Oraux ÉNS Milton

Questions d’ordre mathématique et petits défis
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Messagepar Miltøn » 19 juil. 2015, 11:11

Hello ! Je propose à ceux qui le souhaitent mes deux sujets d’oraux de maths des ÉNS. Ils sont normalement faisables en fin de terminale, à l’exception d’une question, et d’une notion qui n’est définie proprement qu’en spé, celle d’intégrale généralisée (sur autre chose qu’un segment) mais ne pose pas de difficultés ici.

Ulm : une heure
Soient [math] et [math] deux fonctions décroissantes de [math] dans [math], [math] et [math] deux fonctions de [math] dans [math] intégrables (c’est-à-dire que l’intégrale de ces fonctions entre 0 et [math] a une limite finie quand [math] tend vers l’infini).

Montrer :
[math]

(inégalité dans [math], c’est-à-dire que le membre de gauche peut-être infini, et que si le membre de droite est infini, alors celui de gauche l’est aussi).


ULRC : quarante-cinq minutes
Un exercice classique : pour [math] une fonction de classe [math] par morceaux de [math] dans [math] (ce qui veut dire qu’on peut découper [math] en un nombre fini d’intervalles ouverts et de singletons, et que sur chacun des ouverts [math] doit être prolongeable par continuité sur l’intervalle fermé correspondant en une fonction dérivable de dérivée continue ; par exemple la valeur absolue est de classe [math] sur [math]). On suppose que [math] (c’est ce qu’on appelle un lacet).

On pose, lorsque [math] n’est pas une valeur prise par [math] :
[math].

1. Montrer que la fonction [math] est continue sur tout ouvert de [math]. (Difficilement faisable pour les élèves de term, cela nécessite un théorème de continuité des intégrales. Après, on est dans un cas très favorable d’application, donc si vous vous sentez de démontrer une version faible, allez-y ! :-P ).

2. Montrer que [math] est à valeurs entières. On n’utilisera pas le théorème de relèvement (pour ceux qui connaissent ; l’examinateur me l’a interdit).

3. Déterminer la fonction [math] lorsque [math], puis lorsque [math] décrit un « huit » couché (on ne demande pas de paramétrer [math], cela s’est transformé en discussion qualitative).


La question véritablement intéressante ici est la 2. Normalement, s’ensuit une quatrième question qui est : démontrer que toute fonction polynomiale non-constante admet une racine complexe. Mais l’examinateur a dû comprendre que je connaissais l’exercice ; il a donc préféré mener une discussion qualitative. On verra si la note qu’il m’a mise suit ! :mrgreen:



Je donnerai bien sûr conseils et indications à qui demande ! :)
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 19 juil. 2015, 12:49

Merci bcp, ça a l'air très intéressant, même si je trouve ça très dur à premier abord (et c'est bien normal :P ) !
Juste, ça veut dire quoi ULRC ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 19 juil. 2015, 15:58

Le second est plus facile. Le premier, faut surtout avoir une énorme intuition... ;-)

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar ɹǝןnƎ » 19 juil. 2015, 19:50

Hoho merci beaucoup >^.^<
Je commençais à me dire qu'il serait temps de faire des maths histoire de pas accumuler trop d'oxydation :mrgreen:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar AlphA » 19 juil. 2015, 20:03

@Euler : Je suis pas sûr que tu veuilles vraiment recommencer les maths par ça :mrgreen:
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Messagepar MeIdmry » 19 juil. 2015, 20:19

Pour la question 2 du 2, pour éviter le théorème du relèvement, une idée est de considérer [math].
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 19 juil. 2015, 20:29

MeIdmry a écrit :Pour la question 2 du 2, pour éviter le théorème du relèvement, une idée est de considérer [math].

Bien vu ! C’est exactement ce que m’a demandé de faire mon examinateur.
Mais je n’aurais pas trouvé ça tout seul…
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar MeIdmry » 20 juil. 2015, 14:59

Milton a écrit :1. Montrer que la fonction [math] est continue sur tout ouvert de [math]. (Difficilement faisable pour les élèves de term, cela nécessite un théorème de continuité des intégrales. Après, on est dans un cas très favorable d’application, donc si vous vous sentez de démontrer une version faible, allez-y ! :-P ).


Si on y va à la main, on obtient :

[math]

Ce qui se majore facilement sur tout compact de [math].
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 21 juil. 2015, 20:37

Pour le premier, F et G sont-elles des primitives de f et g ?

Sinon, une question à propos des oraux de concours en général : combien y a-t-il de personnes dans le jury généralement, et y a-t-il aussi d'autres spectateurs ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 22 juil. 2015, 10:49

Non, rien à voir, elles sont totalement independantes.

Généralement un jury, rarement deux (pour le TIPE et l'anglais X/ÉNS). Il y a souvent un spectateur sur les oraux X/ÉNS, rarement deux pour Normale sup' (la limite est à un à l'X). Leur accueil est rarement très bien géré... :mrgreen:

Au passage, pendant les zorros, allez voir des performances de khâgnes en histoire ou en philo, ça détend (et là, il y a souvent cinq à dix personnes) ! ;-)
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar MeIdmry » 22 juil. 2015, 15:15

En effet, c'est quasiment toujours une seule personne. Ce qui peut être préjudiciable au candidat (volonté d'une seule personne, pas de discussion à la fin de l'oral).

Si ta question concerne les concours de manière plus vaste, à l'agreg par exemple c'est 3 jurés.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 22 juil. 2015, 15:55

Le pire étant lorsque l'oral est déterminant. Ça m'énerve de me dire qu'à Ulm, un point à l'oral de maths correspond à plus de dix places...
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 17:07

Merci de vos réponses, mais je suis assez choqué.

C'est n'importe quoi qu'il y ait un seul examinateur (même pas deux pour confronter un peu les pts de vue) :shock:

Aussi, je trouve ça dommage qu'on puisse si peu assister aux oraux, au contraire des khâgnes et des chartes qui peuvent aller à des oraux en fin de sup pour voir un peu...
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 17:41

Pafnouti42 a écrit :Aussi, je trouve ça dommage qu'on puisse si peu assister aux oraux, au contraire des khâgnes et des chartes qui peuvent aller à des oraux en fin de sup pour voir un peu...

Ils ne peuvent pas plus que nous...
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Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 17:42

Bah mon frère m'a dit qu'il y avait bcp de gens assistant aux oraux en Chartes notamment...
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 17:43

Pafnouti42 a écrit :Bah mon frère m'a dit qu'il y avait bcp de gens assistant aux oraux en Chartes notamment...

Parce qu'ils y vont plus que nous, mais si on veut rien ne nous empêche de monter à Paris fin juin.
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Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 17:44

Sauf que vous parliez d'un seul spectateur...En Chartes je crois que c'est vraiment bcp plus !
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 17:45

Pafnouti42 a écrit :Sauf que vous parliez d'un seul spectateur...En Chartes je crois que c'est vraiment bcp plus !

Je ne crois pas qu'ils refusent du monde, c'est juste qu'il n'y a pas foule pour assister aux oraux de sciences.
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Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 17:46

Ah d'accord...Et les profs de sup n'organisent pas des "sorties" pour permettre à leurs élèves d'assister aux oraux ?
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 17:48

Pafnouti42 a écrit :Ah d'accord...Et les profs de sup n'organisent pas des "sorties" pour permettre à leurs élèves d'assister aux oraux ?

Si, ceux des sup' parisiennes... :|
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 22 juil. 2015, 18:01

Je n'ai eu que très peu d'élèves des sups parisiennes. Il y a parfois des refus sur certains crénaux, mais les élèves ne se bousculent pas pour venir voir des oraux de maths le dimanche ni le matin à huit heures. Il y a donc encore de la réserve, d'autant que les examinateurs en maths et en info acceptent jusqu'à deux spectateurs.

Pour ce qui est du nombre d'examinateurs, je suis assez d'accord avec Pafnouti42. Je pense que le concours gagnerait à se moderniser sur certains points : rééquilibrage de certains coefficients (je pense que c'est franchement néfaste lorsqu'une variation d'un point à une épreuve peut faire gagner 15 places lorsqu'il y en a quarante, et je ne dis pas ça seulement parce que je n'ai pas très bien réussi l'oral coef. 30 (vas-y, zzzzz, traîte-moi de rageux si tu veux ! :-p )), systématisation des oraux à deux correcteurs, etc.

Et plus ça va, plus je pense qu'il faudrait supprimer les filières et options. Le problème, c'est qu'un choix d'option peut être déterminant, alors que les élèves ont les mêmes capacités, et qu'il s'agit du même concours d'entrée. Par exemple, le fait que l'X soit plus facile à avoir en info est assez criant. De même, j'ai l'impression que le nombre de places proposées est assez systématiquement favorable aux PC. Et je ne parle pas de l'accueil des candidats universitaires. Je pense que ces écoles, qui se veulent égalitaire, devraient proposer un unique concours par formation proposée : par exemple, les 500 places de l'X seraient réparties par un seul concours, sans distinction arbitraire (101 pour les MP info, 18 pour les universitaires, etc.). On ferait un pas de plus vers l'égalité des candidats devant le concours, et on se prendrait beaucoup moins la tête sur les choix de filières.
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 18:48

Milton a écrit :rééquilibrage de certains coefficients (je pense que c'est franchement néfaste lorsqu'une variation d'un point à une épreuve peut faire gagner 15 places lorsqu'il y en a quarante, et je ne dis pas ça seulement parce que je n'ai pas très bien réussi l'oral coef. 30 (vas-y, zzzzz, traîte-moi de rageus si tu veux ! :-p )), systématisation des oraux à deux correcteurs, etc.

Pour les coeffs, c'est la règle du jeu dans un concours... De toute façon ils y a bien assez de monde qui a le niveau, alors bon, les écoles ne sont pas à dix places près mais il faut bien trier d'une façon ou d'une autre...
Pour les deux examinateurs, c'est vrai que pour les ENS où on évalue ton attitude, c'est justifié ; mais aux autres concours, où il s'agit juste de résoudre un exo...

Milton a écrit :Et plus ça va, plus je pense qu'il faudrait supprimer les filières et options. Le problème, c'est qu'un choix d'option peut être déterminant, alors que les élèves ont les mêmes capacités, et qu'il s'agit du même concours d'entrée. Par exemple, le fait que l'X soit plus facile à avoir en info est assez criant. De même, j'ai l'impression que le nombre de places proposées est assez systématiquement favorable aux PC. Et je ne parle pas de l'accueil des candidats universitaires. Je pense que ces écoles, qui se veulent égalitaire, devraient proposer un unique concours par formation proposée : par exemple, les 500 places de l'X seraient réparties par un seul concours, sans distinction arbitraire (101 pour les MP info, 18 pour les universitaires, etc.). On ferait un pas de plus vers l'égalité des candidats devant le concours, et on se prendrait beaucoup moins la tête sur les choix de filières.

C'est absolument ridicule, le concours avantagerait forcément une spécialité ou l'autre selon les coefficientages. Et puis l'X a bien le droit de choisir quel type d'élèves elle veut...
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Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 20:22

Enlever les options, je ne suis pas sûr que ce soit une bonne idée...
En tout cas je ne vois vraiment pas comment on peut harmoniser les notations s'il y a plusieurs jurys différents et qu'à chaque fois la note dépend de la volonté arbitraire d'une personne :evil:
Bien sûr, on se rend quand même compte qu'en général les gens qui rentrent à l'ENS par exemple le méritent, mais bon :roll:

@zzzzz : pourquoi est-ce que quand on clique sur le gif dans ta signature on atterrit vers un documentaire sur les lions d'Afrique :mrgreen: ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 22 juil. 2015, 20:43

zzzzz a écrit :
Milton a écrit :Et plus ça va, plus je pense qu'il faudrait supprimer les filières et options. Le problème, c'est qu'un choix d'option peut être déterminant, alors que les élèves ont les mêmes capacités, et qu'il s'agit du même concours d'entrée. Par exemple, le fait que l'X soit plus facile à avoir en info est assez criant. De même, j'ai l'impression que le nombre de places proposées est assez systématiquement favorable aux PC. Et je ne parle pas de l'accueil des candidats universitaires. Je pense que ces écoles, qui se veulent égalitaire, devraient proposer un unique concours par formation proposée : par exemple, les 500 places de l'X seraient réparties par un seul concours, sans distinction arbitraire (101 pour les MP info, 18 pour les universitaires, etc.). On ferait un pas de plus vers l'égalité des candidats devant le concours, et on se prendrait beaucoup moins la tête sur les choix de filières.

C'est absolument ridicule, le concours avantagerait forcément une spécialité ou l'autre selon les coefficientages. Et puis l'X a bien le droit de choisir quel type d'élèves elle veut...

L'idée étant la suppression des différentes filières, afin que les élèves arrivent en école avec les mêmes acquis. Désolé, mais ça me choque que les anciens PC aient des cours de maths différents des anciens MP à l'X.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 20:46

Mais cela te choque-t-il que les anciens MP aient des cours différents en chimie ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar MeIdmry » 22 juil. 2015, 20:47

Pafnouti42 a écrit :Mais cela te choque-t-il que les anciens MP aient des cours différents en chimie ?


Je doute que la chimie soit obligatoire à l'X.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 22 juil. 2015, 20:47

Elle ne l'est pas ! :-P
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2015, 20:51

Autant pour moi...Ce que je voulais dire, c'était que l'enseignement des maths est à ma connaissance plus poussé en MP qu'en PC, et donc cela ne m'étonne pas particulièrement qu'ils aient des cours différents en rentrant à l'X.

Edit : D'ailleurs, que la chimie ne soit pas obligatoire est loin de me déplaire :P
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar MeIdmry » 22 juil. 2015, 21:00

Milton a écrit :Par exemple, le fait que l'X soit plus facile à avoir en info est assez criant. De même, j'ai l'impression que le nombre de places proposées est assez systématiquement favorable aux PC.


Du temps où je passais l'X, il était au contraire plus facile de l'avoir en SI qu'en info. J'ai l'exemple de deux/trois personnes qui l'ont eu en SI en 2010 et sur lesquels on n'aurait pas misé un kopeck, et au contraire des favoris qui ne l'ont pas eu en info. De manière générale, j'avais lu je ne sais plus où que des gens de l'X reconnaissent que pour le dernier admis, on a les comparaisons de niveau suivants : info > SI > PC.
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Messagepar zzzzz » 22 juil. 2015, 21:23

Pafnouti42 a écrit :@zzzzz : pourquoi est-ce que quand on clique sur le gif dans ta signature on atterrit vers un documentaire sur les lions d'Afrique :mrgreen: ?

:roll:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 02 janv. 2016, 11:27

Ca y est, tes oraux sont dans l'officiel de la taupe :wink:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 02 janv. 2016, 16:26

Anwh trop cool ! :D Il est accessible en ligne ? :)
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Zénon » 10 févr. 2016, 21:19

Pour ton exo d'Ulm, le max il est pas là pour compliqué un peu les choses inutilement ? Je pense avoir l'inégalité presque sûr si on fait l'exo sans le max. Je pense l'avoir aussi avec le max (beaucoup moins sûr). Mon idée c'est de partir d'un produit des fonctions F, G, f et g en utilisant la décroissance (donc j'ai des fonctions en x et y avec y>x) et les valeurs dans [0,1] de F et G. Puis j'intègre successivement par x puis par y pour enfin poser y=x dans l'inégalité. Ce qui me gène un peu c'est aussi de ne pas du tout utiliser le fait qu'on travaille avec des intégrales impropres (je pense pas que ce soit là pour faire joli...).

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 10 févr. 2016, 22:09

Il y a moyen de se débarrasser du max très rapidement, puisque c’est symétrique. Quant tu dis « sans le max », je suppose que tu remplaces par l’intégrale de F ou celle de G ?

Tu peux proposer ta solution complète ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Zénon » 10 févr. 2016, 22:24

J'ai pas trop le temps en ce moment de tout rédiger (bac blanc...)

Mais je pars de ça avec y>x :

[math]

Je développe, j'intègre par rapport à x puis par rapport à y pour enfin poser x=y à la fin.

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Zénon » 12 févr. 2016, 13:39

Il y a peut-être des problèmes avec le max qui s'annule ou pas etc. Mais on peut partir de là plus simplement à mon avis :
[math]

en supposant que [math] puis par symétrie.

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 12 févr. 2016, 14:25

Bien tenté (et très bonne idée de faire des hypothèses simplificatrices sur f et G)… mais il me semble (si j’ai bien compris ce que tu voulais faire) qu’il y a une arnaque. En effet, ton raisonnement marcherait si tu pouvais intégrer d’abord par rapport à x sur R⁺, et ensuite par rapport à y sur R⁺.
Or, l’inégalité que tu cherches à intégrer n’est pas vraie sur R⁺ × R⁺ ! En réalité, tu ne peux intégrer sur sur le domaine {(x,y) : y ≥ x ≥ 0} où ton inégalité est vérifiée. Et je ne vois pas comment conclure à partir de là.
Par ailleurs, je ne comprends pas comment tu peux intégrer par rapport à x et y, puis fixer x = y. Si tu intègres par rapport à une variable, elle devient muette.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Zénon » 12 févr. 2016, 17:45

Ooooh :o Effectivement, j'avais pas du tout remarqué !! Pour le x=y, je me suis mal exprimé. Par contre, si j'arrive à montrer qu'on a l'inégalité recherchée dans le cas où [math] et [math] ça marcherait ?

Je développe un peu plus :

Soient [math], supposons que [math] ainsi que [math]. On a l'inégalité suivante qui est vérifiée :

$$G(y)f(x)[g(x)-g(y)F(x)]\geq 0.$$

On intègre par rapport à la variable [math] pour obtenir :

$$G(y)\int_{0}^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x-g(y)G(y)\int_{0}^{+\infty}f(x)F(x)\mathrm{d}x \geq 0. $$

On intègre par rapport à la variable [math] pour obtenir :

$$\int_{0}^{+\infty}G(y)\mathrm{d}y\int_{0}^{+\infty}f(x)g(x)\mathrm{d}x-\int_{0}^{+\infty}g(y)G(y)\mathrm{d}y\int_{0}^{+\infty}f(x)F(x)\mathrm{d}x \geq 0, $$

que l'on peut réécrire :

$$ \int_{0}^{+\infty}f(t)g(t)\mathrm{d}t\geq \frac{\displaystyle \int_{0}^{+\infty}g(t)G(t)\mathrm{d}t\int_{0}^{+\infty}f(t)F(t)\mathrm{d}t}{\displaystyle \int_{0}^{+\infty}G(t)\mathrm{d}t}. $$

Maintenant, supposons que [math] ainsi que [math]. On a l'inégalité suivante qui est vérifiée :

$$G(x)f(y)[g(y)-g(x)F(y)]\geq 0. $$

On effectue le même raisonnement que précédemment pour aboutir au même résultat. Ainsi, l'inégalité recherchée est vraie pour tout [math].

Maintenant si on suppose que [math], on fait le même raisonnement en considérant par exemple pour [math] :

$$F(y)g(x)[f(x)-f(y)G(x)]\geq 0. $$
...


Qu'en penses-tu ?

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 12 févr. 2016, 18:47

Et non, justement ! Là, tu t’es contenté de refaire le même raisonnement en te contentant d’échanger les deux variables, il serait donc surprenant que cela fonctionne… :wink:

Ton erreur est à la ligne 2 : « On intègre par rapport à la variable x pour obtenir : ». Pour intégrer par rapport à x, tu dois fixer y, on est d’accord ? Dès lors, ton inégalité n’est vérifiée QUE sur l’intervalle [0,y], donc tu n’as le droit d’intégrer QUE sur [0,y]. Ensuite, tu peux toujours réintégrer pour y entre 0 et l’infini, mais en ce cas, l’inégalité (correcte) que tu obtiens est (wait… depuis quand ça fonctionne les double dollars pour écrire des maths ?! :o ) :
$$\int_{0}^{+\infty}\left(G(y)\int_{0}^{\color{red}{y}}f(x)g(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right)-\int_{0}^{+\infty}\left(g(y)G(y)\int_{0}^{\color{red}{y}}f(x)F(x)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\right) \geq 0$$

Ce qui donne… ben euh pas grand chose j’en ai peur, puisque tu ne peux pas ensuite factoriser l’intégrale en dx, qui dépend de y… :evil:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Pafnouti42 » 12 févr. 2016, 21:39

Belle tentative :)

J'espère que tu auras la chance d'avoir M. Bayle pour t'apprendre à fixer quelconque les choses :mrgreen:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Zénon » 12 févr. 2016, 21:50

Hum, j'ai en effet mal compris ton post Milton (je me suis concentré que sur le x). J'ai essayé en fait d'appliquer une méthode que j'ai vu dans un autre exercice (grosse inégalité d'intégrale aussi). Je vais encore attendre un peu... :mrgreen:

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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 13 févr. 2016, 01:44

Pafnouti42 a écrit :Belle tentative :)

J'espère que tu auras la chance d'avoir M. Bayle pour t'apprendre à fixer quelconque les choses :mrgreen:

Tous les élèves entrant en sup’ ont le même défaut, et je connais peu de profs qui n’insistent pas là-dessus en début d’année…


Zénon : je pense que cet exercice te reste accessible ! ;-) Allez, je te donne de quoi te lancer. Tu as eu la bonne idée de dire : « allez, on suppose que max(intégrales) = quelque chose ». On peut donner un nom à ce quelque chose, disons $$\lambda$$, non ? Alors question : à $$\lambda$$ fixé, quelles sont les fonctions F et G pour lesquelles l’inégalité sera la plus dure à établir ? Le cas le moins grossier, qu’il suffira donc de traiter pour obtenir tous les autres ?
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 13 févr. 2016, 21:21

N'ai pas vraiment réfléchi à la question mais Milton es-tu en train de dire que ça se résoudrait (moyennant un léger formalisme sur les intégrales impropres) avec des notions de terminale? (ou devrais-je dire, "aucune notion spécifique"? x))
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 13 févr. 2016, 21:41

Précisément.

À l’exception d’un passage final qui peut se faire soit en admettant le théorème de Fubini pour des intégrales définies sur un compact (donc qui n’a rien d’étonnant, que les physiciens font sans jamais se poser de question, qui est vrai et que je pense Zénon fera spontanément), soit avec la concavité du logarithme.
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar tphi » 13 févr. 2016, 22:03

Je pense même que les physiciens ignorent qu'il y a des cas où Fubini ne fonctionne pas :lol:
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Re: Oraux ÉNS Milton

Messagepar Miltøn » 13 févr. 2016, 22:20

Après, en physique on ne travaille me semble-t-il que sur des domaines bornés, donc ça ne pose pas vraiment de problème (puisque tout est intégrable).
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