Exos pour les futurs bizuths

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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 22 juil. 2017, 01:39

Ah ouais c'est bourrin quand même ...
Non cdso je disai que l'astuce avec la fonction f ne marchait pas directement en fait ...
Bon si vous en avez d'autres je suis quand même preneur !
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Mamoun » 22 juil. 2017, 14:08

Amuse toi avec le 3 Zrun !
( 2 personnes sur 615 ont réussi à le faire mais bon :mrgreen: )
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 22 juil. 2017, 16:00

Haha j'ai suivi l'IMO en direct ...
Bravo pour ta mention !!
Perso, j'ai trouvé P1 et P2 et après j'ai pas teste la géométrie et je voit que tu as l'air de l'aimer autant que moi ...
Le P5 est sympa aussi , j'aime ce type d'exos
P3 est infaisable et P6 un peu moins infaisable mais tres tres dur ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Mamoun » 22 juil. 2017, 17:27

Merci^^^.Ma copie du p4 a été égarée et y avait que la moitié... Je l ai tout simplement laisse sur la table avec le p5 et j ai raté un bronze facile !
Bravo si tu as fait le p2 en entier! Vraiment peu de gens y sont arrivés
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Pafnouti42 » 22 juil. 2017, 20:40

Mamoun a écrit :Ma copie du p4 a été égarée et y avait que la moitié... Je l ai tout simplement laisse sur la table avec le p5 et j ai raté un bronze facile !

C'est drôle parce que j'ai l'impression qu'il y a toujours des couilles de ce type avec l'équipe marocaine :roll:
Mais bon bravo à toi :)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Mamoun » 22 juil. 2017, 23:33

Merci! Malheureusement c est pas de chance mais pas grave! À toi de faire le 3 maintenant:p.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Pafnouti42 » 23 juil. 2017, 08:25

Hum, la combinatoire n'est pas ma spécialité...Mais ce problème est vraiment sympa et donne envie d'être cherché :)
Je préfère plutôt essayer le 6, il m'intrigue :P
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 23 juil. 2017, 10:12

Ah ouais, c’est vicieux celui où il faut paramétrer avec un cosh… o.o
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Qu’est-ce qui est jaune et qui va pas fermer ?

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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 23 juil. 2017, 14:31

Milton tu n'aurais pas quelque exos sous la main ? Même si ils sont un peu durs , ca m'intéresse ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 24 juil. 2017, 21:20

Heu là, sans beaucoup plus d’outils que ce que tu as déjà, pas vraiment non… :|

Enfin essayons quand même, même s’il est probable que cet exo soit déjà passé. On se donne un ensemble A et une application f croissante de P(A) dans lui-même P(A) (au sens de l’inclusion). Démontrer que f possède un point fixe.
On se donne alors deux ensembles E et F, et deux injections g et h, respectivement de E dans F et de F dans E. Construire une bijection de E sur F.
Si l’on suppose maintenant que g et h sont deux surjections, peut-on construire facilement une bijection de E sur F ?

Et, n’étant pas sûr d’être très présent les prochains jours, je donne un spoiler pour la première question :
Spoiler :

Cette question se résout de la même façon que la suivante, plus connue : soit f une application croissante de [0,1] dans [0,1] ; démontrer que f possède un point fixe.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 24 juil. 2017, 21:52

Miltøn a écrit :Heu là, sans beaucoup plus d’outils que ce que tu as déjà, pas vraiment non… :|

Enfin essayons quand même, même s’il est probable que cet exo soit déjà passé. On se donne un ensemble A et une application f de P(A) dans lui-même P(A) (au sens de l’inclusion). Démontrer que f possède un point fixe.
On se donne alors deux ensembles E et F, et deux injections g et h, respectivement de E dans F et de F dans E. Construire une bijection de E sur F.
Si l’on suppose maintenant que g et h sont deux surjections, peut-on construire facilement une bijection de E sur F ?

Et, n’étant pas sûr d’être très présent les prochains jours, je donne un spoiler pour la première question :
Spoiler :

Cette question se résout de la même façon que la suivante, plus connue : soit f une application croissante de [0,1] dans [0,1] ; démontrer que f possède un point fixe.


Spoiler :

L'indice que tu donne n'a pas l'air d'aider beaucoup, personnellement pour la question plus connue j'étudie f(x)-x et j'utilise le TVI x)


EDIT : D'ailleurs il manque un mot dans l'énoncé non ?
Dernière édition par thuiop le 24 juil. 2017, 21:54, édité 1 fois.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 24 juil. 2017, 21:54

Spoiler :

Tu l’as fumée, la continuité de f ?
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 24 juil. 2017, 21:55

Miltøn a écrit :
Spoiler :

Tu l’as fumée, la continuité de f ?

Spoiler :

C'est vrai, je confonds :mrgreen:
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Csdo » 24 juil. 2017, 21:57

Miltøn a écrit :Heu là, sans beaucoup plus d’outils que ce que tu as déjà, pas vraiment non… :|

Enfin essayons quand même, même s’il est probable que cet exo soit déjà passé. On se donne un ensemble A et une application f de P(A) dans lui-même P(A) (au sens de l’inclusion). Démontrer que f possède un point fixe.
On se donne alors deux ensembles E et F, et deux injections g et h, respectivement de E dans F et de F dans E. Construire une bijection de E sur F.
Si l’on suppose maintenant que g et h sont deux surjections, peut-on construire facilement une bijection de E sur F ?

Et, n’étant pas sûr d’être très présent les prochains jours, je donne un spoiler pour la première question :
Spoiler :

Cette question se résout de la même façon que la suivante, plus connue : soit f une application croissante de [0,1] dans [0,1] ; démontrer que f possède un point fixe.


Spoiler :

f est supposée croissante ou pas forcément ?
CSDO 12-13
MP3 -> MP* -> MP* -> Supelec Gif

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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 24 juil. 2017, 21:58

Spoiler :

Après, cela fait partie des nombreux résultats dans R que l’on peut démontrer soit avec des hypothèses de croissance, soit des hypothèses de continuité, mais bien souvent de façon très différente. Je me suis souvent demandé si cela avait un lien avec le fait que la topologie de R découle de sa relation d’ordre…


CSDO : corrigé. Il manquait un mot dans la phrase, la parenthèse arrivait un peu comme un cheveu sur la soupe du coup… :P
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 25 juil. 2017, 03:57

Désolé pour la rédaction par avance ...
Spoiler :

Montrons d'abord qu'il existe une borne inférieure pour tout ensemble non vide d'éléments de P(A).
Soit X un tel ensemble . Notons I l'intersection sur les e dans X des e.
Alors I minore trivialement X donc en particulier l'ensemble des minorants de X est non vide.
Soit m un minorant de X, alors pour tout e dans X, m est inclu dans e et donc a fortiori m est inclu dans I.
Ainsi, I est le plus grand des minorants de X.

Notons désormais E={x dans P(A)/f(x) inclu dans x}.
E est non vide car A appartient à E. On note donc e=inf E qui existe d'après le paragraphe précédent .
Montrons que f(e)=e .
D'une part, pour tout x dans E, e est inclu dans x donc f(e) est inclu dans f(x) par croissance de f. Par suite, f(e) est inclu dans x car par définition de E f(x) est inclu dans x.
Ainsi, f(e) minore E et donc f(e) est inclu dans e puisque e est le plus grand des minorants de E.
Mais alors f(f(e)) est inclu dans f(e) par croissance et donc f(e) est dans E. Ainsi, e est inclu dans f(e) .
Par double-inclusion , f(e)=e.

Au vu de l'énoncé, il faut utiliser ce résultat pour la question d'après ?
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 25 juil. 2017, 11:12

Très bien. Je suppose que tu vois le lien avec le spoiler du coup? :)
Par contre je ne vois pas pourquoi tu démontrer que l'intersection d'une famille d'ensembles est sa borne inf...
Tu peux utiliser cette question pour la suite en effet, même s'il existe d'autres preuves (bien moins élégantes ^^).
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 25 juil. 2017, 13:03

Oui je viens de lire le spoiler et effectivement oui...
Du coup, on tient en fait une démonstration qui tient pour tout ensemble ordonnée et qui admet une borne inf , un treuilli je crois donc ...
Et bien j'ai démontré que la borne inférieure existe toujours , ce qui n'est pas le cas pour tout les ensembles, par exemple, avec une relation de divisibilité dans un sous-ensemble d'entiers premiers entre eux deux à deux, et ne contenant pas 1, on a même pas de minorant, donc pas de borne inférieure bien-sûr ...
Pour la deuxième partie, alors ma démarche , qui ne semble pas marcher c'est de me dire qu'on doit créer une fonction f de P(E) dans lui-même , et qui utilise les fonctions g et h . Du coup , j'ai pensé à poser pour toute A dans P(E), f(A)=h(g(A)) , qui est me semble-t-il croissante pour l'inclusion. Mais alors voilà, quid de l'hypothèse de l'injectivité ? Je ne pense pas que f soit l'application à considérer ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 25 juil. 2017, 19:23

Disons que tu peux faire la démonstration sans introduire la notion de borne inférieure, en disant juste
Spoiler :

On considère e l’intersection des x dans E. Si x est un élément de E, alors e est inclus dans x donc f(e) ⊂ f(x) ⊂ x d’où en passant à l’intersection, f(e) ⊂ e.

Au fond, ça veut dire la même chose, mais c’est juste un peu plus rapide à rédiger… ^^

Et sinon, ça s’appelle un treillis, et en effet ça fonctionne pour tout treillis, c’est le théorème de Knaster–Tarski. Attention, pour éviter toute confusion, il faut que la borne inf fasse parti de l’ensemble lui-même (si on prend l’exemple du spoiler en remplaçant [0,1] par ]0,1[, ça ne marche plus.)

En effet, écrire une application de P(E) dans lui-même croissante à partir de g et h est une bonne idée. Reste à voir ce que tu pourrais essayer de faire d’un tel point fixe. Tu obtiendrais, finalement, une partie de A. Quelle propriété voudrais-tu que cette partie vérifie par rapport à tes deux injections pour pouvoir construire une bijection ? :)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 26 juil. 2017, 02:52

Ah bien vu sans la borne inf mais comme j'avais bossé cette notion pour le TFJM^2 , je l'ai réutilisé ...
Oui , effectivement, on a le contre-exemple trivial f:x-> x/2 ...

Ah ben du coup, on veut que l'image par h du complémentaire dans F de g(A) soit exactement le complémentaire de A dans E, pour avoir une bijection de A dans g(A) par f, et une bijection de F\g(A) dans E\A (avec un dessin ça se voit bien) ...
Donc on veut que A=E\[h(F\g(A))] et donc A est un point fixe de f:A->E\[h(F\g(A))] , application de P(E) dans P(E) . On peut vérifier qu'elle est croissante , notamment grâce aux deux passages aux complémentaires .
Donc il existe un point fixe A pour f.
En outre, h est bijective de F\g(A) dans E\A et on note h^-1 sa réciproque .
Et alors la fonction B de E dans F définit par :
- B(x)=g(x) si x est dans A
- B(x)=h^-1(x) sinon
Est bijective par construction .

J'espère que c'est juste , auquel cas je ne pensais vraiment jamais y arriver ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 26 juil. 2017, 10:11

C’est exactement ça. Bravo ! :)
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Qu’est-ce qui est jaune et qui va pas fermer ?

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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 26 juil. 2017, 10:37

Du coup, si tu en as d'autres , je veux bien !
Meme si c'est dur, je suis preneur et pas grave si il faut quelques outils hors-programme, je trouve que d'essayer de les construire soi-même c'est bien mieux pour comprendre l'idée qu'il y a derrière !
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 26 juil. 2017, 19:34

Il reste quand même une petite question. ;)

Tu as déjà entendu parler de déterminants ? Si tu cherches dans le forum, j’ai posé un exo sympa (quoiqu’un peu classique) sur des rugbymen qui forment des équipes.

Sinon, je te propose un grand classique : la construction de R à partir de Q. Donc on admet tous les résultats qu’on veut au sujet de Q, mais l’ensemble R ne peut pas être utilisé pour cet exercice.

Soit (K, +, ×, >) un corps totalement ordonné de neutre 0. On dit qu’une suite u de K « K-converge » s’il existe un ℓ ∈ K tel que pour tout ε ∈ K tel que ε > 0, il existe un n_ε ∈ N tel que ∀ n ⩾ n_ε, ℓ - ε ⩽ u_n ⩽ ℓ + ε. Elle est dite « K-de Cauchy » si pour tout ε ∈ K tel que ε > 0, il existe un n_ε ∈ N tel que pour tous m, n ⩾ n_ε, -ε ⩽ u_n - u_m ⩽ ε.

Être Q-de Cauchy est-il une condition nécessaire pour Q-converger ? Une condition suffisante ?

On note C l’ensemble des suites Q-de Cauchy. Pour deux suites u et v de C, on note u ~ v si la suite u - v converge vers 0. Démontre que ~ est une relation d’équivalence sur Q. Prouve que les opérations sur les suites (+, ×, passage à l’inverse, multiplication externe par un rationnel notée ­·) sont compatibles avec la relation ~. On note u > v la relation « les termes de u sont plus grands strictement que ceux de v à partir d’un certain rang » ; démontre que c’est une relation d’ordre et qu’elle est compatible avec ~.

On note alors R l’ensemble des classe d’équivalence de C par ~. On note ++, ××, ··, //, >>, etc. les lois induites sur R par les précédentes (qui sont donc correctement définies). Démontre que R est une Q-algèbre (je te laisse décrire quels sont les neutres, que l’on note 0_R et 1_R) et qu’elle est totalement ordonnée. Démontre maintenant qu’elle est archimédienne, dans le sens où pour tout x >> 0_R et tout ε >> 0_R, il existe un n appartenant à N_R (c’est-à-dire le sous-ensemble de R que l’on peut identifier à N par les injections canoniques de N dans Q puis de Q dans R) tel que n ×× ε >> x.

Être R-de Cauchy est-il une condition nécessaire pour R-converger ? Une solution suffisante ?
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 26 juil. 2017, 19:56

Classsssiiiiique.
Moi-même j'ai eu ça en colle... mais que la dernière question :mrgreen: (en gros montrer la relation dans R entre suites de Cauchy et suites convergentes, et avec des questions intermédiaires)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 26 juil. 2017, 20:20

Oui, c’est un grand classique, mais je l’assume. J’avoue que je ne connais pas énormément d’exercices non-classiques, intéressants et difficiles… :|
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 27 juil. 2017, 03:23

Ah oui pour la dernière question, et bien non puisqu'on ne peut plus dire que pour toute partie A de E, on a une bijection entre A et f(A) , qui est à la base de la construction de notre fonction ...
Mmmh les déterminants, j'ai vu ça rapidement en terminale en spé maths, j'avais vu la formule générale mais après je pense que c'est un peu faible ...
Je vais aller pas à pas sur ton exo de la construction de R , ça m'a l'air d'être pas évident ... Bien sûr , je suppose qu'on peut pas utiliser l'incompletude de Q , même si on peut utiliser tout ce qu'on veut sur Q?
Une question, les théorèmes sur les suites utilisent implicitement la construction de R non ?
Parce que bon c'est facile de montrer que pour tout corps totalement ordonné K tel que 2 est différent de 0 , une suite K-convergente est K-cauchy . En effet, on fixe un epsilon et on prend epsilon/2 dans la définition de la convergence et on bien l'existence de notre rang ...
Mais du coup, je connais bien des Q-suites qui ne convergent pas dans Q mais qui sont Q-cauchy, par exemple celles dont la limite est e mais du coup c'est bien long à montrer que tout rationnel n'est pas limite de cette suite ... Même le caractère Q-cauchy n'est pas évident mais du coup il doit y avoir des suites plus simples je pense ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 27 juil. 2017, 17:26

Pour la dernière question, on peut quand même conclure dans certains cas. Mais comment ? ;)

Pour les déterminants, j’ai peur que tu aies un peu de mal si tu n’es pas allé plus loin que ça. Il faudrait a minima que tu aies une idée de comment les calculer concrètement (les histoires de sommations de lignes, de décomposition selon une ligne ou une colonne, etc.).

Alors l’incomplétude de Q, justement, c’est l’objet de la première question. La façon dont tu démontres que K-convergent => K-Cauchy est tout-à-fait exacte (en sachant qu’en caractéristique 2, tu auras du mal à avoir un ordre total, et même un ordre tout court :P ). Maintenant, il faudrait trouver une suite Q-Cauchy sans être Q-convergente. Mais dis-moi, as-tu déjà entendu parler de la méthode de Héron ? ;)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 30 juil. 2017, 10:21

Et bien on peut conclure si il existe un point fixe M de f tel que g soit injective de M dans f(M) et h injective de F\f(M) dans E\h(F\f(M)) ...
Je regarderai les déterminants après l'exercice sur la construction de R.
Heu oui, je connais cette méthode mais ça fais un moment que je cherche mais je n'arrive pas à me dépatouiller avec une relation de récurrence ... Prouver qu'elle est Q-de Cauchy demande de considérer beaucoup de différence.
J'ai pris celle avec a=2 et x0=1.
J'avais pensé montrer par récurrence que x_{n+1}-x_n est bornée en valeur absolue par 1/2^{n+1} parce que ça à l'air vrai dans les petits cas et après utiliser des inégalités triangulaires pour arriver à du x_m-x_n mais ca n'aboutit pas ...
Et pour la convergence pareil, avec une relation de récurrence , je vois pas comment montrer qu'elle ne converge pas vers un rationnel .
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2017, 10:32

Ce n’est pas vraiment ce que je veux dire. De façon générale, tu es d’accord que « il existe une injection de E dans F » signifie que F est « plus grand » que E ? On a donc montré que si E est « plus grand » que F et F est « plus grand » que E, alors ils sont « de même taille » (en bijection).
De même, dire qu’il existe une surjection de E dans F, signifie que F est « plus petit » que E. Peut-on montrer facilement que si F est « plus petit » que E et E « plus petit » que F, alors E et F sont en bijection ?

Du coup, tu poses bien x_0 = 1 et x_{n+1} = 1/x_n + x_n/2 ? Si oui, déjà tu devrais pouvoir facilement démontrer (par l’absurde) que ça ne converge pas vers un rationnel. Pour démontrer que c’est de Cauchy, plusieurs approches peuvent être valables, mais notamment tu peux essayer de démontrer une version faible du théorème de la limite monotone qui fonctionnerait dans Q… ;)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 30 juil. 2017, 10:42

Ah je vois et bien dans le cas d'ensemble finis c'est simple. Dans le cas d'un cardinal infini et bien je pense qu'il faudrait que j'y réfléchisse plus !

Oui je medoutais bien qu'il fallait le faire par l'absurde mais je n'ai peut-être pas vu la trivialité de la question, je m'y plonge ....
Euh je vais déjà aller voir je que c'est ce théorème , que je doit connaître sous un autre nom et je vais essayer de voir ça !
Ça semble tellement évident le résultat mais sans R c'est beaucoup plus dur ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2017, 10:52

Le théorème de la limite monotone, c’est celui qui dit qu’une suite croissante et majorée converge (dans R).
Je ne dirais pas que c’est trivial, mais simplement tu dois connaître l’un des plus anciens théorèmes liés à Q, dont on va avoir besoin ici. ;)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 01 août 2017, 04:25

J'avoue que je me sens debile sur le coup , je sais que cette suite converge vers racine de 2 donc je voulais montrer que la suite (un^2) converge vers 2 mais impossible ... Et pour la version faible du théorème de la limite monotone: toute suite de rationnels croissante et majorée est de Cauchy ?
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 01 août 2017, 09:00

Dans R, si f est continue, que peux-tu dire de la convergence d’une suite vérifiant ∀ n ∈ N, u_{n+1} = f(u_n) ?
Pour la version faible du théorème de la limite monotone, c’est bien à ça que je pense.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 01 août 2017, 11:40

Euh si la suite converge vers un réel l alors f(l)=l ...
Mais ici même ce théorème ne peut pas être utiliser puisque l'ensemble R n'est même pas encore existant . Et c'est bien ce qui m'embête dans cet exercice :?
D'accord pour la version faible, reste plus qu'à démontrer :D
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 01 août 2017, 13:23

Moi j'aurais utilisé ce théorème justement.
Edit : après vérification il m'a l'air vrai dans Q il me semble.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 01 août 2017, 15:28

Si l'on peut l'utiliser c'est alors trivial, puisqu'il est très facile de montrer que racine de 2 n'est pas rationnel : par l'absurde , avec on l'écrit p/q avec p et q premiers entre eux et en mettant au carré, on trouve p pair puis q pair , contradiction ...
Cependant, thuiop peut-on parler de fonction continue sur Q, j'avoue que cela m'est inconnu ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 01 août 2017, 16:16

Oui on peut, il suffit de reprendre la même définition que dans R.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 01 août 2017, 16:34

D'accord je le saurais maintenant !!
Donc du coup la démonstration avec ce théorème marche !
Maintenant, il faut montrer la version faible du théorème de la limite monotone ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 01 août 2017, 19:10

Démontre juste que ce théorème fonctionne pour des fonctions continues de Q dans Q.
Quel est le problème à parler de continuité de fonctions de Q dans Q ? Dès que tu as une structure topologique sur deux espaces E et F, tu peux parler de fonctions continues de l’un dans l’autre : est continue une fonction telle que l’image réciproque des ouverts de F est un ouvert de E. Et sur Q, les ouverts sont évidemment les réunions d’intervalles ouverts de rationnels. ;)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 01 août 2017, 19:13

Ce n'est pas si évident que ça a priori : même en sup, on ne parle de continuité que sur R. Evidemment, sur Q ça reste assez simple, mais quand même.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 01 août 2017, 20:13

Ouais, enfin l’introduction à la topologie générale, ça fait partie des trucs à la fois abstraits et pas trop compliqués que tu es assez vite amené à rencontrer quand tu es un peu curieux, non ? :)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 01 août 2017, 20:52

thuiop a écrit :Ce n'est pas si évident que ça a priori : même en sup, on ne parle de continuité que sur R. Evidemment, sur Q ça reste assez simple, mais quand même.

Ah ? Il me semblait qu'on se plaçait dans le cadre "général" de R ou de C. En tout cas en spé tu le verras au sens large dans un EVN.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 01 août 2017, 20:55

Enfin Q n’est pas un EVN au sens où défini en spé, de toute façon… :|
En sup, on parle bien de continuité de fonctions à valeur dans C (ça ne rajoute aucune difficulté), mais pas de fonctions définies sur C par contre.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 02 août 2017, 02:41

Je disais bien sûr que c'était simple en admettant le résultat , désolé pour m'être fait mal compris ...
Sinon, j'ai eu une idée pour montrer la version faible du théorème de la limite monotone, faut juste que je l'écrire au brouillon ... En fait, je prend me fixe epsilon rationnel strictement positif et je considère un majorant M de la suite tel que M-epsilon ne majore pas la suite . Donc il existe un n_epsilon tel que u_n_epsilon > M-epsilon et donc avec la croissance pour tout n>= n_epsilon , M>=u_n>M-epsilon, et on a bien une suite de Cauchy (c'est rapide de conclure)
Mais pour l'existence de M, c'est moins évident, ça ressemble fort à une borne sup mais dans Q je ne pense pas qu'elle existe toujours ....

Edit: Je pense que le théorème du point fixe pour les suites marche bien dans Q, sans changer la démonstration ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 02 août 2017, 12:02

En effet, pour le théorème du point fixe pour les suites, ça fonctionne exactement comme dans R. ^^

Pour le théorème de la suite de Cauchy monotone (comme on va l’appeler ^^), clairement la borne sup n’est pas définie sur Q en général.
En revanche, par l’absurde, s’il existe un ε tel que pour tout n, etc… que peux-tu dire ? ;)
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 04 août 2017, 09:40

Bon un peu d'avancée ...

D'abord, finissons en avec l'incompletude' de Q.
Montrons le théorème de Cauchy monotone:
Soit (u_n) de Q-Cauchy croissante et majorée .
Par l'absurde, supposons qu'il existe e tel que pour tout n dans N , il existe m et l >= n , tels que u_m-u_l >= e ( quitte à échanger) .
On construit alors une suite d'entiers naturels :
Tout d'abord, il existe u_{a_1} tel que u_{a_1}-u-1>=e .
Supposons (a_n) construites jusqu'au rang k-1:
Alors il existe u_{a_k} tel que u_{a_k}-u_{a_{k-1}} >= e et on a construit a_k .
Mais alors une récurrence immédiate donne u_{a_n}>= u_1 + n*e et donc la suite (u_n) n'est pas majorée , contradiction...

On montre évidemment de même le cas décroissant majoré .

Par suite, notre suite de Héron est décroissante et minorée par 1 par exemple et donc elle est de Q-Cauchy ...
Ainsi, il existe des suites Q-Cauchy non Q-convergente.



Poursuivons, en montrant que la relation ~ est une relation d'équivalence :
-Réflexivité : Soit (x_n) dans C. Alors pour tout e>0 et pour tout n dans N, -e<x_n-x_n<e donc (x_n)~(x_n) .
-Symétrie: Soit x,y dans C. Supposons x~y. Alors pour tout e>0, il existe ne dans N, tel que pour tout n>=ne, -e<xn-yn<e et donc -e<yn-xn<e et y~x.
- Transitivité : Supposons x~y et y~z.
Soit e>0 . Alors il existe n1 dans N, tel que pour tout n>= n1 , -e/2 <xn-yn < e/2
De même, il existe n2 dans N , tel que pour tout n>=n2, -e/2 < yn-zn < e/2
Et donc pour tout n >= max{n1,n2} , on a -e < xn-zn < e , et donc x~z.


Avant de poursuivre, montrons que toute suite Q-Cauchy est bornée :
Soit (un) Q-Cauchy.
Alors il existe n dans N tel que pour tout m>= n , -1< um - un <1 donc -1+un < um < 1+un pour tout m>=n , donc la suite (un) est bornée à partir du rang n et elle l'est par suite aussi à partir du premier rang .


Montrons la compatibilité de ~ avec les opérations :
Soit u~v et w dans C.
Alors pour tout e>0, il existe ne dans N tel que pour tout n>=ne, -e <u-v<e et donc -e< (u+w)-(v+w) <e et donc u+w~v+w
En outre, on sait que w est bornée , disons par M.
Soit e>0. Alors il existe n dans N tel que pour tout m>= n, |un-vn|<e/M et donc |wn(un-vn)|<e et donc wu~wv .

Soient u et v dans C telles que u~v et u et v ne s'annule pas à partir d'un certain rang disons n.
Alors pour tout m>=n, 1/um - 1/vm = -(um-vm)/um*vm avec um*vm bornée et on conclut facilement que 1/u ~ 1/v ...
Pour la multiplication externe c'est facile ...

J'écrirai la suite plus tard !! Mais c'est quoi une Q-algebre ? Et aussi la relation > c'est une relation d'ordre strict donc ca vérifie pas les conditions usuelles daine relation d'ordre , du coup il faut le montrer avec la relation large qui s'en déduit je suppose ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar thuiop » 04 août 2017, 10:01

Une K-algebre (où K est un corps) est une structure de la forme (A,+,.,x) où :
-(A,+,.) est un K espace vectoriel
-x est une LCI de A
-x est bilineaire
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 04 août 2017, 12:10

Ce que tu as fait est jusque là très bien. :)
En ce qui concerne les relations d’ordre, à vrai dire la définition dépend des auteurs. Je ne sais plus ce que fait Bourbaki, mais depuis que je suis entré à l’ÉNS j’ai essentiellement vu utiliser des relations d’ordre strict, notamment parce que dans la construction des mathématiques, c’est un chouïa plus intuitif (l’ordre strict entre entiers naturels < correspond à l’inclusion ensembliste ∈, alors que l’ordre large, bof).
Par contre, à la réflexion, ma définition de la relation d’ordre est un peu pourrie puisqu’elle n’est pas compatible avec ~, contrairement à ce que j’annonçais. Donc on va plutôt définir le préordre u⪯v : « les termes de u sont inférieurs à ceux de v à partir d’un certain rang ou u-v tend vers 0 ». Et continuer gentiment.
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Zrun » 04 août 2017, 13:36

Ok pour les relations d'ordres .
En tout cas , je trouve qu'avec cet exercice je comprend beaucoup mieux les suites "abstraites" , c'est à dire qu'on ne sait rien de la valeur de leurs termes, juste quelques propriétés ...
Du coup , ca me fais réfléchir et je me demande en somme si on ne peut pas définir des suites de presque n'importe quoi, juste pour la convergence ça dépendra du coup , il faut un équivalent de valeur absolue . Par exemple, si je me prend deux polynômes , comment je peux définir la distance entre ces deux polynômes ? En prenant un équivalent du module complexe avec les coefficients du polynôme , c'est à dire qu'à l'instar d'avoir un i , on a un X, un X^2 ... En fait, on a presque une similitude entre les polynômes de degré 1 et les complexes , je ne sais pas si on peut mathématiser l'idée mais ça marche un peu pareil ... La question est sans doute stupide mais je trouve ça intéressant ...
De même que vos histoires de continuité dans Q ou dans des espaces ça a l'air vraiment intéressant ...
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Re: Exos pour les futurs bizuths

Messagepar Miltøn » 04 août 2017, 14:15

Ben tu peux définir des suites de ce que tu veux : de nombres réels, de polynômes, de fonctions, de complexes, d’ensembles, de suites, d’arbres, etc. Il n’y a pas besoin, pour définir la notion de suite, de parler de convergence. Une suite, c’est juste une fonction définie sur N, finalement, et rien de plus.
En revanche, il est vrai que l’étude des suites est souvent intéressante quand on regarde les propriétés asymptotiques, et donc en particulier la convergence — d’ailleurs si on ne parle pas de ça, on utilise souvent juste le terme « fonction définie sur N ».
Il existe de très nombreuses façons de parler de convergence. Comme tu le dis, sur les espaces disposant d’une généralisation de la valeur absolue, c’est très simple. En spé, lorsqu’on travaille dans des R-espaces vectoriels, on parle beaucoup de normes : une norme ‖.‖ est une application de E dans R vérifiant trois axiomes :
  • La séparation : ‖x‖ = 0 ssi x = 0
  • L’homogénéité : ‖λ.x‖ = |λ| ‖x‖
  • L’inégalité triangulaire : pour tous vecteurs x et y, on a : ‖x+y‖ ⩽ ‖x‖ + ‖y‖
De cette façon, la convergence se définit exactement comme sur R. Cela couvre de très nombreux cas : les fonctions continues sur un segment (par exemple, on définit comme norme le sup de la valeur absolue), les fonctions de carré intégrable (on peut définir comme norme la racine carrée de l’intégrale du carré), les polynômes (on peut définir comme norme soit le max des valeurs absolues des coefficients, soit leur norme en tant que fonction continue sur un intervalle donné), etc. C’est un peu l’alpha et l’oméga du programme de topologie en spé. Bien entendu, tout cela dépend de ce que tu définis comme norme, mais il est assez facile de démontrer que dans un R-espace vectoriel de dimension finie, toutes les normes définissent les mêmes convergences — on dit qu’elles sont équivalentes.

Ensuite, on peut généraliser cela d’abord un tout petit peu en parlant de distance entre deux points : il n’y a plus besoin d’être sur un espace vectoriel, juste d’avoir un espace X et de définir une application d sur X×X à valeurs dans R⁺ qui vérifie toujours un axiome de séparation (d(x,y) = 0 ssi x = y) et une inégalité triangulaire (d(x,z) ⩽ d(x,y) + d(y,z)). Grosso-modo, tout se passe à peu près comme sur les espaces vectoriels normés, mais ça permet de définir des trucs un peu plus rigolos : distances entre des parties compactes d’un espace vectoriel (ce que l’on appelle la distance de Hausdorff) par exemple. L’on voit bien que si l’on dispose d’une norme sur un EV, on obtient tout de suite une distance.

La dernière généralisation est beaucoup, beaucoup plus violente : elle consiste à définir ce que l’on appelle une topologie. Quand tu disposes d’une distance d, tu peux définir la boule ouverte de rayon r centrée en x (l’ensemble des y de distance STRICTEMENT inférieure à r de x) ou la boule fermée associée (l’ensemble des y de distance inférieure AU SENS LARGE à r de x). Plus généralement, l’on peut parler de notions d’ouverts, c’est-à-dire (pour les EVN) d’ensembles qui ne contiennent aucun point de leur frontière et au contraire de fermés, c’est-à-dire d’ensembles qui contiennent toute leur frontière (et qui sont exactement les complémentaires des ouverts). L’idée de la topologie générale, c’est de dire qu’au lieu de définir une distance, on définit quels seront les ouverts de X, en s’imposant de vérifier des axiomes simples : ∅ et X sont des ouverts ; l’union d’ouverts est un ouvert ; une intersection finie d’ouverts est ouverte.

Ensuite, les notions de convergence et de continuité que l’on connaissait dans R et qui se généralisent très facilement aux espaces normés et métriques sont traduites en termes d’ouverts. Pour la convergence d’une suite, on dit qu’une suite converge vers ℓ si quel que soit l’ouvert U contenant ℓ que l’on choisit, il existe un rang à partir duquel les termes de la suite sont contenus dans U. Pour la continuité de fonctions, on dit qu’une fonction entre deux espaces topologiques est continue si l’image réciproque d’un ouvert est un ouvert.

En revanche, le passage des espaces métriques aux espaces topologiques fait perdre énormément de propriétés. Déjà, on perd toute notion de séparation entre les points : on a tendance à rajouter des contraintes à ce sujet en définissant des axiomes de séparation. Le plus connu est l’axiome de Hausdorff, aussi dit « T2 » : si l’on se donne deux points distincts, il existe deux ouverts disjoints qui les contiennent respectivement. Sans ça, on peut avoir des suites qui convergent vers plusieurs points à la fois par exemple, ou perdre le théorème (pourtant assez fondamental) que si f est continue et que (u_n) converge vers ℓ, alors f(u_n) converge vers f(ℓ). Le niveau le plus pur de séparation, c’est la métrisabilité : le fait, pour une topologie, de découler d’une distance.
Ça paraît un peu sorti de nulle part, mais en réalité la topologie constitue un socle rigoureux absolument fondamental pour beaucoup d’autres disciplines des mathématiques. Aussi bizarre que cela puisse paraître, certains résultats un peu tordus de théorie de la démonstration ou d’informatique théorique peuvent se résoudre en définissant une topologie qui a de bonnes propriétés. Par ailleurs, des notions très importantes de convergence en théorie des probabilités ne pourraient pas être définies proprement sans en passer par là. À titre personnel, la topologie générale fait partie des domaines que je préfères en mathématiques. ^^ Et ce n’est pas pour rien que la topologie générale est le troisième tome des Éléments de mathématiques, de Nicolas Bourbaki.

Évidemment, il existe énormément d’autres notions, qui chacune sert à définir de nouveaux concepts. Par exemple, la topologie est le minimum requis pour parler de continuité, mais on peut aussi définir ce que l’on appelle les structures uniformes, qui sont le minimum requis pour parler de suites de Cauchy.

En revanche, je ne comprends pas vraiment ce que tu racontes sur la similitude entre les polynômes de degré 1 et C. En fait, la similitude la utilisée est celle qui, moralement, consiste à poser X = i, ou plus proprement à dire que C est le quotient (en tant qu’anneau) des polynômes de R par l’idéal engendré par le polynôme (X² + 1), et à appeler i la classe d’équivalence de X dans le quotient. Après, pour la convergence de suites de polynômes de degré 1, on parle souvent de la convergence pour la norme définie sur les polynômes de degré 1 (je dis bien la norme car, comme je le disais plus haut, toutes les normes induisent en réalité les mêmes convergences de suites). Elle correspond en effet au module sur C, mais c’est rare qu’on le voie comme cela. ^^
Ex-khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Bidouilleur-technicien du forum : me taper-dessus en cas de bug.

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