Géométrie analytique

[Pafnouti42]

Bien, pour me rattraper de mon dernier exo un peu moche (en tout cas même MeIdmry n'a pas trouvé de jolie preuve <liplip>), voici deux exos de géométrie analytique (qui est loin d'être ma préférée, mais qui s'approche le plus de ce qu'on fera en prépa je pense ) que je trouve sympas

Soit [latex]\mathcal{P}[/latex] la parabole d'équation [latex]y=x^2[/latex]. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que des points de [latex]\mathcal{P}[/latex] d'abscisse [latex]a[/latex],[latex]b[/latex], [latex]c[/latex] et [latex]d[/latex] soient cocycliques.

Soit [latex]P[/latex] un point à l'intérieur d'un cercle de rayon [latex]R[/latex],[latex]d[/latex] une droite passant par [latex]P[/latex] et [latex]d'[/latex] la perpendiculaire à [latex]d[/latex] en [latex]P[/latex]. On fait tourner les droites [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex] d'un angle [latex]\phi[/latex] autour de [latex]P[/latex]. Montrer que quelle que soit la position du point [latex]P[/latex], l'aire balayée par [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex] à l'intérieur du cercle (qui a la forme d'une croix) vaudra [latex]\pi R^2 \frac{4\phi}{360}[/latex].

[Miltøn]

[latex]\pi R^2 \frac{4\phi}{360}[/latex].

Heum… Tu donnes ton angle en degrés, je suppose du coup ? x)

[Pafnouti42]

Oui Réflexe de gentil collégien qui aime la géométrie élémentaire
Enfin peu importe pour l'exo, il faut juste montrer que quelle que soit la position de P c'est comme si on l'avait mis au centre, d'ailleurs je vais rajouter une image parce que je suis pas sûr que l'énoncé soit clair comme ça...

[Miltøn]

Si, si, j’ai pour ma part bien compris…
C’est drôle, ça paraît hyper intuitif, mais ça a l’air un peu plus… sale à démontrer !

[Pafnouti42]

Pas si sâle que ça justement

Voici une illustration si jamais :

[MeIdmry]

Attention, spoil pour ceux qui cherchent les exercices, ne pas lire le cas échéant

J'ai trouvé une solution intéressante pour le 1er. En regardant l'intersection du cercle passant par [latex]a, b, c[/latex] (non alignés car une droite et une parabole s'intersectent en au plus 2 points) d'équation [latex]x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0[/latex] et de la parabole, on trouve l'équation [latex]x^4+(1+\beta) x^2+\alpha x + \gamma = 0[/latex]

Si [latex]a, b, c, d[/latex] sont cocycliques alors ce sont les racines de ce polynôme dont le terme en [latex]x^3[/latex] est nul, donc [latex]a+b+c+d=0[/latex].

Réciproquement, si [latex]a+b+c+d=0[/latex], on note [latex]d'[/latex] la quatrième solution de l'équation. D'après ce qui précède, [latex]a+b+c+d'=0[/latex], en particulier [latex]d'[/latex] est réelle. Comme [latex]a+b+c+d=0[/latex], on a [latex]d=d'[/latex].

[Pafnouti42]

Bravo
C'est exactement la solution qui était attendue !
Pour la réciproque, quand on m'avait posé l'exo, je n'avais pas raisonné par unicité : on peut s'en sortir sans mais ça devient moins joli, j'avais bidouillé avec le théorème de Ptolémée je crois

[Pafnouti42]

UP !

Parce que le cerveau de Vanxoo_ s'est tout juste réveillé

[Pafnouti42]

UP ! Plus d'excuse de cerveau en veille, Vanxoo_

[Vanxoo_]

Maintenant j'ai l'excuse de bientôt la rentrée
Non, en fait je l'ai cherché un peu, j'ai pas trouvé, et je m'y suis pas trop remis depuis. Je réessaierai quand j'aurais l'envie

[Pafnouti42]

Indication (spoiler) : voir ce qui se passe quand on fait tourner la croix d'un tout petit angle [latex]d\theta[/latex] !

[Miltøn]

…attends, tu t’y connais en calcul diff ou tu comptes nous la faire à la physicienne, là ?!

[Pafnouti42]

…attends, tu t’y connais en calcul diff ou tu comptes nous la faire à la physicienne, là ?!

Je compte la faire à la physicienne
Justement je comptais sur vous pour savoir comment rédiger proprement ce type de raisonnement
(après il y a aussi une solution non physicienne avec du découpage niveau 4e mais elle est un peu chiante)

[Miltøn]

Bon, alors à la physicienne, j’ai un peu la flemme de le faire je t’avouerai mais je vois ce que tu comptes faire, un DL1 de l’aire balayée et considérer un θ très petit que tu vas appeler « dθ » et pour lequel tu considéreras que dθ² = 0, et arriver à la valeur de dS souhaitée pour pouvoir ensuite intégrer. C’est le genre de raisonnements que tu vas faire en physique pendant deux ans, par exemple pour prouver des trucs comme la loi des aires sous sa version forte, en sup’ ; pour calculer le champ électrique d’un dipôle ou encore pour établir l’équation dite « des télégraphistes ».

Il me semble qu’il y a derrière tout cela une théorie mathématique correcte de « calcul infinitésimal », mais je ne la connais pas (et M. Brevet non plus). En tout cas, ce n’est pas simplement du calcul diff, et je ne me risquerai pas en maths à faire ce genre de raisonnement sans avoir plus étudié le sujet. Du coup, je veux bien la démo niveau 4e !

[Pafnouti42]

Ah mince, je trouvais le raisonnement joli même si je ne savais pas comment le rendre rigoureux (= définition de la physique ?)

Voici un pdf avec la solution 4e et la solution analytique pour ceux que ça intéresse. Sinon c'est quoi l'équation des télégraphistes ?

[Miltøn]

Ben c’est sale de « négliger » quelque chose en maths…

L’équation des télégraphistes, c’est une très jolie modélisation du câble coaxial. Wikipédia est ton amie !

[Vanxoo_]

Et sinon y a pas moyen de le faire de manière dégueulasse en calculant l'aire directement en fonction de la position de P ? (en se mettant sur le cercle unité et en supposant que les droites sont parallèles/perpendiculaires aux axes pour simplifier un peu les calculs) ? Vu qu'obtenir une expression n'a pas l'air bien compliqué, après il faut montrer qu'elle est constante ce qui est sans doute plus dur... En dérivant en fonction de x puis de y ptetre ?

[Pafnouti42]

J'avais essayé comme ça, mais je n'avais (et n'ai toujours pas) les outils d'intégration nécessaires

[Vanxoo_]

Sans intégrale ça marche pas ? Genre on calcule la position des 8 points d'intersection (4 sont simples vu qu'on suppose nos droites bien droites, pour les 4 autres faut juste trouver l'équation des droites "décalées"), puis on découpe chaque bout en un triangle plus un bout de disque, on calcule l'aire du triangle avec la formule qui la donne en fonction des côtés, puis celle du bout de disque, et on somme le tout ?

[Pafnouti42]

Comment tu fais pour le bout de disque ?

[Miltøn]

Avec une jolie intégrale, non ?

[Vanxoo_]

Aire d'une section circulaire moins aire d'un triangle ça devrait marcher

[Miltøn]

Ce n'est pas tout-à-fait une section circulaire, justement...

[Vanxoo_]

Oui je sais, mais on considère la section formée par les deux points sur le cercle reliés au centre, le triangle n'est pas le même mais le "bout" ne change pas... (ceci dit il faut retrouver l'angle, ce qui doit se faire vu qu'on a les coordonnées des 3 points mais ça rajoute encore des calculs)

[Miltøn]

Ça devient méchamment calculatoire...

[Vanxoo_]

Ouais, c'est pour ça que je disais que c'était dégueulasse... mais il me semble que ça devrait marcher, à la limite avec un logiciel de calcul formel pour pas se tromper Enfin dans tous les cas la solution de Pafnouti est mieux, mais je sais pas du tout manipuler ça

[Miltøn]

Ben tu négliges tout ce qui dépasse l’ordre 2 dans les DL, et sinon ça marche comme les dérivées : d(f(x)) = f’(x) dx, d(f(x) + g(x)) = d(f(x)) + d(g(x)), d(fg(x)) = f(x)d(g(x)) + g(x) d(f(x)), etc.

[Sketshup]

Ma solution:

[latex]P[/latex] est fixe, ainsi que [latex]d[/latex] et [latex]d'[/latex]. [latex]l_1, l_2, l_3, l_ 4[/latex] sont les 4' longueurs qui séparent [latex]P[/latex] du cercle (ces longueurs définissent à fortiori la distance [latex]OP[/latex], qui, elle même, sans perte de généralité, définit [latex]P[/latex], mais ce n'est pas important pour la suite, juste bon à remarquer). On pose [latex]K[/latex] la somme de leurs carrés.

[latex]P(u)[/latex]: l'aire balayée usant l'angle [latex]u[/latex]. Remarquons que:

[latex]P(u + du)[/latex] représente la surface balayée avec l'ange [latex]u+du[/latex]. Cette quantité représente l'aire balayée avec u, plus une certaine quantité. On considère l'un des 4 "bouts", le bout de [latex]l_1[/latex], par exemple. du étant suffisamment petit, la corde qu'il définit est vue comme un segment de direction perpendiculaire à [latex]l_1[/latex]. La surface de ce bout est donc [latex]\frac{1}{2}K(du)(l_1)^2[/latex] (utilisant le fait que [latex]du = tg(du)[/latex] pour du suffisamment petit). Finalement: [latex]P(u+du) = P(u) + \frac{1}{2}K.du[/latex].

Cela mène à [latex]dP = \frac{1}{2}K.du[/latex] , ou encore, sachant [latex]P(0) = 0[/latex], à [latex]P(u) = \frac{1}{2}Ku[/latex].

Sachant [latex]\frac{1}{4}K\pi = P(\frac{\pi}{2}) = \pi.R^2[/latex], on obtient: [latex]K = 4R^2[/latex], ou encore [latex]P(u) = 2R^2.u[/latex]

Sauf erreur.

[Pafnouti42]

Cela me semble bon, mais il y a un moyen plus rapide de montrer que [latex]k=4R^2[/latex] en se plaçant dans un repère de centre P...

Sinon, Sketshup, pourrais-tu essayer d'utiliser les balises

Code : Tout sélectionner

[latex]

et

Code : Tout sélectionner

[/latex] 

autour de tes formules stp ?

[Miltøn]

Heum… comme tu ne mets pas de délimiteurs autour de tes fractions, c’est assez difficile à suivre, et il te manque un 2 : « Cela mène à dP = 1/2K.d(u) ».

Sinon, c’est physiquement correct. En maths, il faudrait rendre plus propre (mais c’est faisable) ces histoires de direction perpendiculaire et de tan(du) = du (attention, en France, la tangente, c’est tan, pas tg…), et surtout avoir une véritable théorie qui te permette de faire ces calculs…

[Sketshup]

Ma plus grande flemme dans les forums est de:

1-Poster.
2-Une fois décidé à poster: le faire en LaTeX. Je tâcherai d'éditer mon post.


Pour commenter le calcul de K, mon approche, du moins, ce que je voulais faire de tête, c'est prouver qu'il s'agit d'une application linéaire. Après, le coefficient, il s'est montré tout seul. Je me suis dit "Si j'ai le coefficient, tant mieux, je connais la valeur de P en un point non nul, je m'occuperai de trouver sa valeur plus tard".

Sinon, le problème est sympa, c'est vrai.

[Pafnouti42]

Sinon, le problème est sympa, c'est vrai.

Merci

Et re-merci pour avoir édité ta solution en latex, c'est quand même plus lisible !