Géométrie analytique

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Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 juil. 2015, 18:16

Bien, pour me rattraper de mon dernier exo un peu moche (en tout cas même MeIdmry n'a pas trouvé de jolie preuve <liplip>), voici deux exos de géométrie analytique (qui est loin d'être ma préférée, mais qui s'approche le plus de ce qu'on fera en prépa je pense :roll: ) que je trouve sympas :)

Soit [math] la parabole d'équation [math]. Trouver une condition nécessaire et suffisante pour que des points de [math] d'abscisse [math],[math], [math] et [math] soient cocycliques.

Soit [math] un point à l'intérieur d'un cercle de rayon [math],[math] une droite passant par [math] et [math] la perpendiculaire à [math] en [math]. On fait tourner les droites [math] et [math] d'un angle [math] autour de [math]. Montrer que quelle que soit la position du point [math], l'aire balayée par [math] et [math] à l'intérieur du cercle (qui a la forme d'une croix) vaudra [math].
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2015, 18:24

Pafnouti42 a écrit :[math].

Heum… Tu donnes ton angle en degrés, je suppose du coup ? x)
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 juil. 2015, 18:26

Oui :oops: Réflexe de gentil collégien qui aime la géométrie élémentaire :mrgreen:
Enfin peu importe pour l'exo, il faut juste montrer que quelle que soit la position de P c'est comme si on l'avait mis au centre, d'ailleurs je vais rajouter une image parce que je suis pas sûr que l'énoncé soit clair comme ça...
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2015, 18:27

Si, si, j’ai pour ma part bien compris…
C’est drôle, ça paraît hyper intuitif, mais ça a l’air un peu plus… sale à démontrer ! :o
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 juil. 2015, 18:29

Pas si sâle que ça justement :wink:

Voici une illustration si jamais :
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Re: Géométrie analytique

Messagepar MeIdmry » 30 juil. 2015, 19:52

Attention, spoil pour ceux qui cherchent les exercices, ne pas lire le cas échéant :mrgreen:

J'ai trouvé une solution intéressante pour le 1er. En regardant l'intersection du cercle passant par [math] (non alignés car une droite et une parabole s'intersectent en au plus 2 points) d'équation [math] et de la parabole, on trouve l'équation [math]

Si [math] sont cocycliques alors ce sont les racines de ce polynôme dont le terme en [math] est nul, donc [math].

Réciproquement, si [math], on note [math] la quatrième solution de l'équation. D'après ce qui précède, [math], en particulier [math] est réelle. Comme [math], on a [math].
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 juil. 2015, 22:36

Bravo :)
C'est exactement la solution qui était attendue !
Pour la réciproque, quand on m'avait posé l'exo, je n'avais pas raisonné par unicité : on peut s'en sortir sans mais ça devient moins joli, j'avais bidouillé avec le théorème de Ptolémée je crois :roll:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 16 août 2015, 00:09

UP :o !

Parce que le cerveau de Vanxoo_ s'est tout juste réveillé :mrgreen:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 16:49

UP :o ! Plus d'excuse de cerveau en veille, Vanxoo_ :!:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 17:01

Maintenant j'ai l'excuse de bientôt la rentrée :mrgreen:
Non, en fait je l'ai cherché un peu, j'ai pas trouvé, et je m'y suis pas trop remis depuis. Je réessaierai quand j'aurais l'envie ^^
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 18:14

Indication (spoiler) : voir ce qui se passe quand on fait tourner la croix d'un tout petit angle [math] !
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 18:16

…attends, tu t’y connais en calcul diff ou tu comptes nous la faire à la physicienne, là ?! :evil:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 18:20

Milton a écrit :…attends, tu t’y connais en calcul diff ou tu comptes nous la faire à la physicienne, là ?! :evil:

Je compte la faire à la physicienne :oops:
Justement je comptais sur vous pour savoir comment rédiger proprement ce type de raisonnement :mrgreen:
(après il y a aussi une solution non physicienne avec du découpage niveau 4e mais elle est un peu chiante)
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 18:26

Bon, alors à la physicienne, j’ai un peu la flemme de le faire je t’avouerai mais je vois ce que tu comptes faire, un DL1 de l’aire balayée et considérer un θ très petit que tu vas appeler « dθ » et pour lequel tu considéreras que dθ² = 0, et arriver à la valeur de dS souhaitée pour pouvoir ensuite intégrer. C’est le genre de raisonnements que tu vas faire en physique pendant deux ans, par exemple pour prouver des trucs comme la loi des aires sous sa version forte, en sup’ ; pour calculer le champ électrique d’un dipôle ou encore pour établir l’équation dite « des télégraphistes ».

Il me semble qu’il y a derrière tout cela une théorie mathématique correcte de « calcul infinitésimal », mais je ne la connais pas (et M. Brevet non plus). En tout cas, ce n’est pas simplement du calcul diff, et je ne me risquerai pas en maths à faire ce genre de raisonnement sans avoir plus étudié le sujet. Du coup, je veux bien la démo niveau 4e ! :P
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 18:31

Ah mince, je trouvais le raisonnement joli même si je ne savais pas comment le rendre rigoureux (= définition de la physique ?) :roll:

Voici un pdf avec la solution 4e et la solution analytique pour ceux que ça intéresse. Sinon c'est quoi l'équation des télégraphistes ?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 18:34

Ben c’est sale de « négliger » quelque chose en maths… :roll:

L’équation des télégraphistes, c’est une très jolie modélisation du câble coaxial. Wikipédia est ton amie ! :)
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 18:37

Et sinon y a pas moyen de le faire de manière dégueulasse en calculant l'aire directement en fonction de la position de P ? (en se mettant sur le cercle unité et en supposant que les droites sont parallèles/perpendiculaires aux axes pour simplifier un peu les calculs) ? Vu qu'obtenir une expression n'a pas l'air bien compliqué, après il faut montrer qu'elle est constante ce qui est sans doute plus dur... En dérivant en fonction de x puis de y ptetre ?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 18:38

J'avais essayé comme ça, mais je n'avais (et n'ai toujours pas) les outils d'intégration nécessaires :?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 18:41

Sans intégrale ça marche pas ? Genre on calcule la position des 8 points d'intersection (4 sont simples vu qu'on suppose nos droites bien droites, pour les 4 autres faut juste trouver l'équation des droites "décalées"), puis on découpe chaque bout en un triangle plus un bout de disque, on calcule l'aire du triangle avec la formule qui la donne en fonction des côtés, puis celle du bout de disque, et on somme le tout ?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 29 août 2015, 18:48

Comment tu fais pour le bout de disque ?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 19:02

Avec une jolie intégrale, non ? :roll:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 21:00

Aire d'une section circulaire moins aire d'un triangle ça devrait marcher
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:34

Ce n'est pas tout-à-fait une section circulaire, justement...
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 21:51

Oui je sais, mais on considère la section formée par les deux points sur le cercle reliés au centre, le triangle n'est pas le même mais le "bout" ne change pas... (ceci dit il faut retrouver l'angle, ce qui doit se faire vu qu'on a les coordonnées des 3 points mais ça rajoute encore des calculs)
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 21:55

Ça devient méchamment calculatoire... :?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Vanxoo_ » 29 août 2015, 22:41

Ouais, c'est pour ça que je disais que c'était dégueulasse... mais il me semble que ça devrait marcher, à la limite avec un logiciel de calcul formel pour pas se tromper :mrgreen: Enfin dans tous les cas la solution de Pafnouti est mieux, mais je sais pas du tout manipuler ça ^^
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 29 août 2015, 22:43

Ben tu négliges tout ce qui dépasse l’ordre 2 dans les DL, et sinon ça marche comme les dérivées : d(f(x)) = f’(x) dx, d(f(x) + g(x)) = d(f(x)) + d(g(x)), d(fg(x)) = f(x)d(g(x)) + g(x) d(f(x)), etc. :mrgreen:
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Sketshup » 30 août 2015, 01:50

Ma solution:

[math] est fixe, ainsi que [math] et [math]. [math] sont les 4' longueurs qui séparent [math] du cercle (ces longueurs définissent à fortiori la distance [math], qui, elle même, sans perte de généralité, définit [math], mais ce n'est pas important pour la suite, juste bon à remarquer). On pose [math] la somme de leurs carrés.

[math]: l'aire balayée usant l'angle [math]. Remarquons que:

[math] représente la surface balayée avec l'ange [math]. Cette quantité représente l'aire balayée avec u, plus une certaine quantité. On considère l'un des 4 "bouts", le bout de [math], par exemple. du étant suffisamment petit, la corde qu'il définit est vue comme un segment de direction perpendiculaire à [math]. La surface de ce bout est donc [math] (utilisant le fait que [math] pour du suffisamment petit). Finalement: [math].

Cela mène à [math] , ou encore, sachant [math], à [math].

Sachant [math], on obtient: [math], ou encore [math]

Sauf erreur.
Dernière édition par Sketshup le 30 août 2015, 13:16, édité 1 fois.

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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 août 2015, 08:31

Cela me semble bon, mais il y a un moyen plus rapide de montrer que [math] en se plaçant dans un repère de centre P...

Sinon, Sketshup, pourrais-tu essayer d'utiliser les balises

Code : Tout sélectionner

[latex]

et

Code : Tout sélectionner

[/latex]


autour de tes formules stp :wink: ?
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Miltøn » 30 août 2015, 08:37

Heum… comme tu ne mets pas de délimiteurs autour de tes fractions, c’est assez difficile à suivre, et il te manque un 2 : « Cela mène à dP = 1/2K.d(u) ».

Sinon, c’est physiquement correct. En maths, il faudrait rendre plus propre (mais c’est faisable) ces histoires de direction perpendiculaire et de tan(du) = du (attention, en France, la tangente, c’est tan, pas tg…), et surtout avoir une véritable théorie qui te permette de faire ces calculs…
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Re: Géométrie analytique

Messagepar Sketshup » 30 août 2015, 13:00

Ma plus grande flemme dans les forums est de:

1-Poster.
2-Une fois décidé à poster: le faire en LaTeX. Je tâcherai d'éditer mon post.


Pour commenter le calcul de K, mon approche, du moins, ce que je voulais faire de tête, c'est prouver qu'il s'agit d'une application linéaire. Après, le coefficient, il s'est montré tout seul. Je me suis dit "Si j'ai le coefficient, tant mieux, je connais la valeur de P en un point non nul, je m'occuperai de trouver sa valeur plus tard".

Sinon, le problème est sympa, c'est vrai.

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Re: Géométrie analytique

Messagepar Pafnouti42 » 30 août 2015, 16:39

Sketshup a écrit :Sinon, le problème est sympa, c'est vrai.

Merci :D

Et re-merci pour avoir édité ta solution en latex, c'est quand même plus lisible !
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