Préparer sa rentrée à Ulm

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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 20:49

Pas regardé (sauf le cas 0 :roll:), je suis dans le bouquin de Juppé... :mrgreen:
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Bidouilleur-technicien et ex-codictateur du forum.

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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 août 2015, 21:04

Pour te motiver, la réponse est assez immédiate (à condition de voir la chose :wink: ).
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:34

Chouette ! :D Je vais essayer d'y penser en achetant le fromage ! :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 août 2015, 21:45

Milton a écrit :Chouette ! :D Je vais essayer d'y penser en achetant le fromage ! :mrgreen:


Voilà, bonne idée :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:47

(J'espère que tu n'as pas trop de goûts de luxe, je ne connais pas de bon fromager dans le XIVe ouvert le dimanche matin... :roll: )
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 août 2015, 21:50

Un bon petit fromage des familles :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:54

Sec ? Coulant ? Vache ? Chèvre ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 29 août 2015, 21:56

J'aime tous les fromages, comme tout français qui se respecte :wink:

Une petite préférence pour chèvre et brebis néanmoins :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:57

C'est noté !
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 31 août 2015, 22:03

MeIdmry a écrit :Pour te motiver, la réponse est assez immédiate (à condition de voir la chose :wink: ).


Pour se lancer, je pose une question : quelle propriété classique a le groupe [Rendering math](\mathbb{F}_p^{*},\times) ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Csdo » 31 août 2015, 22:09

Ben c'est un corps ... Je voyais qu'il fallait utiliser ça mais la somme me perturbait.
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 31 août 2015, 22:11

Csdo a écrit :Ben c'est un corps ... Je voyais qu'il fallait utiliser ça mais la somme me perturbait.


Oui [Rendering math]\mathbb{F}_p est un corps, ce qui revient à dire que [Rendering math](\mathbb{F}_p^{*},\times) est un groupe. Mais ce groupe n'a-t-il pas une propriété classique intéressante ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 31 août 2015, 22:14

Mais c’est pas que je n’y arrive pas, c’est que je suis en train de me prendre la tête dans les emplois du temps ! x)
Sinon, je pense immédiatement à la monogénéité (cyclicité, même).
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 31 août 2015, 22:21

Milton a écrit :Mais c’est pas que je n’y arrive pas, c’est que je suis en train de me prendre la tête dans les emplois du temps ! x)


Oui je sais bien, mais ça donne un petit coup de motivation (sans pour autant donner une trop grosse indication) :wink:

Milton a écrit :Sinon, je pense immédiatement à la monogénéité (cyclicité, même).


Voilà une idée qu'elle est bonne. Allez maintenant on calcule la somme !
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 06 sept. 2015, 15:07

Sans réponse, je commence le calcul tout seul :P

On note [Rendering math]g un générateur de [Rendering math]\mathbb{F}_{p}^{*}, autrement dit d'ordre [Rendering math]p-1. On a [Rendering math]\sum_{x \in \mathbb{F}_p} x^m=\sum_{x \in \mathbb{F}_p}(gx)^m=g^m \sum_{x \in \mathbb{F}_p} x^m. Qu'en déduit-on ?
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 06 sept. 2015, 23:05

Oui, bon, là ça vient tout seul : on a donc [Rendering math](g^m-1)\displaystyle\sum\limits_{x \in \mathbf F_p^*}x^m = 0. Donc si p-1 ne divise pas m, alors [Rendering math]g^m \neq 1 d’où le résultat en simplifiant.

Sinon, on avait m = 0 ; et la somme est trivialement nulle. :mrgreen:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 07 sept. 2015, 15:51

Au moins, ça permet de lancer véritablement l'exo :mrgreen:

Maintenant, il faut voir comment utiliser 1) pour répondre à :

MeIdmry a écrit :2) Soient [math] non nuls. On note [math]. Montrer que si [math] alors [math] divise [math].
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar MeIdmry » 14 sept. 2015, 23:55

Sans avancée depuis 8 jours, je me sens obligé de donner une indication :mrgreen:

Considérer le polynôme [Rendering math]S=\prod_{i=1}^{r}(1-P_{i}^{p-1})
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 16 déc. 2015, 23:32

MeIdmry a écrit :2) Montrer que tout sous-groupe compact [math] de [math] est conjugué à un sous-groupe de [math]. Indication : on pourra considérer [math] et [math].

En fait, il suffisait d’attendre d’être effectivement rentré et d’avoir acquis quelques connaissances non élémentaires pour avoir une démonstration bien plus brève — quoique moins élémentaire :

Soit [Rendering math]\langle.\mid.\rangle_0 le produit scalaire canonique de [Rendering math]\mathbf R^n. Soit [Rendering math]\mu une mesure de Haar sur [Rendering math]H. On pose [Rendering math]\langle x \mid y \rangle := \int_H \langle hx \mid hy \rangle_0 \mathrm d \mu. C’est une immédiatement une forme bilinéaire symétrique positive, et même définie positive puisque [Rendering math]H \subset GL_n(\mathbf R). Elle est stable par toute translation à gauche, donc [Rendering math]H est inclus dans le groupe orthogonal pour cette forme, donc conjugué à un sous-groupe du groupe orthogonal pour [Rendering math]\langle.\mid.\rangle_0.

Pour les lecteurs qui n’ont pas encore suivi de cours d’inté, l’idée est en fait de s’inspirer de l’exercice classique qui a un énoncé similaire, sauf qu’on remplace « compact » par « fini ». L’astuce consiste juste à introduire le produit scalaire [Rendering math]\langle x \mid y \rangle := \sum\limits_{h \in H} \langle hx \mid hy \rangle_0, conservé par tout élément de [Rendering math]g. Mais ne pouvant sommer sur un ensemble d’indices fini sans plus de précaution, on prend plutôt une intégrale. La seule vraie difficulté est la construction de cette mesure [Rendering math]\mu, qui a la propriété d’être homogène, c’est-à-dire invariante par multiplication. Fort heureusement, il s’agit d’un résultat vu en L3, donc dont je peux vous épargner la (longue) démonstration ! :P
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Pafnouti42 » 19 déc. 2015, 21:26

Milton a écrit :Soit [Rendering math]\langle.\mid.\rangle_0 le produit scalaire canonique de [Rendering math]\mathbf R^n. Soit [Rendering math]\mu une mesure de Haar sur [Rendering math]H. On pose [Rendering math]\langle x \mid y \rangle := \int_H \langle hx \mid hy \rangle_0 \mathrm d \mu. C’est une immédiatement une forme bilinéaire symétrique positive, et même définie positive puisque [Rendering math]H \subset GL_n(\mathbf R). Elle est stable par toute translation à gauche, donc [Rendering math]H est inclus dans le groupe orthogonal pour cette forme, donc conjugué à un sous-groupe du groupe orthogonal pour [Rendering math]\langle.\mid.\rangle_0.

Je comprends pas grand chose, mais ça a plutôt l'air badass :roll:
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Re: Préparer sa rentrée à Ulm

Messagepar Miltøn » 19 déc. 2015, 22:40

Ça c’est normal :-P Mais normalement, les explications plus détaillées qui suivent sont destinées (entre autre) à toi ! :wink:
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