Messagepar Sketshup » 30 août 2015, 01:50
Ma solution:
[math]P est fixe, ainsi que [math]d et [math]d'. [math]l_1, l_2, l_3, l_ 4 sont les 4' longueurs qui séparent [math]P du cercle (ces longueurs définissent à fortiori la distance [math]OP, qui, elle même, sans perte de généralité, définit [math]P, mais ce n'est pas important pour la suite, juste bon à remarquer). On pose [math]K la somme de leurs carrés.
[math]P(u): l'aire balayée usant l'angle [math]u. Remarquons que:
[math]P(u + du) représente la surface balayée avec l'ange [math]u+du. Cette quantité représente l'aire balayée avec u, plus une certaine quantité. On considère l'un des 4 "bouts", le bout de [math]l_1, par exemple. du étant suffisamment petit, la corde qu'il définit est vue comme un segment de direction perpendiculaire à [math]l_1. La surface de ce bout est donc [math]\frac{1}{2}K(du)(l_1)^2 (utilisant le fait que [math]du = tg(du) pour du suffisamment petit). Finalement: [math]P(u+du) = P(u) + \frac{1}{2}K.du.
Cela mène à [math]dP = \frac{1}{2}K.du , ou encore, sachant [math]P(0) = 0, à [math]P(u) = \frac{1}{2}Ku.
Sachant [math]\frac{1}{4}K\pi = P(\frac{\pi}{2}) = \pi.R^2, on obtient: [math]K = 4R^2, ou encore [math]P(u) = 2R^2.u
Sauf erreur.
Dernière édition par
Sketshup le 30 août 2015, 13:16, édité 1 fois.