Préparer sa rentrée à Ulm

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Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 juil. 2015, 21:05

Bonjour à tous,

Vous êtes nombreux ( :mrgreen: ) à rentrer à Ulm cette année, je vais donc devoir adapter mes exercices ! Le premier est le suivant :

EXO 1

1) Soit [math] un espace euclidien, [math] un sous-groupe compact de [math] et [math] un convexe compact de [math] tel que pour tout [math], [math].
a) Montrer que [math] est une norme sur [math].
b) Montrer qu'il existe [math] tel que [math] pour tout [math].
2) Montrer que tout sous-groupe compact [math] de [math] est conjugué à un sous-groupe de [math]. Indication : on pourra considérer [math] et [math].
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 juil. 2015, 21:10

Quel honneur ! O/ Je vais commencer par gérer l'administratif, on verra la suite après ! O/
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 01 août 2015, 13:50

Le dossier d’inscription est envoyé, la motivation pour bosser revient peu à peu. o/

La question 1.(a) fait vraiment partie de l’exercice ? Puisqu’on dirait plutôt une question d’écrit des Mines destinée à vérifier que le candidat énumère bien les 14 hypothèses pour lui retirer les trois quarts des points s’il en manque une… :?

(PS, cher Président, je pense à un détail : pourrais-tu modifier le parseur pour que le code LaTeX obtenu avec MathJax puisse être entouré de $ … $ plutôt que de balises longues à taper ? C’est un peu plus naturel… :wink: merci !)

1.(a) [math] est compact donc borné (pour la norme triple, par exemple, puisqu’on est en dimension finie) ; on suppose donc [math] tel que [math]. Alors [math] d’où [math]. Donc [math] est bien une application de [math] dans [math].

[math] donc [math] est séparée.

Soit [math], [math]. Pour tout [math], [math] donc [math] d’où par passage au supremum [math]. En particulier, [math] soit [math]. Le cas [math] est immédiat ; [math] est homogène.

Enfin, soit [math]. Pour tout [math], [math] d’où l’inégalité triangulaire par passage au supremum.

Donc [math] est une norme. La suite après la pub.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 05 août 2015, 17:20

En fait, la pub va être plus longue que prévu. :mrgreen: Je n’ai que quelques ébauches d’idées tirées de cas particuliers (pour l’instant, je n’ai que le cas où H est monogène, et je me base sur un résultat qui s’il est classique, n’en est pas moins extrêmement fort… :roll: )
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Csdo » 05 août 2015, 18:14

J'ai pas rédigé la solution, mais ça se voit assez facilement sur un dessin. :wink:
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Messagepar Miltøn » 05 août 2015, 19:56

Heum… CSDO, pour faire un dessin, tu arrives à trouver des cas non triviaux ?
(puisque bon, dès lors que je prends un groupe qui tient la route, je me retrouve à devoir prendre pour K un truc qui contient le vecteur nul et… enfin voilà, quoi…)
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Csdo » 05 août 2015, 20:13

Mince, je pensais que le troll était évident à discerner ici ... J'ai pas du tout réfléchi au problème en fait :oops: Peut être une fois si j'en trouve le temps et la motivation :)
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 05 août 2015, 20:21

Tsssss… Le truc c’est qu’effectivement, en faisant un dessin, on a bien du mal à faire un cas où ça ne marche pas, et même pire, à trouver un cas dans lequel ce n’est pas hyper-évident ! :D
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Csdo » 05 août 2015, 21:07

*invoque l'esprit d'un brillant prof d'informatique*

Ton problème, tu vois, c'est que quand on te demande de prouver quelque chose, tu commences par chercher un cas où ça ne marche pas (ce qui revient à contester l'énoncé de la question) :?

(Même si je conçois très bien que cherche un contre-exemple (même si on sait très bien qu'il n'en existe pas) permet d'avoir une idée des arguments à utiliser pour trouver une solution)
CSDO 12-13
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 05 août 2015, 21:13

Au cas où le maître des lieux passerait par là et aurait l’idée saugrenue de me donner une indication, ma démarche actuelle est simple : je pars d’une version faible du théorème du point fixe de Brouwer : toute application continue de la boule unité (en norme infini) d’un espace euclidien dans elle-même admet un point fixe. K est homéomorphe à cette boule, donc en considérant l’homéomorphisme φ, et en appliquant le théorème à φ u φ⁻¹, on montre que les éléments de H admettent tous un point fixe dans K.

Si H est monogène, appliquer ce qui précède à un générateur permet de conclure. J’essaye maintenant de voir s’il est possible à partir des points fixes de deux éléments d’obtenir un point fixe du produit (quitte à supposer dans un premier temps la commutativité) par exemple avec une combinaison linéaire convexe (je vois mal à quoi d’autre servirait la convexité de K), et ainsi de suite, pour traiter par récurrence tous les groupes de type fini, ou au moins les commutatifs de type fini, ce qui serait déjà un bon début. :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 05 août 2015, 21:14

Csdo a écrit :*invoque l'esprit d'un brillant prof d'informatique*

Ton problème, tu vois, c'est que quand on te demande de prouver quelque chose, tu commences par chercher un cas où ça ne marche pas (ce qui revient à contester l'énoncé de la question) :?

Tsss. Je lui en ai tellement voulu…
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Messagepar zzzzz » 07 août 2015, 16:53

Milton a écrit :
Csdo a écrit :*invoque l'esprit d'un brillant prof d'informatique*

Ton problème, tu vois, c'est que quand on te demande de prouver quelque chose, tu commences par chercher un cas où ça ne marche pas (ce qui revient à contester l'énoncé de la question) :?

Tsss. Je lui en ai tellement voulu…

Vraiment ? :shock:
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Messagepar Miltøn » 07 août 2015, 16:59

Je t'avoue que j'ai eu humainement un peu de mal à rentrer dans le moule imposé par ce professeur (après les résultats montrent qu'il nous a bien formés, hein ! :-) ). Je me demande d'ailleurs comment certains anciens MP2, un en particulier, ont pu survivre à leur sup' vu ce que j'ai vu d'eux en cours... :roll:
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Messagepar zzzzz » 07 août 2015, 17:30

Milton a écrit :Je t'avoue que j'ai eu humainement un peu de mal à rentrer dans le moule imposé par ce professeur

Sans doute parce qu' il a eu un peu de mal à entrer dans le moule imposé par son élève. :P
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Messagepar Miltøn » 07 août 2015, 17:34

Tu me trouves si ingérable que ça ? :-o À part prendre souvent la parole, poser beaucoup de questions et parfois, aussi, me tromper, je ne vois pas trop en quoi je serais à moi tout seul un moule... :o
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Messagepar zzzzz » 07 août 2015, 17:36

Milton a écrit :Tu me trouves si ingérable que ça ? :-o À part prendre souvent la parole, poser beaucoup de questions et parfois, aussi, me tromper, je ne vois pas trop en quoi je serais à moi tout seul un moule... :o

Rooooh, si on ne peut plus taquiner les gens sans être pris au sérieux... :roll:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 07 août 2015, 17:44

Mets des points d'ironie, et n'oublie pas la signification du A de mon titre ! :wink:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 09 août 2015, 22:09

De retour d'une longue absence, je réponds aux questions et donne une indication.

En effet, la question 1)a) est une question de rédaction. Mais elle a le mérite de donner une indication implicite pour la 1)b) : essayer de montrer que le minimum de N sur K convient pour a.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 09 août 2015, 22:56

Je prends note de l’indication, merci ! :)
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 13 août 2015, 20:02

Alors, des idées ? :wink:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 14 août 2015, 00:52

MeIdmry a écrit :Alors, des idées ? :wink:

Je manque de temps ! :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 14 août 2015, 21:20

Allez, je donne la soluton du 1)b), comme ça tu seras motivé pour le 2 :mrgreen:

[math] admet un minimum sur [math] en [math] par continuité. En outre, il est clair que pour tout [math] et [math], on a [math]. Il suffit alors de montrer que [math] admet un unique minimum sur [math].

Soit [math] un autre minimum sur [math]. On a [math] car [math] est convexe, et [math] par inégalité triangulaire. Il y a donc égalité dans l'inégalité triangulaire, donc [math] et [math] sont positivement liés, ce qui implique directement que [math].
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 15 août 2015, 09:56

Maiiiis ! :o Spoiler !

Bon, je me mets au 2 mardi normalement, OK ? ^^
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 16 août 2015, 18:31

À la réflexion je ne suis pas totalement d'accord : ce cas d'égalité pour l'inégalité triangulaire ne fonctionne, me semble-t-il, uniquement pour les normes euclidiennes. Contre-exemple : la norme infini dans R^2 ≈ C ; on a || 1+i || = || 1-i || = 1 et || 1+i + 1 - i || = || 2 || = 2 donc cas d'égalité mais 1+i et 1-i ne sont pas positivement liés...
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 16 août 2015, 22:58

Tu as tout à fait raison, mais l'argument reste vrai car [math] est euclidienne, je détaille.

On suppose que [math]. Il existe [math] tel que [math]. On a donc [math], donc [math] et [math] sont positivement liés, et par suite [math] et [math] aussi.

Bon pour toi ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 16 août 2015, 23:26

MeIdmry a écrit :Tu as tout à fait raison, mais l'argument reste vrai car [math] est euclidienne, je détaille.

On suppose que [math]. Il existe [math] tel que [math]. On a donc [math], donc [math] et [math] sont positivement liés, et par suite [math] et [math] aussi.

Bon pour toi ?

Je ne vois pas pourquoi le u existerait nécessairement, puisque l'on prend un sup' et que H peut être infini, non ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 16 août 2015, 23:30

Ne pas oublier que [math] est compact :wink:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 16 août 2015, 23:37

MeIdmry a écrit :Ne pas oublier que [math] est compact :wink:

Mmh certes. Donc nécessairement l'ensemble des normes aussi !
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 16 août 2015, 23:48

Milton a écrit :
MeIdmry a écrit :Ne pas oublier que [math] est compact :wink:

Mmh certes. Donc nécessairement l'ensemble des normes aussi !


Je ne saisis pas bien ton argument. Je dis juste pour ma part qu'à [math] fixé, l'application [math] est continue, d'où l'existence d'un [math] qui atteint le sup.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 16 août 2015, 23:50

MeIdmry a écrit :
Milton a écrit :
MeIdmry a écrit :Ne pas oublier que [math] est compact :wink:

Mmh certes. Donc nécessairement l'ensemble des normes aussi !


Je ne saisis pas bien ton argument. Je dis juste pour ma part qu'à [math] fixé, l'application [math] est continue, d'où l'existence d'un [math] qui atteint le sup.

Oui, en fait ce que je disais, c'est que [math] est compact donc admet un max. (Donc la même chose...)
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 16 août 2015, 23:56

Parfait alors :wink:

Te voilà ainsi armé pour attaquer le 2 !
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 17 août 2015, 00:17

MeIdmry a écrit :Parfait alors :wink:

Te voilà ainsi armé pour attaquer le 2 !

Je te tiens au courant. Sois gentil, me spoile pas de suite ! :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 24 août 2015, 11:14

Quand tu dis « conjugué à un sous-groupe de On(R) », tu veux dire qu'on cherche un F < On(R) et une matrice inversible C telle que G = {CQC^{-1} | Q € F }, c'est bien ça ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 24 août 2015, 18:06

Exactement :wink:
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Messagepar Miltøn » 24 août 2015, 18:08

Mwoké… :| On va continuer à chercher, alors…
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 24 août 2015, 22:26

Dans l'indication donnée :

MeIdmry a écrit :on pourra considérer [math] et [math].


qu'as-tu envie de poser pour [math] ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 27 août 2015, 11:35

C’est bon, j’ai trouvé, je rédige la solution ! :D

[Edit :]

On commence par vérifier de façon immédiate que H est un groupe compact (puisqu’en notant [math], l’application [math] est continue et G compact).

On pense à la décomposition polaire des matrices de G. L’application [math] est continue ; donc l’ensemble [math] est compact. Soit K son enveloppe convexe, soit [math] (qui est convexe, car c’est l’image réciproque de {1} par une application continue, etc.). D’après Carathéodory, l’application continue suivante est surjective :
[math]

Donc K est convexe. De plus, L est stable par les applications de H puisque G est un groupe, donc K est stable par toute application de H.

Les conditions de la question 1.b sont vérifiées ; il existe donc une matrice [math] où les [math] sont des éléments de G, et les [math] des réels positifs de somme 1 (mais on s’en fiche presque, l’important est que l’un d’entre eux est non nul) telle que [math].
Les [math] sont symétriques définies positives ; donc [math] l’est aussi (espace vectoriel + étudier la somme [math] pour un vecteur X quelconque).

Considérons alors [math] : c’est immédiatement un sous-groupe compact de [math] ; et on a pour tout élément A de G, [math] d’après la propriété définissant C ; donc F est un sous-groupe du groupe orthogonal, conjugué à G. QED.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 27 août 2015, 14:12

C'est parfait, bravo :wink:

Va falloir que je réfléchisse à un autre maintenant :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 27 août 2015, 14:34

Soit [math] un nombre premier, on note [math] le corps [math].

1) Soit [math] tel que ([math]) ou ([math] ne divise pas [math]). Montrer que [math].
2) Soient [math] non nuls. On note [math]. Montrer que si [math] alors [math] divise [math].
3) Soient [math] des entiers. Montrer qu'il est possible de choisir [math] entiers parmi les [math] telle que la somme soit nulle modulo [math].

Remarque : On peut montrer qu'il existe un unique corps (à isomorphisme près) à [math] éléments, noté [math]. Le résultat 2) tient encore en remplaçant [math] par [math] (sans rien changer de la preuve).
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 27 août 2015, 15:12

Rhoooh le double post honteux ! :o Bon, ben quand j'aurai un stylo je me remettrai à l'algèbre générale... :evil:

V c'est pour variété ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 27 août 2015, 15:23

Milton a écrit :V c'est pour variété ?


Oui, tout à fait. Variété algébrique pour être précis :wink:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 27 août 2015, 15:25

Quelle est la différence avec une variété topologique ? Dans les deux cas, il s'agit de l'ensemble des points simultanés d'annulation d'une famille de polynôme, non ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 27 août 2015, 15:34

Une variété topologique est localement homéomorphe à [math].
Une variété algébrique est (pour simplifier) le lieu des zéros d'une famille de polynômes.

Exemple de différences :
- une cubique réelle (par définition algébrique) peut avoir des singularités qui font qu'il ne s'agit pas d'une variété topologique (un point double, un point isolé, un point de rebroussement)
- le graphe de l'exponentielle est une variété topologique (et même [math]) mais pas algébrique
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 27 août 2015, 16:05

Okay, je comprends mieux !
Merci pour les définitions ! :)
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Kennedjiro » 28 août 2015, 21:48

The Master a écrit :[math]

Kézako ? :shock:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 28 août 2015, 21:52

De classe C infini. Une fonction (ou son graphe, etc.) est de classe C^n si elle est n fois dérivable et si sa dérivée n-ième est continue (sur un intervalle donné ou bien partout). C^0 si elle est juste continue, et C^infini (ou « indéfiniment dérivable ») si elle est C^n pour tout n (c'est le cas de l'exponentielle). Ça se généralise aux fonctions à plusieurs variables (mais c'est plus chaud à définir, tu verras en spé) et à leurs graphes.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 28 août 2015, 23:54

En terme de variétés, une variété différentielle de classe [math] est juste une variété topologique dont les changements de cartes sont des [math]-difféomorphismes.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar tphi » 29 août 2015, 14:09

MeIdmry a écrit :En terme de variétés, une variété différentielle de classe [math] est juste une variété topologique dont les changements de cartes sont des [math]-difféomorphismes.


Han fichtre je pensais qu'il fallait que ce soit des [math]-homéomorphismes
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 14:15

Une carte en gros, c'est une paramétrisation d'un ouvert de ta variété par un Banach. Par exemple, pour la sphère unité, tu peux faire une projection stéréographique du pôle nord et une du pôle sud. Si tu as des cartes dont les ouverts recouvrent la variété, ça fait un atlas, et on étudié la régularité (C^k-difféomorphisme, etc.) des applications dites de changement de carte (ou changement de coordonnées) sur les points à l'intersection de plusieurs ouverts (les points autres que les pôles dans notre exemple...).
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 août 2015, 20:33

Une piste pour la 1 ? :wink:
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