Je suis tombé récemment, lors d’une discussion, sur un exo un peu trash que je ne connaissais pas en calcul intégral. Il s’agit du lemme de van der Corput — apparemment classique parce qu’il a sa page sur Wikipédia, mais je suis sûr que vous n’irez pas la voir.
Ça ne nécessite aucun outil approfondi en calcul intégral (rien de plus que l’IPP, quoi…), mais par contre c’est suffisamment moche pour que je l’imagine bien tomber ou être tombé à un oral de maths Ulm. Soient k un entier naturel, [a, b] un intervalle de R et φ une fonction appartenant à Cᵏ⁺¹([a, b], R) (c’est-à-dire : k+1 fois continûment dérivable, définie sur [a,b] et à valeurs réelles). L’on suppose que φ⁽ᵏ⁾ (la dérivée k-ième de φ) ne s’annule pas sur [a,b] et dans le cas où k = 1, l’on émet de plus l’hypothèse que φ′ est monotone. Démontrer l’existence d’une constante cₖ, indépendante de φ, telle que pour tout λ ∈ R, on ait l’inégalité suivante :
| ∫ₐᵇ exp(i λ φ(t)) dt | ⩽ cₖ / ᵏ√δλ
Où δ représente le minimum de |φ⁽ᵏ⁾| sur [a, b]. (Pourquoi tout cela bien défini, déjà ?
).Spoiler :
Une interprétation physique ?
