Question à propos d'une preuve fausse

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Neex
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Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 16:13

Salut :D

Dans un forum une preuve fausse a fait l'objet d'un petit débat, et j'aimerais avoir votre avis :)

C'est une preuve de 1=0, un grand classique.
La voici :

"Soit f la fonction vérifiant f(x)=x pour tout x.
Alors, sa dérivée f' vérifie f'(x)=1 pour tout x.

Or, f vérifie aussi f(x) = 1+1+...+1 où 1 apparait x fois.
Ainsi, par dérivation de somme, f' vérifie aussi f'(x) = " 1' + 1' + .. + 1' " = 0+0+..+0 = 0.
Ainsi 1=0."

D'après vous d'où viens l'erreur ?
Pour moi, elle vient du fait que la deuxième définition de f n'a de sens que si x est entier. (Je me verrais mal calculer 1+1+...+1 où 1 apparait 1/2 fois, ou même Pi fois) donc f, sous sa deuxième définition, ne peut être définie que sur N, donc elle n'est pas dérivable.

Qu'en pensez vous? :)
(et je ne sais pas si ce sujet a déjà été traité ici, si c'est le cas désolé :D )
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 16:17

Non seulement cette définition n’a de sens que si x est entier, mais en plus c’est une définition par morceaux. Il faut donc faire attention aux recollements.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 16:23

La "somme" n'est pas vraiment fixe, donc tu définis pas proprement la fonction...
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 16:24

Enfin bref, une fonction définie comme ça, en DS, ça vaut 0 ! :P
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Csdo » 12 juil. 2016, 16:26

Ouais, dériver par rapport à l'indice de ta somme, c'est vraiment chelou :lol:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar thuiop » 12 juil. 2016, 16:33

Ben ça marcherait si la fonction n'était pas définie que pour les entiers naturels (en fait c'est une suite de raison 1 finalement :mrgreen: ). Du coup la fonction n'est pas dérivable (à partir du moment où tu la définis comme [Rendering math]f(x) = \underbrace{1 + 1 + \dots + 1}_{x fois} ).
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 16:38

En fait, si tu le faisais proprement et créais ta somme "sur les réels", tu ferais rien de plus rien de moins qu'une intégration, en l'occurence celle de 1.dx, donc ça te définit bien la fonction identité... Même si une intégrale n'est pas une somme à proprement parler.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 16:39

Dⓐ Яøʊƭ a écrit :Même si une intégrale n'est pas une somme à proprement parler.

C’est vrai, en revanche une somme est une intégrale à proprement parler ! :P
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 16:40

Lebesgues incomming in 3, 2, 1...
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 16:47

Échec. C’est une bête mesure de comptage. :)
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 16:47

Qu'est ce que vous parlez de mesure à un élève de TS...
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 16:50

En soi, la théorie de l’intégration de Borel ne nécessite pas des connaissances bien avancées en mathématiques. Le plus dur est de prouver l’unicité, et surtout l’existence de la mesure de Lebesgue. En revanche, proposer, une fois celle-ci admise, la construction de Lebesgue et montrer le lien avec les sommes ne pose aucun problème.

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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 16:57

Si je réussis à comprendre ta preuve c'est qu'elle est compréhensible, je n'ai pas fait de maths depuis le 11 Juillet 2012 :mrgreen:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 16:59

Le premier MOOC de M. Miltoun, c'est maintenant!
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 17:10

Question intéressante Neex :)

Si tu aimes bien les fausses preuves, je te conseille de jeter un oeil à la pj, qui démontre que tous les traingles sont équilatéraux 8)
Pièces jointes
arnaque_absolue.pdf
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 17:14

Il n’y a aucune preuve à comprendre, juste un principe simple.

Qu’est-ce qu’intégrer une fonction ? Il s’agit d’une somme continue, c’est-à-dire d’un passage à la limite bien choisi sur une somme classique. L’idée est de dire : on suppose que la fonction [Rendering math]f à intégrer ne prend qu’un nombre fini de valeurs, et de regarder sur quels ensembles elle prend cette valeur, puis de mesurer leur longueur, et faire la somme. Par exemple, si [Rendering math]f vaut 0 sur les intervalles [0,1] et [1,2], et 1 sur ]0,1[, alors son intégrale vaut par définition 0 × 2 + 1 × 1 = 1.
Ensuite, on dit que pour une fonction quelconque [Rendering math]f, on regarde toutes les fonctions prenant un nombre fini de valeurs (ce qu’on appelle les fonctions étagées) plus petites que [Rendering math]f, on calcule l’intégrale comme j’ai dit avant, et si l’ensemble des intégrales de ces fonctions ne dépasse pas une certaine valeur, on dit que la plus petite valeur non dépassée est l’intégrale de [Rendering math]f.

La vraie difficulté est : comment mesurer la longueur d’un ensemble ? Si l’ensemble en question est un intervalle, il n’y a aucune difficulté. Mais ça peut être beaucoup plus compliqué, par exemple pour définir la longueur de l’ensemble triadique de Cantor. L’idée est qu’on peut construire (et c’est très difficile) une fonction qui a certains ensembles (incluant tous ceux qui nous intéressent en analyse et qu’on appelle boréliens, c’est le principal) associe une longueur, de sorte que les propriétés intuitives de passage à la limite soient respectées, et que les intervalles aient la bonne longueur. Par exemple, [Rendering math]\mathbf Q est de longueur nulle, idem pour l’ensemble de Cantor. Avec cette mesure, qu’on appelle la mesure de Lebesgue, on peut définir l’intégrale (sur un intervalle fermé) de tout un tas de fonctions, notamment toutes les fonctions continues et celles qu’on obtient par passage à la limite de fonctions continues. C’est un outil très puissant.

Maintenant, qu’est-ce qui interdit de prendre d’autres ensembles au départ que [Rendering math]\mathbf R et de changer la mesure ? Rien. Si on veut faire une somme indexée par un indice [Rendering math]k variant entre 1 et [Rendering math]n, il suffit de définir une fonction qui prend la bonne valeur pour chaque indice et de choisir une bonne mesure : celle qui a un ensemble de [Rendering math]m éléments associe [Rendering math]m. C’est même encore plus simple qu’avant, puisqu’il n’y a plus besoin de passer à la limite, on travaille sur des ensembles finis. Avec cette définition, une somme ou une série est une intégrale, et tous les théorèmes un peu compliqués vrais pour les intégrales le restent pour des séries. :)


@Paf : j’adore cette preuve ! :D Pour ma part, j’avais compris le bug en censuré par Pafnouti :P
Par contre, petite erreur, la médiatrice d’un angle n’a pas grand sens… :P
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 17:57

Miltøn a écrit :Par contre, petite erreur, la médiatrice d’un angle n’a pas grand sens… :P

Merci, personne n'avait rien dit l'année dernière :mrgreen:
En tout cas déjà 12 téléchargements, je suis content.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Nemh » 12 juil. 2016, 19:10

Notons que Paf' a été assez vicieux pour la mettre au tableau un mercredi en début d'aprèm, tout ceci afin d'empêcher les personnes présentes de bosser leur D.S. de physique du lendemain matin comme elles cherchaient la fameuse arnaque. #espritConcours
Certains en ont cependant eu marre, et sont partis avant de trouver, en admettant le résultat…
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 19:14

Du moment qu’ils ne l’ont pas utilisé en DS le lendemain ! :D

Je cherche à voir s’il n’y aurait pas moyen de faire un exercice d’oral vachard (genre pour les simulations de colles des portes ouvertes) en se basant là-dessus… :D
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Csdo » 12 juil. 2016, 19:16

J'avoue que l'erreur de raisonnement me saute pas aux yeux :cry: J'veux bien un spoil (par mp éventuellement)
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 19:23

Censuré par Milton
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 19:23

Nemh a écrit :Notons que Paf' a été assez vicieux pour la mettre au tableau un mercredi en début d'aprèm, tout ceci afin d'empêcher les personnes présentes de bosser leur D.S. de physique du lendemain matin comme elles cherchaient la fameuse arnaque. #espritConcours
Certains en ont cependant eu marre, et sont partis avant de trouver, en admettant le résultat…

Et encore, je n'ai pas fait la version "Si tu es d'accord avec les deux lemmes, tu es d'accord avec le résultat" :lol:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 19:24

T’en dis trop, Da Rouf…

Spoiler :

Sur le dessin de Pafnouti, zoome beaucoup et mesure les distances BM et CM…
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 19:25

Dans un triangle ABC quelconque, on considère l'angle ABC et sa bissectrice (d). Pour tout point P de (d), si on considère A' et C' le projetés orthogonaux de P respectivement sur les segments [BA] et [BC], alors PA' = PC' et BA' = BC'.

C'est vrai ça ?
Je veux m'en assurer, juste histoire de pas l'admettre en disant "c'est bon ça se voit sur un dessin" :D
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 19:26

Miltøn a écrit :T’en dis trop, Da Rouf…

Spoiler :

Sur le dessin de Pafnouti, zoome beaucoup et mesure les distances BM et CM…

C'est pas ce que tu crois Milton :P

Neex a écrit :Dans un triangle ABC quelconque, on considère l'angle ABC et sa bissectrice (d). Pour tout point P de (d), si on considère A' et C' le projetés orthogonaux de P respectivement sur les segments [BA] et [BC], alors PA' = PC' et BA' = BC'.

C'est vrai ça ?
Je veux m'en assurer, juste histoire de pas l'admettre en disant "c'est bon ça se voit sur un dessin" :D

Oui, c'est vrai par symétrie :wink:
C'est le lemme 2, le lemme 1 étant "tout point de la médiatrice d'un segment est équidistant des extrémités de ce segment".
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 19:34

Mh en effet, je suis allé un peu vite. Du coup, je suppose que c’est plutôt :
Spoiler :

Zoome à fond, prends un rapporteur et mesures les angles [Rendering math]\widehat{BAM} et [Rendering math]\widehat{CAM}

? :roll:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 19:46

Spoiler :

Le dessin est complètement faux déjà. Avec geogebra on voit bien que P B' est à l'intérieur du triangle
(notez le super niveau de démonstration digne d'un ingénieur : avec l'ordi on voit que :mrgreen: )
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar thuiop » 12 juil. 2016, 19:52

J'ai pas l'erreur mais...
Spoiler :

de toute façon c'est débile à la base, si on avait AB=AC, A serait sur la médiatrice de [BC] :mrgreen:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 19:55

Je pense savoir d'où vient l'erreur :

Spoiler :

Dans le cas général, AB' n'est pas forcément égal à AB + BB' et de même avec le point C
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 19:56

Neex a écrit :Je pense savoir d'où vient l'erreur :

Spoiler :

Dans le cas général, AB' n'est pas forcément égal à AB + BB' et de même avec le point C


Spoiler :

Surtout si B' est à l'intérieur du segment AB :lol:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 19:58

Oui voilà c'est ce que je voulais dire :D

Spoiler :

Il existe des cas où B' est dans AB et où C' n'est pas dans AC.
Dans le résultat est faux, un point c'est tout !! :mrgreen:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 20:08

Spoiler :

Alors question : dans quel cas A' est-il à l’intérieur du triangle ? De même pour B' ?
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 20:09

Spoiler :

euh...

Bah z'avez qu'à faire un dessin et vous verrez bien :)

Mais sinon je suis sur la bonne voie ou non ?
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 20:11

Spoiler :

Je pense qu'il doit être facile de montrer que P est à l'intérieur du triangle B' est dans [AB] sauf si le triangle est isocèle donc oui, tu as raison Neex
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 20:16

Spoiler :

Euh non, P n’est pas à l’intérieur du triangle. Par contre, on peut montrer que B' est à l’intérieur dès que AB ≥ AC, et de même pour C'. Donc les deux sont à l’intérieur seulement si le triangle est isocèle, et ils sont alors confondus avec B et C respectivement. :)
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 20:17

Spoiler :

Ah j'ai réussi à foirer mon geogebra


EDIT :
Spoiler :

Ah oui c'est mieux maintenant :mrgreen:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 20:19

Miltøn a écrit :
Spoiler :

Euh non, P n’est pas à l’intérieur du triangle. Par contre, on peut montrer que B' est à l’intérieur dès que AB ≥ AC, et de même pour C'. Donc les deux sont à l’intérieur seulement si le triangle est isocèle, et ils sont alors confondus avec B et C respectivement. :)


Spoiler :

C'est à la portée d'un TS ça ? :D

Et du coup t'es en train de dire que même le schéma de l'énoncé est faux ?
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Csdo » 12 juil. 2016, 20:22

Neex a écrit :
Miltøn a écrit :
Spoiler :

Euh non, P n’est pas à l’intérieur du triangle. Par contre, on peut montrer que B' est à l’intérieur dès que AB ≥ AC, et de même pour C'. Donc les deux sont à l’intérieur seulement si le triangle est isocèle, et ils sont alors confondus avec B et C respectivement. :)


Spoiler :

C'est à la portée d'un TS ça ? :D

Et du coup t'es en train de dire que même le schéma de l'énoncé est faux ?


C'est sûrement à la portée d'un TS, ils ont supprimé toute la géométrie du programme de prépa ...
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Miltøn » 12 juil. 2016, 20:36

Neex a écrit :
Spoiler :

C'est à la portée d'un TS ça ? :D

Et du coup t'es en train de dire que même le schéma de l'énoncé est faux ?

Spoiler :

Évidemment que c’est complètement faux ! :lol: La bissectrice est truquée, et le point B est beaucoup, beaucoup trop loin du triangle ! :lol:
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Neex » 12 juil. 2016, 21:24

Super, même le schéma te la met à l'envers quoi.. Pour ça que c'était loin d'être trivial au début x)
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 21:55

Neex a écrit :Super, même le schéma te la met à l'envers quoi.. Pour ça que c'était loin d'être trivial au début x)

C'est sensé être un truc qui se fait au tableau hein (demande à Nemh), j'ai fait comme j'ai pu :P
En tout cas tu as mis le doigt là où il y a l'arnaque, bien joué :wink:
En revanche je voudrais bien savoir un peu plus pourquoi B' et C' ne peuvent pas être simultanément à l'extérieur ou à l'intérieur du triangle !
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 22:06

Ce topic est hilarant. C'est une page entière de gens qui écrivent:
"spoiler:
-----------
spoiler:
-----------
spoiler:
EDIT: spoiler
-----------
spoiler
-----------"
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Pafnouti42 » 12 juil. 2016, 22:07

Dⓐ Яøʊƭ a écrit :Ce topic est hilarant. C'est une page entière de gens qui écrivent:
"spoiler:
-----------
spoiler:
-----------
spoiler:
EDIT: spoiler
-----------
spoiler
-----------"

Spoiler :

Ce spoiler est aussi hilarant que le topic dans lequel il figure
2017 - : ENSTA ParisTech
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 22:13

Spoiler :

Pafnouti42 a écrit :
Dⓐ Яøʊƭ a écrit :Ce topic est hilarant. C'est une page entière de gens qui écrivent:
"spoiler:
-----------
spoiler:
-----------
spoiler:
EDIT: spoiler
-----------
spoiler
-----------"

[spoiler]Ce spoiler est aussi hilarant que le topic dans lequel il figure

Heh.[/spoiler]
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 22:14

Les spoilers dans les spoilers, même avec des quotes, ne marchent pas.

(Cette phrase est limpide, si, si)
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 23:11

Et un spoiler dans un quote dans un spoiler?
#SpoilerQuoteption
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 23:13

Non, toute tentative de mettre un spoiler dans un spoiler échouera, même en utilisant des quotes.
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 23:43

MILTOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOOON!!!
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar tphi » 12 juil. 2016, 23:47

T'as réussi à crier suffisamment fort pour qu'il accoure oO
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Re: Question à propos d'une preuve fausse

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 12 juil. 2016, 23:52

J'ai vu ça!
Mec t'as presque 3k.
Comme moi y a... Peu de temps.
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