Problème sur les nombres polygonaux

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adrama
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Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar adrama » 19 juil. 2017, 12:15

Bonjour tout le monde, avec un ami nous avons énoncé un petit problème d'arithmétique (/géometrie?!) qui peut potentiellement vous intéresser. Nous n'avons pas réussi à le résoudre mais vous y arriverez peut-être. Le voici:

Pour tout entier n supérieur à 1, existe-t-il un entier p supérieur à 1 tel que pour tout entier k compris entre 1 et n (compris), p soit un nombre k−gonal ?

Quelques cas concrets pour illustrer: existe-t-il un nombre simultanément pentagonal, carré et triangulaire ? hexagonal, pentagonal, carré et triangulaire? etc...

(Rq.: on dira qu'un 1-gone est un nombre triangulaire)

Ex.: le nombre 36 est à la fois un nombre carré et un nombre triangulaire.
Malgré une tentative de conjecture avec un algorithme, je n'ai pas encore trouvé de nombre à la fois pentagonal carré et triangulaire, et si un tel nombre existe, je vous laisse imaginer son immensité...

Par ailleurs, voici quelques liens qui peuvent peut-être vous aider à trouver des informations sur les nombres polygonaux:
https://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_polygonal
http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... Geome1.htm

glhf

PS: je vous prie d'excuser les maladresses dans l'énoncé s'il y en a (bruh)

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Re: Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar Bruct » 19 juil. 2017, 16:58

Je ne suis pas élève à Fermat mais je me permets tout de même de répondre.
Après une rapide recherche sur google on trouve ceci. Donc il semblerait que ton problème est ouvert pour l'instant.

Cependant, au lycée en spé maths, mon prof nous avait donné un problème qui consistait à montrer qu'il y a une infinité de nombres triangulaires carré. J'imagine que tu as déjà étudié cette question, mais un autre problème intéressant serait de chercher les nombres pentagonaux carré et/ou les nombres pentagonaux triangulaires. Ces problèmes reviennent à résoudre une équation de Pell-Fermat.

Edit: En effet autant pour moi, je me suis foiré sur le lien :P .
Dernière édition par Bruct le 19 juil. 2017, 17:26, édité 1 fois.

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adrama
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Re: Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar adrama » 19 juil. 2017, 17:18

Merci pour ce site je vais essayer de voir plus de choses sur le sujet
Dernière édition par adrama le 19 juil. 2017, 17:31, édité 1 fois.

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adrama
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Re: Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar adrama » 19 juil. 2017, 17:31

Et j'ai pu générer quelques nombres triangulaires/pentagonaux et quelques nombres carrés/pentagonaux sans trouver de nombre qui soit les 3 à la fois avec un algorithme...

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Re: Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar Bruct » 19 juil. 2017, 17:34

Enfait j'avais lu en diagonal le lien de mon post précédent. Le problème est bel et bien résolu et il n'y a pas de solution à ce système d'équation autre que la solution triviale.

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Re: Problème sur les nombres polygonaux

Messagepar adrama » 19 juil. 2017, 17:38

En effet, bon ben le pb n'a pas lieu d'être alors il était déjà résolu haha ! J'aurais du faire mes recherches en anglais comme toi on dirait :roll:


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