Défi de Pafnouti42

[Pafnouti42]

Pour fêter les 18 ans d'Elmut (le mec qui se cherche pas trop de justification ) et puisqu'on en a fini avec l'inégalité que j'avais proposée (bon pas avec les oraux d'ENS mais là on va pouvoir attendre un peu hein ), voici un problème que j'invite tout le monde à chercher :

On place quatre points dans le plan, et on suppose que les six distances qui les relient entre eux sont toutes entières. Montrer qu'alors au moins une d'entre elles est divisible par 3.

Good luck

[MeIdmry]

J'ai une preuve un peu calculatoire : on pose 4 points A, B, C, D et les angles de sommet A, on trouve grâce à Al-Kashi appliqué à ces angles une relation (dégueulasse) ne faisant intervenir que les carrés des distances AB, AC et AD. Si aucune distance n'était divisible par 3, tous ces carrés sont égaux à 1 modulo 3 et cela donne une contradiction.

Je cherche une démonstration plus élégante pour l'instant sans succès

[Pafnouti42]

Je ne me souviens plus exactement de comment j'avais fait, mais c'était bien sâââle...
Justement, cela m'intéresserait de trouver une preuve jolie pour cet exo