Je suis tombé récemment, lors d’une discussion, sur un exo un peu trash que je ne connaissais pas en calcul intégral. Il s’agit du lemme de van der Corput — apparemment classique parce qu’il a sa page sur Wikipédia, mais je suis sûr que vous n’irez pas la voir.


Soient k un entier naturel, [a, b] un intervalle de R et φ une fonction appartenant à Cᵏ⁺¹([a, b], R) (c’est-à-dire : k+1 fois continûment dérivable, définie sur [a,b] et à valeurs réelles). L’on suppose que φ⁽ᵏ⁾ (la dérivée k-ième de φ) ne s’annule pas sur [a,b] et dans le cas où k = 1, l’on émet de plus l’hypothèse que φ′ est monotone. Démontrer l’existence d’une constante cₖ, indépendante de φ, telle que pour tout λ ∈ R, on ait l’inégalité suivante :
| ∫ₐᵇ exp(i λ φ(t)) dt | ⩽ cₖ / ᵏ√δλ
Où δ représente le minimum de |φ⁽ᵏ⁾| sur [a, b]. (Pourquoi tout cela bien défini, déjà ?

Spoiler :
Une interprétation physique ?