Le lemme de van der Corput

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Le lemme de van der Corput

Messagepar Miltøn » 03 août 2017, 17:01

Hello,

Je suis tombé récemment, lors d’une discussion, sur un exo un peu trash que je ne connaissais pas en calcul intégral. Il s’agit du lemme de van der Corput — apparemment classique parce qu’il a sa page sur Wikipédia, mais je suis sûr que vous n’irez pas la voir. ;) Ça ne nécessite aucun outil approfondi en calcul intégral (rien de plus que l’IPP, quoi…), mais par contre c’est suffisamment moche pour que je l’imagine bien tomber ou être tombé à un oral de maths Ulm. ;)

Soient k un entier naturel, [a, b] un intervalle de R et φ une fonction appartenant à Cᵏ⁺¹([a, b], R) (c’est-à-dire : k+1 fois continûment dérivable, définie sur [a,b] et à valeurs réelles). L’on suppose que φ⁽ᵏ⁾ (la dérivée k-ième de φ) ne s’annule pas sur [a,b] et dans le cas où k = 1, l’on émet de plus l’hypothèse que φ′ est monotone. Démontrer l’existence d’une constante cₖ, indépendante de φ, telle que pour tout λ ∈ R, on ait l’inégalité suivante :

| ∫ₐᵇ exp(i λ φ(t)) dt | ⩽ cₖ / ᵏ√δλ

Où δ représente le minimum de |φ⁽ᵏ⁾| sur [a, b]. (Pourquoi tout cela bien défini, déjà ? ;) ).

Spoiler :

Tricheur !
Bon, tu veux vraiment ?

Se débarrasser du δ dans l’inégalité.

Suite.

Démontrer par récurrence sur k.

Suite.

Si ψ est de classe C¹ sur [a, b], à valeurs réelles, minorée par un ε > 0 et croissante, alors ∫ₐᵇ exp(i ψ(t)) dt ⩽ 4/ε.

Fin.

Pour le rang k+1 à partir du rang k, tenter une disjonction des cas selon que φ⁽ᵏ⁾ s’annule ou pas.


Une interprétation physique ?
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Re: Le lemme de van der Corput

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 03 août 2017, 17:35

Aurais-tu oublié un module autour de ton intégrale à tout hasard ?
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Re: Le lemme de van der Corput

Messagepar Miltøn » 03 août 2017, 17:44

C’était pour voir si vous suiviez. 8)
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Re: Le lemme de van der Corput

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 03 août 2017, 19:44

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Re: Le lemme de van der Corput

Messagepar Miltøn » 03 août 2017, 23:45

Le 9 septembre, si tu viens. ;)
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Re: Le lemme de van der Corput

Messagepar Pafnouti42 » 04 août 2017, 15:08

Je suis déjà tombé dessus, mais je ne crois pas que c'était à l'occasion d'exercices d'oral...
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