mmmmh… Sur le fond, ça ne change pas grand chose. Sur la forme, je trouve quand même que c’est un peu moins clair de dire « cd = n » que « d | n », notamment parce que dans le second il est sous-entendu que l’on ne travaille que sur des entiers naturels, alors que le premier est plus flou.

Je ne t’embête pas avec ça, tu as compris l’idée ! ;-) Une idée pour le quotient de Id par [1] ? :twisted:
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 21 juin 2015, 10:23

Je suis d'accord avec toi mais la somme double était un enfer pour moi :x La fonction constante c'est [1](x)=1 ? Et pour Id c'est Id(x)=x ?

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Pafnouti42 » 21 juin 2015, 10:26

Salut, j'ai peut-être une idée pour la question 4, mais est-ce que quelqu'un peut écrire explicitemnt la définition du n-ième polynôme cyclotomique svp (car il y a un truc qui me plairait bien qu'il soit ce que je veux, mais ce n'est pas dit avec la définition donnée :roll: ) ?
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 21 juin 2015, 10:33

Tu l'as sur le pdf Théorème sur les polynômes cyclotomiques non ? C'est pas ça :
[Rendering math]\displaystyle \Phi_n(X):=\prod_{0\leq k<n, k\wedge n=1}\left(X-\exp\left(\frac{2ik\pi}{n} \right) \right)

?
Dernière édition par Zénon le 19 sept. 2015, 16:54, édité 3 fois.

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 21 juin 2015, 10:35

La définition, c’est « le polynôme dont les racines sont les complexes qui engendrent le groupe des racines n-ièmes de l’unité »… C’est assez facile de l’exprimer explicitement… ;-)

EDIT : grillé par Zénon. Enfin il faudrait montrer que le polynôme proposé correspond bien à la définition, même si c’est facile…
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Zénon » 21 juin 2015, 10:37

Vu ta définition c'est trivial que c'est ça non ?

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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 21 juin 2015, 10:51

Ça n’a rien de trivial. C’est peut-être immédiat puisque vraisemblablement vous avez aussi travaillé sur les notions de générateurs de groupes…
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Pafnouti42 » 21 juin 2015, 10:53

Oui, mais ce dont je voulais être sûr était que k et n étaient premiers entre eux.
J'avais oublié que les racines primitives de l'unité étaient primitives...

Par conséquent on peut dire que

[tex]X^n-1 = \prod_{d \mid n} \phi_d(X)[/tex]

Sinon je balance ça un peu n'importe comment car je ne vais pas avoir le tps de rédiger, mais voici un truc sympa en rapport avec l'exo.

Si f est multiplicative alors [tex]\sum_{d\mid n}f(d)[/tex] est également multiplicative.

Cela permet d'établir l'équivalence suivante, avec g une fonction multiplicative :

[tex]f(n)=\sum_{d \mid n} g(d) \Longleftrightarrow g(n)= \sum_{d \mid n} \mu\left( \frac{n}{d}\right) f(d)[/tex]
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Miltøn » 21 juin 2015, 11:09

Pafnouti42 a écrit :Oui, mais ce dont je voulais être sûr était que k et n étaient premiers entre eux.
Par conséquent on peut dire que

[tex]X^n-1 = \prod_{d \mid n} \phi_d(X)[/tex]

Oui, mais à prouver.


Pafnouti42 a écrit :Sinon je balance ça un peu n'importe comment car je ne vais pas avoir le tps de rédiger, mais voici un truc sympa en rapport avec l'exo.

Si f est multiplicative alors [tex]\sum_{d\mid n}f(d)[/tex] est également multiplicative.

Cela permet d'établir l'équivalence suivante, avec g une fonction multiplicative :

[tex]f(n)=\sum_{d \mid n} g(d) \Longleftrightarrow g(n)= \sum_{d \mid n} \mu\left( \frac{n}{d}\right) f(d)[/tex]

Je ne comprends pas à quoi sert l’hypothèse de fonction multiplicative…
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Daniand02 » 22 juin 2015, 21:29

Ouh là vous me faites peur, c'est normal si je n'y comprends rien à ce que vous dites? (même si ça semble être intéressant) puisque la je me fais des soucis vis à vis de l'année prochaine...
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Re: Nouveaux défis

Messagepar ThomasB » 22 juin 2015, 22:43

Ce n'est pas alarmant du tout de ne pas comprendre un exo sur les polynômes cyclotomiques. Attends de faire un peu d'algèbre, ce sera bien plus clair d'ici quelques mois ^^'
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Re: Nouveaux défis

Messagepar Daniand02 » 23 juin 2015, 18:57

ThomasB a écrit :Ce n'est pas alarmant du tout de ne pas comprendre un exo sur les polynômes cyclotomiques. Attends de faire un peu d'algèbre, ce sera bien plus clair d'ici quelques mois ^^'


uf, merci Thomas, ça rassure! ^^
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Re: Nouveaux défis

Messagepar MeIdmry » 24 juin 2015, 19:32

Un exercice amusant :
1) Montrer que [math].
2) Programmer une procédure qui calcule les coefficients de [math].
3) Calculer informatiquement les [math], pour [math] : que peut-on conjecturer ?
Prof en CPGE. Fermat 2007-2010 (MPSI1/MP*/MP*).


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