Exos pour les futurs bizuths

[Pafnouti42]

Bon, pas la peine de déterrer un sujet d'il y a 8 ans pour avoir des exos de maths, il suffisait de demander
Je mets donc en pj une fiche avec de nombreux exos que chacun peut chercher comme bon lui semble.
Vous pouvez poster et discuter de vos idées en utilisant la balise tex pour insérer de jolies formules.
Je l'ai dit dans l'avant-propos du pdf mais je le répète, quitte à insister lourdement : ces exos sont difficiles, et c'est tout à fait normal (et même rassurant) de bloquer dessus aujourd'hui (certains sont d'ailleurs en partie issus de khôlles ou de DS).
N'hésitez bien sûr pas à me faire des remarques sur le contenu ou sur la forme (je peux par exemple mettre en spoiler des indications pour chaque exercice), et à en demander d'autres quand vous aurez tout résolu

Bon courage

Exos non tombés au combat : 16, 18 et 19.

[Almar]

Faire ça alors que le bac n'est pas encore passé !
Déjà qu'avec le forum j'ai plus le temps de réviser la philo et l'histoire...

D'ailleurs je crois avoir reconnu l'exo 13, il à l'air de te tenir à coeur

[Pafnouti42]

Faire ça alors que le bac n'est pas encore passé !
Déjà qu'avec le forum j'ai plus le temps de réviser la philo et l'histoire...

Disons que je t'aide à éprouver cette superbe expérience philosophique qu'est le choix

D'ailleurs je crois avoir reconnu l'exo 13, il à l'air de te tenir à coeur

Certes, il illustre très bien le principe de *hé non pas d'indication pour le moment*

[Miltøn]

Disons que je t'aide à éprouver cette superbe expérience philosophique qu'est le choix

C’est totalement surfait, le choix. ZF, c’est plus mieux !

[Pafnouti42]

Disons que je t'aide à éprouver cette superbe expérience philosophique qu'est le choix

C’est totalement surfait, le choix. ZF, c’est plus mieux !

Menfin, on fait avec ce qu'on a

[thuiop]

Ah, une belle présentation en Latex! ça me change de ma prof de physique...

[tphi]

Tiens, le théoreme de Dirichlet a beaucoup changé depuis mon passage en spé

[Miltøn]

…
lequel ? x)

[tphi]

Je n'en connaissais qu'un seul, celui sur les séries de Fourrier

[Dⓐ Яøʊƭ]

Plus au programme...

[tphi]

Wat ?

Ils ont retiré les séries de Fourrier du programme de spé ?

Et les coniques du programme de sup ?

Et les equa diff du programme de TS ?

...Mais POURQUOI vouloir retirer tous ces trucs extrêmement utiles en physique

[Dⓐ Яøʊƭ]

On sait qu'elles existent, mais on ne le traite pas du tout en cours. On dit juste que osef car on peut approximer les fonctions par des séries de Fourier et pour on passe en sinusoïdal.

Sinon les bizuts sachez que certains de ces exos sont tombés à des oraux de l'X ou des ENS, donc ne soyez pas surpris par la difficulté particulièrement vacharde x)

[tphi]

Mouais... dommage quand même.
#Cétaitmieuxdemontemps

[Dⓐ Яøʊƭ]

#AttendsDeVoirLaSuite

[Pafnouti42]

Sinon les bizuts sachez que certains de ces exos sont tombés à des oraux de l'X ou des ENS, donc ne soyez pas surpris par la difficulté particulièrement vacharde x)

En effet le 14 et le 18 sont des X-ENS il me semble, et le 17 tiré du concours général.

[thuiop]

Tout de suite je suis rassuré

[Pafnouti42]

Tu as commencé à en chercher certains ?

[Csdo]

J'ai fait le 1. De tête.

Bon ok, une fois sorti de prépa, on a du le faire 45 fois en cours

[thuiop]

Le 1 ça va (enfin le cas n= 2, le cas général ça me paraît plus dur). Le 2, j'ai une idée de comment ça peut marcher, mais pas sûr de pouvoir le formaliser. Ensuite ça devient plus dur xD Je vais peut-être essayer de faire le 5.

[Pafnouti42]

Le 2, j'ai une idée de comment ça peut marcher, mais pas sûr de pouvoir le formaliser.

Saurais-tu prouver le résultat lorsque [Rendering math]A et [Rendering math]B sont disjoints (c'est-à-dire quand leur intersection est vide) ?

[xammax]

Ouais, les exos sont sympas, merci les anciens de penser à nous

[thuiop]

Le 2, j'ai une idée de comment ça peut marcher, mais pas sûr de pouvoir le formaliser.

Saurais-tu prouver le résultat lorsque [Rendering math]A et [Rendering math]B sont disjoints (c'est-à-dire quand leur intersection est vide) ?

Oui ça c'est facile. C'est juste pour montrer que s'ils ne sont pas disjoints le résultat sera inférieur que je galère.

[Pafnouti42]

Puisque tu sais prouver le cas où A et B sont disjoints, ne pourrais-tu donc pas tenter de te ramener à ce cas là pour le cas général (je sais pas si je suis clair, dis-moi) ?

[thuiop]

Spoiler :

[Afficher]

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En écrivant [Rendering math]P(A)P(B) \le P(A\cap B) + \frac{1}{4} ?

[Pafnouti42]

Non, pas vraiment. Il y a sans doute d'autres moyens de faire, mais voici ce que je voulais dire.

Spoiler :

[Afficher]

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Tu sais que lorsque [Rendering math]X et [Rendering math]Y sont disjoints, on a
$$ P(X)P(Y) \leq \frac{1}{4} $$
Maintenant, tu prends [Rendering math]A et [Rendering math]B deux évènements quelconques.
Tu pourrais essayer d'utiliser ta connaissance du cas pour [Rendering math]X et [Rendering math]Y disjoints en l'appliquant pour X = un truc bien choisi en fonction de A et B et Y = un truc bien choisi en fonction de A et B, en t'arrangeant pour que l'expression obtenue ne soit pas trop loin (ou au pire, supérieure, puisque c'est une inégalité que tu veux) de [Rendering math]P(A)P(B) - P(A\cap B) \leq \frac{1}{4}

[Almar]

il me semble j'ai la solution, je vais essayer de la mettre en latex mais je promet rien

[Pafnouti42]

il me semble j'ai la solution, je vais essayer de la mettre en latex mais je promet rien

Tu ne promets rien pour la solution ou le latex ?
Car si c'est pour la solution, aucun pb, on est là pour discuter.
Si c'est pour le latex que tu as des pb, tu peux aussi mettre ton raisonnement sans la syntaxe latex et on éditera ton message pour le retrasncrire en latex.

[Almar]

Ma solution

[Afficher]

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On commence par prendre le cas où [Rendering math]P(A \cup B) = 1
On a alors : [Rendering math]P(B) = (1-P(A) + P(A \cap B))

L'expression devient :
[Rendering math]P(A)P(B) - P(A \cap B) = P(A)(1 - P(A) + P(A \cap B)) - P(A \cap B)

On développe on obtient :
[Rendering math]P(A) - P(A)^{2} + P(A)P(A \cap B) - P(A \cap B)

Comme [Rendering math]P(A) \in [0,1], alors [Rendering math]P(A)P(A \cap B) - P(A \cap B) est majoré par [Rendering math]0

Du coup on a :
[Rendering math]P(A)P(B) - P(A \cap B) \ \leq \ P(A) - P(A)^{2}

[Rendering math]P(A) - P(A)^{2} étant du second degré, et le monôme de plus haut degré ayant un coefficient négatif, le minimum est atteint en [Rendering math]-b/2a c'est à dire [Rendering math]1/2 et donc on trouve

[Rendering math]P(A)P(B) - P(A \cap B) \ \leq 1/4



Dans le cas général, on a :
[Rendering math]P(B) = 1-P(A) + P(A \cap B) - (1 - P(A \cup B))

l'expression devient :
[Rendering math]P(A) - P(A)^{2} + P(A)P(A \cap B) - P(A \cap B) - P(A)(1 - P(A \cup B)

En refaisant comme précédemment on choppe :
[Rendering math]P(A)P(B) - P(A \cap B) \ \leq \ P(A) - P(A)^{2} - P(A)(1 - P(A \cup B)

Or, [Rendering math]- P(A)(1 - P(A \cup B) \leq 0, donc :
[Rendering math]P(A) - P(A)^{2} - P(A)(1 - P(A \cup B) \ \leq \ P(A) - P(A)^{2}

on retrouve bien : [Rendering math]P(A)P(B) - P(A \cap B) \ \leq \ P(A) - P(A)^{2}

[Pafnouti42]

Le cas [Rendering math]P(A \cup B) = 1 me semble nickel, well done
En revanche je ne vois pas immédiatement comment tu adaptes dans les autres cas

[Almar]

C'est la même chose mais avec

Spoiler :

[Afficher]

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[Rendering math]\leq P(A) - P(A)^{2} - P(A)X

Comme [Rendering math]X = 1 - P(A \cup B) alors [Rendering math]- P(A)X \leq 0 c'est à dire

[Rendering math]P(A) - P(A)^{2} - P(A)X \leq P(A) - P(A)^{2}

[Pafnouti42]

D'accord, c'est bien ce que je pensais, mais du coup y a-t-il vraiment besoin de distinguer le cas [Rendering math]P(A \cup B) = 1 ?
En tout cas bravo

[thuiop]

Bien joué!

[Almar]

D'accord, c'est bien ce que je pensais, mais du coup y a-t-il vraiment besoin de distinguer le cas [Rendering math]P(A \cup B) = 1 ?
En tout cas bravo

ça me faisait un peu de rédaction en moins, et ça me paraissait évident que c'était inférieur, je vais éditer la solution pour que il y ait tout.
(en plus ça fait des expressions à rallonge et c'est plus chaud à comprendre d'un coup je pense)

Bien joué!

Merci

[Neex]

Donc d'après toi, les connaissances de TS suffisent pour résoudre chacun des exos ?

[Almar]

Donc d'après toi, les connaissances de TS suffisent pour résoudre chacun des exos ?

J'ai l'impression oui. Si tu regardes bien, l'exo que j'ai résolus ne requiert aucune connaissance de TS, c'est juste qu'on ne nous habitue pas à ce genre de raisonnement

[xammax]

Je crois avoir une solution pour l'exercice 1 et 4 (bon c'est surtout le 4 qui m'intéresse)
Mais je ne sais pas si mon raisonnement est le meilleur ...
J'aimerais avoir un avis éclairé si possible
Donc voilà comment j'ai fait

Spoiler :

[Afficher]

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j'ai mis en place une sorte de récurrence, sauf que pour que ce soit vrai au rang k+1 il faut que ce soit vrai au rang k et k-1 et donc ensuite il est facile de montrer que c'est vrai aux rangs n=0 et n=1, et donc ca implique il me semble que c'est vrai pour tout n... mais je sais pas si c'est le meilleur raisonnement

[thuiop]

Sinon par rapport à l'indice de Pafnouti:

Spoiler :

[Afficher]

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[Rendering math]X=A\cup B \\
Y=\Omega
On veut [Rendering math]P(X)P(Y)\ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Donc en remplaçant on obtient
[Rendering math]P(A)+P(B)-P(A\cap B) \ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Soit [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B)
Or [Rendering math]0 \le P(B) \le 1 donc [Rendering math]P(A) \ge P(A)P(B)
Donc [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B), est vrai
Donc avec ces X et Y on a [Rendering math]P(X)P(Y) \ge P(A)P(B) -P(A\cap B) donc [Rendering math]P(A)P(B) \le \frac{1}{4}

[Pafnouti42]

Xammax, ce que tu as l'air de vouloir faire me semble tout à fait correct.

Spoiler :

[Afficher]

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Si j'ai bien compris, tu veux effectuer une récurrence double, c'est-à-dire considérer la propriété
$$ P(n) : x^n+\frac{1}{x^n} \text{ est un entier et } x^{n+1}+\frac{1}{x^{n+1}} \text{ est un entier} $$
En effet elle est vraie pour [Rendering math]n=0 et [Rendering math]n=1 par hypothèse, ce qui te fait l'initialisation.
Il te reste à montrer l'hérédité.

[Csdo]

Je crois avoir une solution pour l'exercice 1 et 4 (bon c'est surtout le 4 qui m'intéresse)
Mais je ne sais pas si mon raisonnement est le meilleur ...
J'aimerais avoir un avis éclairé si possible
Donc voilà comment j'ai fait

Spoiler :

[Afficher]

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j'ai mis en place une sorte de récurrence, sauf que pour que ce soit vrai au rang k+1 il faut que ce soit vrai au rang k et k-1 et donc ensuite il est facile de montrer que c'est vrai aux rangs n=0 et n=1, et donc ca implique il me semble que c'est vrai pour tout n... mais je sais pas si c'est le meilleur raisonnement

Spoiler :

[Afficher]

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Sur le principe de ta récurrence il y a aucun problème c'est tout à fait rigoureux comme raisonnement si tu initialises bien avec 0 et 1.
Tu seras même amené à faire des récurrences fortes où, pour montrer le rang n, tu devras supposer tous les rangs inférieurs vérifiés.

[xammax]

Merci des infos ! Bon si j'ai la foi je rédigerais ça, peut-être pour ce soir

[Pafnouti42]

Sinon par rapport à l'indice de Pafnouti:

Spoiler :

[Afficher]

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[Rendering math]X=A\cup B \\
Y=\Omega
On veut [Rendering math]P(X)P(Y)\ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Donc en remplaçant on obtient
[Rendering math]P(A)+P(B)-P(A\cap B) \ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Soit [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B)
Or [Rendering math]0 \le P(B) \le 1 donc [Rendering math]P(A) \ge P(A)P(B)
Donc [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B), est vrai
Donc avec ces X et Y on a [Rendering math]P(X)P(Y) \ge P(A)P(B) -P(A\cap B) donc [Rendering math]P(A)P(B) \le \frac{1}{4}

Attention attention thuiop

Spoiler :

[Afficher]

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Tu ne peux pas utiliser le résultat valable pour [Rendering math]X et [Rendering math]Ydisjoints pour [Rendering math]X=A\cup B et [Rendering math]Y=\Omega car [Rendering math]\Omega et [Rendering math]A\cup B ne sont pas disjoints !!

[thuiop]

Sinon par rapport à l'indice de Pafnouti:

Spoiler :

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[Rendering math]X=A\cup B \\
Y=\Omega
On veut [Rendering math]P(X)P(Y)\ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Donc en remplaçant on obtient
[Rendering math]P(A)+P(B)-P(A\cap B) \ge P(A)P(B)-P(A\cap B)
Soit [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B)
Or [Rendering math]0 \le P(B) \le 1 donc [Rendering math]P(A) \ge P(A)P(B)
Donc [Rendering math]P(A)+P(B) \ge P(A)P(B), est vrai
Donc avec ces X et Y on a [Rendering math]P(X)P(Y) \ge P(A)P(B) -P(A\cap B) donc [Rendering math]P(A)P(B) \le \frac{1}{4}

Attention attention thuiop

Spoiler :

[Afficher]

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Tu ne peux pas utiliser le résultat valable pour [Rendering math]X et [Rendering math]Ydisjoints pour [Rendering math]X=A\cup B et [Rendering math]Y=\Omega car [Rendering math]\Omega et [Rendering math]A\cup B ne sont pas disjoints !!

My bad. Ça me paraissait un peu facile aussi

[Almar]

Je suis quasiment sûr d'avoir la solution du 4 mais elle me parait très longue à rédiger et j'ai vraiment pas mal de retard sur les révisions, je vais peut être la laisser pour xammax

[xammax]

Non c'pas long, faut que j'apprenne a l'écrire et c'est tout ... je la ferais ce soir, je bosse aussi pour le bac là (oui je suis faible)

[Pafnouti42]

(oui je suis faible)

C'est pas M. Gaillard qui l'a dit

[xammax]

(oui je suis faible)

C'est pas M. Gaillard qui l'a dit

Je ne comprends pas ....

[Pafnouti42]

(oui je suis faible)

C'est pas M. Gaillard qui l'a dit

Je ne comprends pas ....

J'espère que tu pourras bientôt comprendre

[xammax]

J'espère aussi j'aime pas ne pas comprendre ^^

[Pafnouti42]

J'espère aussi j'aime pas ne pas comprendre ^^

Ne t'inquiètes pas, même si tu n'es pas en MPSI 1 tu devrais en entendre parler (ou l'entendre tout court )...

[xammax]

J'espère aussi j'aime pas ne pas comprendre ^^

Ne t'inquiètes pas, même si tu n'es pas en MPSI 1 tu devrais en entendre parler (ou l'entendre tout court )...

Houla d'accord !