Petits exos de Csdo

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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 15 août 2015, 19:18

Vanxoo_ a écrit :
Milton a écrit :Tu n'utilises pas vraiment les parties entières avant la sup de toute façon... :roll:

Ah, mais si: c'est l'exemple officiel de fonction non continue :mrgreen:

Moi j'avais la fonction signe.

Puis bon, une fonction non continue, ça n'existe pas en terminale ! :D Éventuellement non dérivable, mais c'est rare (aaah le théorème de prolongement [math] version pré-bac... :evil: )! ^^
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Vanxoo_ » 15 août 2015, 19:28

Milton a écrit :Puis bon, une fonction non continue, ça n'existe pas en terminale ! :D Éventuellement non dérivable, mais c'est rare

Bien pour ça qu'il faut un exemple histoire de montrer que ça sert quand même à quelque chose :P
Non dérivable, à part la racine et la valeur absolue en 0 je crois pas en avoir eu
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 15 août 2015, 19:33

Je me souviens de pas mal d'exercices avec des fonctions du type [math], on utilise les formules et dérivées usuelles pour dire quelle est dérivable sur [math] de dérivée [math] qui « admet une valeur » en 0 donc (!) la fonction est dérivable sur [math]... :roll :
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 16 août 2015, 00:08

Milton a écrit :
Csdo a écrit :
Pafnouti42 a écrit :[math] et [math] ne sont jamais des entiers.


Hum ... :roll:

Oui, bon, tu l'as compris ! X)


Merci :o !
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 16 août 2015, 00:36

Trouver un ensemble A constitué de 10 entiers strictement positifs tel que : pour tout sous ensemble de A de 6 éléments, la somme de ces six éléments n'est pas divisible par 6.
Peut-on remplacer 10 par 11 ?

On prend cinq nombres congrus à 1 modulo 6 et cinq congrus à 0 pour répondre à la première question.
La réponse à la deuxième question est à mon avis non, mais je n'ai pas d'idée de démo pour l'instant.
J'aurais bien dit que ça puait le principe des tiroirs, mais quelque chose m'étonne, c'est que la proposition plus générale "il n'est pas possible de trouver un ensemble A de [math] éléments tels que tout sous-ensemble de A de [math] éléments vérifie ce qu'il faut" ne me semble pas vraie dans le cas général :?

Montrer que pour tout [math], le réel [math]est un entier impair.

Sâle. Je cherche joli. Je passe sous un tunnel.
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Csdo » 17 août 2015, 10:44

C'est possible que ça soit sale, c'est un exo dont j'ai pas la correction :lol: Et la plupart des trucs qu'on trouve pour préparer l'entrée en sup, c'est du calcul, du calcul et encore du calcul.
Les derniers exos (les non corrigés), c'est des DS pour tester le niveau des étrangers qui rentrent en sup à LLG :wink:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Csdo » 17 août 2015, 10:49

J'en met encore un autre, mais prend ton temps hein ^^

Trois urnes contiennent des billes et chaque urne est suffisamment grande pour contenir la totalité des billes. On autorise l'opération suivante: doubler le nombre de billes dans une urne en prélevant les billes nécessaires dans une des autres urnes.
Montrer qu'il est possible, par une succession d'opérations, d'obtenir, quelle que soit la configuration initiale, une situation dans laquelle une des urnes est vide.
Dernière édition par Csdo le 17 août 2015, 11:50, édité 1 fois.
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Kennedjiro » 17 août 2015, 10:57

Csdo a écrit :J'en met encore un autre, mais prend ton temps hein ^^

Trois urnes contiennent des billes et chaque urne est suffisamment grande pour contenir la totalité des billes. On autorise l'opération suivante: doubler le nombre de Montrer qu'il est possible, par une succession d'opérations, d'obtenir, quelle que soit la configuration initiale, une situation dans laquelle une des urnes est vide.

Il manque quelque chose. :|
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Csdo » 17 août 2015, 11:21

En effet, je modifie dès que je revois mon ordi passer devant moi
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Csdo » 17 août 2015, 11:50

C'est le bon énoncé maintenant :)
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar tphi » 18 août 2015, 17:21

Milton a écrit :Je me souviens de pas mal d'exercices avec des fonctions du type [math], on utilise les formules et dérivées usuelles pour dire quelle est dérivable sur [math] de dérivée [math] qui « admet une valeur » en 0 donc (!) la fonction est dérivable sur [math]... :roll :


Moi j'aime bien la version

"Il y en a, ils dérivent, et ils disent "c'est dérivable car j'ai pu dériver". Eh bien moi, je vais vous mettre des baffes, et j'ai le droit, car j'ai pu vous en mettre !"
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Kennedjiro » 18 août 2015, 17:28

tphi a écrit :
Milton a écrit :Je me souviens de pas mal d'exercices avec des fonctions du type [math], on utilise les formules et dérivées usuelles pour dire quelle est dérivable sur [math] de dérivée [math] qui « admet une valeur » en 0 donc (!) la fonction est dérivable sur [math]... :roll :


"Il y en a, ils dérivent, et ils disent "c'est dérivable car j'ai pu dériver". Eh bien moi, je vais vous mettre des baffes, et j'ai le droit, car j'ai pu vous en mettre !"

C'est de quel prof ça ? :lol:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Csdo » 18 août 2015, 17:53

Kennedjiro a écrit :
tphi a écrit :
Milton a écrit :Je me souviens de pas mal d'exercices avec des fonctions du type [math], on utilise les formules et dérivées usuelles pour dire quelle est dérivable sur [math] de dérivée [math] qui « admet une valeur » en 0 donc (!) la fonction est dérivable sur [math]... :roll :


"Il y en a, ils dérivent, et ils disent "c'est dérivable car j'ai pu dériver". Eh bien moi, je vais vous mettre des baffes, et j'ai le droit, car j'ai pu vous en mettre !"

C'est de quel prof ça ? :lol:


Ça ressemble au prof des MPSI2 :shock:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar tphi » 18 août 2015, 18:18

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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 31 août 2015, 14:16

Pour relances la discussion, l'exo [math] m'a fait pensé à un autre exo assez subtil que voici :

Montrer que pour tout entier [math],

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\dots \sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}}} < 3$$


Bonne chance :D
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 31 août 2015, 15:07

Qui dit mieux ?
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar tphi » 31 août 2015, 15:07

M
I
E
U
X
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 31 août 2015, 15:07

Pffffff t'es au-dessus 8)
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Vanxoo_ » 31 août 2015, 15:08

tphi a écrit :M
I
E
U
X

Some people just want to watch the world burn.
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar tphi » 31 août 2015, 15:08

J'ai moins de vie que vous !
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 31 août 2015, 16:07

Hé non pas de flood ici ! :evil:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar tphi » 31 août 2015, 16:07

Si si
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Pafnouti42 » 31 août 2015, 16:07

Tu as raison, revenons à l'essentiel :mrgreen: :
Montrer que pour tout entier [math],

$$\sqrt{2\sqrt{3\sqrt{4\sqrt{\dots \sqrt{(N-1)\sqrt{N}}}}}} < 3$$
2017 - : ENSTA ParisTech
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 31 août 2015, 16:31

(ce qui implique trivialement que cette suite a une limite, d’ailleurs…)
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Sketshup » 31 août 2015, 17:45

Ma solution:

On pose [math] la suite des racines que Pafnouti vient de citer et que j'ai la flemme de réécrire. Récursivement, ça donne:

[math](Racine 2^n-ème (je ne sais pas l'écrire en Latex)[math]

On prouve que cette suite est majorée par 3. Mes lignes sont affreusement mal rédigées, mais j'espère que l'approche est claire, et qu'avec 10 minutes supplémentaire d'implémentation / vérification ce sera complet.

En utilisant AM-GM (Je pense qu'on l'appelle par ici inégalité arithmético-Géométrique, un truc comme ça) d'ordre [math], avec le [math]. On obtient: [math].

Cela mène à:

à partir d'un [math] suffisamment grand [math] vu que l'exponentiel colle une grosse baffe au polynôme.

Par récurrence à partir du N suffisamment grand sur l'hypothèse [math], on obtient alors:

[math]

La conclusion de la majoration par 3 voulue s'en suit rapidement pour tout n suffisamment grand. Puisque [math] est strictement croissante, la conclusion s'en suit pour tout n entier strictement naturel.

Sauf erreur.

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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Vanxoo_ » 31 août 2015, 17:57

Hum, t'as pas initialisé ta récurrence ou je me trompe ? (vu que rien ne prouve que pour ton N suffisamment grand, [math] (même si ce N se calcule explicitement et que tu peux sûrement trouver numériquement [math]))
Et comment tu passes de [math] à [math] ?

Et sinon racine 2^n ieme =

Code : Tout sélectionner

\sqrt[2^n]{...}
:wink:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Sketshup » 31 août 2015, 21:29

Pour le passage, c'est en discutant l'ordre du dénominateur vs le numérateur (d'où j'ai mal rédigé) qu'on trouve que pour un N suffisamment grand, l'inégalité devient vraie. Ce qui est joli, c'est que ce N n'est pas hors de portée. On joue avec une inégalité à un degré de liberté avec une contrainte bien définie. Une partie de calcul plus ou moins moche détermine ce N. L'initialisation est ainsi réalisée. Je ne sais pas si je me suis assez bien expliqué. Si non, je réexpliquerai avec plaisir.

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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Vanxoo_ » 31 août 2015, 21:40

Pour l'initialisation pas de problème je vois comment la faire, par contre je t'avoue que pour le passage comme tu dis je te suis pas du tout, je veux bien que tu réexplique :mrgreen:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Sketshup » 31 août 2015, 21:54

La limite d'un quotient se joue sur la nature du numérateur et le dénominateur. ça se joue comme ça:

le logarithme est le plus faible, vient le polynôme, vient l'exponentiel, vient le factoriel, vient n^n. Lors d'une limite d'un quotient entre deux de ces 5, c'est généralement le plus fort qui l'emporte. On en tire rapidement la conclusion qu'il existe un N suffisamment grand pour que le quotient soit plus grand que n'importe quelle valeur choisie. (Par la définition de la limite à l'infini qui égale l'infini).

Puisqu'on a polynôme vs exponentiel, on fait pratiquement la même chose.

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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 31 août 2015, 22:13

Ça se formalise en revenant à la définition d’une limite ! :wink:
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Vanxoo_ » 31 août 2015, 22:27

Non, ça j'avais compris quand même, ce qui me gêne c'est ce que j'ai dis en dernier dans mon avant dernier message ^^
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Mamoun » 21 mai 2017, 17:22

Spoiler :

Trouver toutes les fonctions [math] telles que : [math]

Soit P(x,y) l assertion [Rendering math]f(x)f(y) = f(x) + f(y)
P(0,0) donne [Rendering math]f(0)^2=2f(0) donc f(0)=0 ou f(0)=2
Si f(0)=0 alors P(x,0) implique[Rendering math]f(x)=0 pour tout x
Si f(0)=2 P(x,0) donne[Rendering math]f(x)=2 pour tout x

Trouver le plus petit [math] tel que : [math]

En posant [Rendering math]a=b=c=1 On trouve [Rendering math]k\leq 3
On montre que [Rendering math]k=3 fonctionne.
C est a dire [math]
Qui se réecrit [Rendering math]a^2+b^2+c^2 \geq ab+ac+bc ou encore [math] qui est triviallement vrai .
( Sinon ca se fait en une ligne avec Causchy Swartz mais je crois que c hors programme TS en france^)

Milton a écrit :Question subsidiaire : quel est l’angle formé par deux liaisons C-H dans la molécule de méthane ? :wink:

109 et des broutilles si mes souvenirs sont bons?

Montrer : [math]

Supposons le contraire
Cela voudrait dire qu il existe un entier naturel a tel que
[Rendering math]\lfloor \sqrt[3]{7n+2} \rfloor \leq a < \lfloor \sqrt[3]{7n+3} \rfloor ou [Rendering math]\lfloor \sqrt[3]{7n+2} \rfloor < a \leq \lfloor \sqrt[3]{7n+3} \rfloor
Dans tous les cas ca voudrait dire que [Rendering math]a^3=1,2[7] ce qui est absurde.



On place [math] points [math] dans le plan de manière à ce que 3 points ne soient jamais alignés. Montrer qu'il est possible de relier chaque point [math] à un unique point [math] de manière à ce que les [math] segments ainsi tracés ne se coupent pas.

On peut relier les points n'importe comme on veut puis on se met à décroisser les segments ainsi formés. On note S la distance totale des segments formés par ces points. A chaque étape S décroit strictement et suffisamment et S est borné ( la distance est minimale quand il n y a pas de croisements) donc à un moment on arrivera à la configuration souhaité
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Almar » 21 mai 2017, 17:46

Tu n'avais pas de la philo à faire ? :roll:
Spoiler :

C'est juste à ceci près que :
- Pour le méthane, la valeur exacte est attendue (se fait directement avec la question précédente)
- Pour le dernier, tu aurais pu être un peu plus rigoureux en justifiant un minimum le fait les distances sont plus courtes lorsque les segments ne se croisent pas. Aussi ton argument ne marche que parce qu'il y a un nombre finis de configuration, et il faut le dire ! (ça peut te paraître anecdotique, mais c'est très important la rigueur dans la rédaction, tu comprendras sûrement après le premier DS de math quand tu verras le nombre de points perdus bêtement :P )
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Mamoun » 21 mai 2017, 18:00

Almar a écrit :Tu n'avais pas de la philo à faire ? :roll:
Spoiler :

C'est juste à ceci près que :
- Pour le méthane, la valeur exacte est attendue (se fait directement avec la question précédente)
- Pour le dernier, tu aurais pu être un peu plus rigoureux en justifiant un minimum le fait les distances sont plus courtes lorsque les segments ne se croisent pas. Aussi ton argument ne marche que parce qu'il y a un nombre finis de configuration, et il faut le dire ! (ça peut te paraître anecdotique, mais c'est très important la rigueur dans la rédaction, tu comprendras sûrement après le premier DS de math quand tu verras le nombre de points perdus bêtement :P )

La philo peut attendre :P
Justement sur le dernier exo j avais tiqué sur le décroit suffisament mais j ai eu la flemme de montrer qu elle décroit d'au moins un petit epsylon à chaque fois pour prouver qu elle atteint bien sa valeur minimale ( sinon elle peut décroire de 1/2 puis 1/4 puis 1/8 et ainsi de suite et ne jamais atteindre la borne qu on voulait :roll:
Sinon on peut le faire par récurrence en prenant deux points adéquats pour l'hérédité ( jouer un peu sur le principe de l extremum on prend le point F qui minimise les oordonées puis si égalite celui qui minimise les absicces , puis le point P qui minimise les oordonées puis si égalite qui maximise les abscices , on peut donc sans difficulté prouver que les autres segments formés ne coupent pas le segment FP puis utiliser l hypothese de récurrence pour clore
P.S je me suis jamais interessé à la géometrie dans l'espace et ce n est pas au programme donc l'histoire de la sphere circonscrite au tétraede je n y pige pas grand chose :?
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 23 mai 2017, 22:09

Allez, maintenant tu viens faire mes exos. <3
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Mamoun » 24 mai 2017, 00:57

Lesquels? :P
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Re: Petits exos de Csdo

Messagepar Miltøn » 28 mai 2017, 21:53

Boah, j’en ai écrit pas mal dans les pages qui précèdent. :)
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