Exos pour futurs bizuths v2

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zhangmei
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 19 mars 2019, 18:07

Ce matin mon prof de maths m'a posé un exo sympa :
Un capital est placé à t% l'année. Montrer que pour des valeurs raisonnables de t (i.e. t<15), on peut dire que le capital est doublé au bout de 70/t années.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par rolas31 » 21 mars 2019, 09:24

Hum, ça ressemble plus à un exo de chimie ^^
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Miltøn » 25 mars 2019, 01:09

Suffit de développer log(1+t) à l’ordre un. Si n est le nombre d’années, au bout de n années, le capital aura été multiplié par e^(n × log(1+t)), donc on cherche n tel que n × log(1+t) = log(2), soit avec log(1+t) ≈ t, n = log(2) / t, d’où n = 70 / t avec t exprimé en pourcentage. Mais c’est de la chimie, ça, pas des maths. :P
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zhangmei
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 14 août 2019, 18:50

Je relance un peu ce forum (ce qui est rendu plus agréable par le fonctionnement du \(LaTeX
\)
)

Exercice 8
Spoiler :

Supposons qu'un tel polynôme existe. Considérons \(Q(t) =t^2\cdot A(t)\). Alors le polynôme \(A(t) Q(t) \) est positif ou nul donc le membre de gauche l'est également, et le membre de droite nul. Donc si un tel polynôme existe, c'est le polynôme nul. Il suffit alors de considérer \( Q(t) = 1
\)
par exemple pour aboutir à une contradiction.

Nouvel exercice

Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels \(a\) tels que \(n^4+a\) ne soit premier pour aucune valeur de \( n. \)
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Zrun
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 16 août 2019, 13:34

Ok pour le 8!
Sinon \(Q(t)=tA(t)\) marche aussi ;)

Tiens, du Sophie Germain !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 16 août 2019, 13:40

Oui bien sûr, \(Q(t) =Ct^kA^l(t) \) avec \(C\in\mathbb{R_0}, k\in\mathbb{N_0}, l\) un entier naturel impair fonctionne.

Et oui !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 18:01

zhangmei a écrit :
14 août 2019, 18:50
Nouvel exercice
Montrer qu'il existe une infinité d'entiers naturels \(a\) tels que \(n^4+a\) ne soit premier pour aucune valeur de \( n. \)
Une piste...
Spoiler :

L'ensemble \(A =\){\(a = 4 + 10k,\) \(k\in\mathbb{N}\)} possède une infinité d'éléments.
Distinguons trois cas pour \(n\):
  • Si \(n = 0\) alors pour tout \(a\in A\), \(n^4 + a\) est pair et strictement supérieur à 2, donc n'est jamais premier.
  • Si \(n\) est premier avec 5, alors d'après le petit théorème de Fermat on a \(n^4\equiv 1\)(mod 5) \(\Longleftrightarrow n^4 + 4 \equiv 0\)(mod 5) et la divisibilité par 5 se conserve en incrémentant 10. donc pour tout \(a\in A\), \(n^4 + a\) n'est jamais premier.
  • Si \(n\) est un multiple de 10, alors pour tout \(a\in A\), \(n^4 + a\) est pair et strictement supérieur à 2, donc n'est jamais premier.
  • Si \(n\) est un multiple impair de 5, ça ne marche pas :mrgreen: (contre exemple : \( n = 5\) et \(a =34\)), c'est le cas que je n'arrive pas à traiter. J'ai essayé en vain en essayant avec d'autres incréments (tant qu'ils sont multiples de 5). Le problème c'est que ça donne des nombres en 9 qui quelques fois sont premiers. Il faudrait pour remédier à cela déterminer un ensemble de nombres en 9 qui ne sont jamais premiers.

    Sinon, tu es sûr que c'est accessible avec le seul programme de terminale ?

Voilà, n'hésitez pas à me dire si je peux arriver à un résultat intéressant avec ça ou si je suis complètement à côté de la plaque.
Sur ce, je vais commencer Aristophane.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 20 août 2019, 18:23

Spoiler :

Ce que tu as fait est intéressant, mais tu ne pourras pas aboutir à un résultat par disjonction de cas. La solution est plus astucieuse, l'idée est d'écrire a sous une certaine forme qui te garantisse que \(n^4+a \)n'est pas premier.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 18:35

Spoiler :

oui, j'avais essayé de factoriser au début, mais il me semble que \(n^4 + b^4\) ne se factorise pas. Après je connais peu les identités remarquables de degré 4... Je suis sûr que si je tape “identités remarquables de degré 4” sur Google je devrais trouver rapidement...

Edit : j'ai effectivement trouvé 2 solutions possibles, mais je n'y serais jamais parvenu sans aide il me semble
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 20 août 2019, 18:44

Spoiler :

Tu cherches effectivement une factorisation de ce style :P. Effectivement il n'existe pas de factorisation en fonction de \(a\) et \(b\) pour \(a^n+b^n\)avec \(n\) pair.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 19:09

Du coup la solution “internet” (Oui oui, je triche)
Spoiler :

sur ce lien http://villemin.gerard.free.fr/Wwwgvmm/ ... entAut.htm
avec \(a = 4b^4\), on a \( n^4 + 4b^4 = ((n + b)^2 + b)((n - b)^2 + b) \)qui est le produit de deux nombres positifs.
Je suppose que c'est à moi de poster un exo ?

Exercice suivant

Developper le produit \(P = (a - x)(b -x)(c -x)...(y - x)(z - x)\)
(on pourra par exemple introduire 8) =\(abcdefgh...xyz\))
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 20 août 2019, 19:54

Spoiler :

Euh ...
\((x-x)\) c’est dans le produit ou pas ?
Car sinon ça fait 0 ...
Dernière modification par Zrun le 20 août 2019, 20:41, modifié 1 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 19:58

Oui c'est ça !
Dernière modification par Alx-Auxpi le 22 août 2019, 20:57, modifié 1 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 20 août 2019, 20:22

Non mais... Bon alors comme j'ai résolu l'exo en considérant les \(a_i (i=1,\ldots, 26\)), je pose l'exercice suivant :

Exercice suivant

Exprimer le produit \(\prod_{i=1}^n (a_i-x) \) sous forme d'une somme.
Dernière modification par zhangmei le 20 août 2019, 20:44, modifié 1 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 20:39

si l'on suit ta notation à la lettre, le produit est déjà exprimé en tant que somme puisque tu as mis un = entre le produit et l'expression :mrgreen:


Rien à voir, mais Je viens de finir l'exercice 5 et je ne sais pas comment l'on code les coefficients binomiaux (je débute en latex dsl :mrgreen: ), si quelqu'un pouvait m’aider svp.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 20 août 2019, 20:43

\binom{3}{4} donne \(\binom{3}{4}\) (soit 0)
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 20 août 2019, 20:45

Ça a bugué, le message s’est posté deux fois ... si un modérateur passe par là, s’il peut supprimer ce message ...
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 20:53

zhangmei a écrit :
20 août 2019, 20:22
Non mais... Bon alors comme j'ai résolu l'exo en considérant les \(a_i (i=1,\ldots, 26\)), je pose l'exercice suivant :

Exercice suivant

Exprimer le produit \(\prod_{i=1}^n (a_i-x) \) sous forme d'une somme.
Attention si l'on donne tous notre langue au chat tu devras écrire la solution toi-même :mrgreen:


Et merci Zrun
Dernière modification par Alx-Auxpi le 20 août 2019, 20:59, modifié 1 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 20 août 2019, 20:58

Eh bien elle est sous mes yeux :P
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 20 août 2019, 21:12

De toute façon vous reverrez cela en première année !
Faut commencer par des petits \(n\) et après introduire les quantités qu’il faut
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 21:18

Oui, c'est ce que j'ai commencé à faire.
Ça m'est égal, je relève quand même le défi (je rédige juste l’exo 5, qui me semble-t-il n'a pas encore été traité et je m'y mets)
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 20 août 2019, 21:38

Il a été fait mais poste quand même ta réponse, évidemment
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 20 août 2019, 21:53

Ah oups, j'ai mal regardé désolé (c'est quelle page ?)
Je mets quand même ma réponse :
Spoiler :

Soit \(k\) un entier tel que \(0\leq k \leq n\), alors il y a \(\binom{n}{k}\) sous-ensembles \(B\) à \(k\) éléments dans {\(1;...;n\)}.

Dans chacun de ces sous-ensembles \(B\), il y a \(\binom{k}{0}\) sous-sous-ensembles \(A\) vides, \(\binom{k}{1}\) sous-sous-ensembles \(A\) à 1 éléments, \(\binom{k}{2}\) sous-sous-ensembles \(A\) à 2 élements, etc...

Soit un total de \(\binom{k}{0} + \binom{k}{1} + \binom{k}{2} + ... + \binom{k}{k} = 2^k \) (propriété triangle de Pascal) sous-sous-ensembles \(A\) dans un sous-ensemble \(B\) à \(k\) éléments.

Pour un certain entier \(k\), il y a donc \(2^k\binom{n}{k}\) couples d'ensembles \((A,B)\) tel que \(A \subset B\), soit un total de \(\sum_{k = 0}^n 2^k\binom{n}{k}\) couples en tout.

Edit : Après avoir vu la solution ça fait bien \(3^n\) avec Newton effectivement

C'est validé ?
Du coup quels sont ceux qui n'ont pas été résolus ?
Après limite on peut refaire un sujet pour cette année non ?

Zhangmei je fais ton exercice maintenant.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 21 août 2019, 08:34

Pour le 5 c'est bien ça !

Sinon effectivement on peut créer un nouveau topic, si un futur spé ou un ancien a des exos à proposer, ou alors on peut continuer comme ça en résolvant l'exercice proposé et en en proposant un nouveau.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 21 août 2019, 11:23

Pas la peine d’ouvrir un nouveau sujet je pense ...
Par contre, je peux réfléchir à d’autres exos si vous êtes chaud !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 21 août 2019, 11:35

D'accord je suis preneur et les autres aussi sûrement !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 21 août 2019, 15:25

1) Existe-t-il une fonction f à valeurs réelles telle que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) , \(f(f(x))=x\) ?

2) On pose \(F_n=2^{2^n}+1\). Montrer que si \(m \neq n \), alors \(F_n\) et \(F_m\) sont premiers entre eux. En déduire qu’il existe une infinité de nombres premiers

3) Soit \(X\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) (c’est à dire un ensemble de nombres réels) . On suppose que si \(a \in X\) et \(b \in X\) alors \(\sqrt{ab} \in X\).
On prend \(a \in X\) et \(b \in X\). Soit \(x \in [a,b]\). Montrer qu’il existe une suite \((x_n)\) d’éléments de X qui tend vers x .

4) Calculer la dérivée n-ieme de f définie par \(f(x)=ln(1+x)\) en 0 puis en tout point
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 21 août 2019, 16:31

Question 1
Spoiler :

Oui, par exemple la fonction \(f\) définie par :
\( f(x) = \frac{1}{x}\) pour \(x \in {R_0} \)
et \(f(0) = 0\)
D'une manière générale j'ai l'impression que toutes les fonctions \(f\) qui sont égales à leur réciproque \(f^{-1}\) fonctionnent, on peut aussi prendre \(f(x) = x\).
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Csdo » 21 août 2019, 17:45

Oui l'exo 1 semble mal posé ... Une hypothèse de continuité/dérivabilité/... qui manque ?
Spoiler :

Quoique même en rajoutant ça, on a f(x)=x qui marche toujours :lol:
CSDO 12-13
MP3 -> MP* -> MP* -> Supelec Gif

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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 21 août 2019, 20:17

C’était une question d’échauffement pour voir les fonctions que vous proposiez !
Si je la retrouve, il y aura une suite à cette question ...
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 21 août 2019, 21:56

Zhangmei je suis de retour 8)
Spoiler :

\(\prod^n_{i = 1} (a_i - x) = \sum^n_{i = 0} ((- 1)^ix^i\sum_{1\leq k_1 < k_2<...< k_{n - i} \leq n - i} a_{k_1} a_{k_2}...a_{k_{n-i}})\) ?

Le fait que Zrun dise que l'on voit ça en première année m'a fait penser à ces sommes avec plusieurs indices, que j'avais découvertes dans l'exercice 7 de la précédente planche d'”exercices pour bizuth” :mrgreen:
Je me suis sûrement gouré dans les notations mais je pense que dans l’idée je suis pas loin.

Prochain exercice :

Exprimer\(\cos{\frac{\pi}{24}}\) sous formes de radicaux (désolé je reste niveau fin terminale)
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 22 août 2019, 10:36

Alx-Auxpi c'est bien ça !

Exercice \(F_n=2^{2^n}+1\)
Spoiler :

F1.jpg
F1.jpg (316.31 Kio) Consulté 459 fois
F2.jpg
F2.jpg (287.83 Kio) Consulté 459 fois

Exercice \(\cos \frac{\pi}{24}\)
Spoiler :

On a \(\frac{\sqrt3}2=\cos\frac{\pi}6=\cos\frac{2\pi}{12}=2(\cos\frac{\pi}{12})^2-1=2(2(\cos\frac{\pi}{24})^2-1)^2-1\)
On doit donc résoudre : \(8(\cos\frac{\pi}{24})^4-8(\cos\frac{\pi}{24})^2-(\frac{\sqrt3}2-1)=0\iff 8X^2-8X-(\frac{\sqrt3}2-1)=0\) en posant \(X=(\cos\frac{\pi}{24})^2\)
On résout donc cette équation en prenant en compte la racine positive qui vaut \(X=\frac{2+\sqrt{2+\sqrt3}}4\). On en déduit la valeur cherchée (qui est positive) : \(\cos\frac{\pi}{24}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt3}}}2\).
Dernière modification par zhangmei le 23 août 2019, 08:42, modifié 2 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 22 août 2019, 10:37

Suite du 1)
On prend désormais \(a\in ]0,1[\) . On pose \(\phi(x)=ax+b\) . On cherche à résoudre \(f(f(x))=\phi(x)\) avec \(f\) dérivable et de dérivée continue .
a) Calculer pour \(x \in \mathbb{R}\) , \(\phi(\phi(...(\phi(x)...))\) où on applique \(n\) fois \(\phi\) (noté \(\phi^{(n)}(x)\))
b) Montrer que si \(a<0\), il n’y a pas de solution
c) Montrer que \(\phi^{(n)}(f(x))=f(\phi^{(n)}(x))\) , dériver et conclure

Bonne chance !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 22 août 2019, 16:26

La b) est violente.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 22 août 2019, 17:04

Pourquoi ?

Aussi, est-ce que vous arrivez à voir l'image que j'ai postée pour l'exercice 2 ? Il me semble que sur téléphone elle n'apparaît pas.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Csdo » 22 août 2019, 17:27

zhangmei a écrit :
22 août 2019, 17:04
Pourquoi ?

Aussi, est-ce que vous arrivez à voir l'image que j'ai postée pour l'exercice 2 ? Il me semble que sur téléphone elle n'apparaît pas.
Non les images chargent pas non plus pour moi (sur ordi là).

Pour l'exo du cosinus, il te manque un carré vers la fin de la 1e ligne (mais tu le prends en compte, je pense, pour développer derrière). Après, je pense que tu pouvais t'en sortir sans passer par la résolution du trinôme parce que ton cos était déjà sous une forme relativement factorisée
CSDO 12-13
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 22 août 2019, 17:32

zhangmei a écrit :
22 août 2019, 17:04
Pourquoi ?
C'etait juste parce que je galère dessus :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 22 août 2019, 17:59

Spoiler :

Dérive.

Je te laisse poster la solution de l'exercice ; j'ai du mal à choisir entre écrire en LaTeX sur téléphone et envoyer des photos qui ne sont pas visibles...
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 22 août 2019, 23:24

Au temps pour moi, j'avais oublié que l'on avait appris à dériver des composés :P
Spoiler :

a) \(\phi^{n}(x) = a^nx + b\frac{a^n - 1}{a - 1}\)

b)on a \(f(f(x)) = \phi(x)\), en dérivant on obtient \(f’(f(x))f’(x) = a\) On suppose par l'absurde \(a < 0\), alors cela signifie que \(f’(x)\) et \(f’(f(x))\) ne sont pas du même signe, ce qui doit sûrement être impossible mais je ne sais pas pourquoi :mrgreen:

c) Par récurrence :
Initialisation :
Pour \(n = 1\), on a \(\phi(x) = f(f(x))\) (*) donc \(\phi(f(x)) = f(f(f(x))) = f(\phi(x)) \)

Hérédité :
Supposons qu'il existe un entier \(k\) tel que \(\phi^{(k)}(f(x)) = f(\phi^{(k)}(x))\), montrons que \(\phi^{(k+1)}(f(x)) = f(\phi^{(k+1)}(x))\)
Par hypothèse de récurrence : \(\phi^{(k)}(f(x)) = f(\phi^{(k)}(x)) \Longleftrightarrow \phi^{(k + 1)}(f(x)) = \phi(f(\phi^{(k)}(x))) \Longleftrightarrow \phi^{(k + 1)}(f(x)) = f(f(f(\phi^{(k)}(x)))) \Longleftrightarrow \phi^{(k+1)}(f(x)) = f(\phi^{(k+1)}(x))\)(*) CQFD.

Soient \((\phi^{(n)}(x))’ = a^n\) et \(f’\) les dérivées de \(\phi^{(n)}\) et \(f\)

On dérive les deux composées, leurs dérivées sont égales :
\((\phi^{(n)}(f(x)))’ = a^nf’(x)\)
\((f(\phi^{(n)}(x)))’ = a^nf’(\phi^{(n)}(x))\)

Ainsi, \(f’(x) = f’(\phi^{(n)}(x)) \Longleftrightarrow \phi^{(n)}(x) = x\),
\(\phi(x) = x\) est la seule fonction \(\phi\) telle que l'on ait \(\phi^{(n)}(x) = x\) pour tout \(n\)
Donc la fonction \(f(x) = x\) est solution.

Notons que toutes les fonctions de type \(f(x) = b\) fonctionnent aussi.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 23 août 2019, 08:58

Spoiler :

Pour la b), s'il existe \(x_0\) tel que \(f'(x_0)=0\), alors c'est terminé puisque le produit est nul (et \(a\)strictement négatif). Sinon, comme \(f'\) est continue par définition, \(f'\) est de signe constant (supposons positif). Cela implique \(f'(f(x))<0\)quelque soit \(x\). Il suffit alors de considérer \(f(x_1)=b\) : on devrait avoir \(f'(f(x_1))<0\) et \(f'(b)>0\), ce qui est absurde.
Normalement la solution pour l'exercice 2 est maintenant disponible dans mon post qui y est dédié.
Dernière modification par zhangmei le 23 août 2019, 09:47, modifié 1 fois.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 23 août 2019, 09:00

Pour la b), utilises les hypothèses sur la dérivée de f
Pour la c), c’est faux à partir de \(x=\phi^{(n)}(x)=x\), tu n’as pas le droit d’écrire ça car tu pourrais très bien avoir deux réels distincts qui ont la même image par \(f’\) .
Mais tu est sur la bonne voie ! Il faut arriver à utiliser le fait que \(0<a<1\)
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Miltøn » 23 août 2019, 14:41

zhangmei a écrit :
20 août 2019, 18:44
Spoiler :

Tu cherches effectivement une factorisation de ce style :P. Effectivement il n'existe pas de factorisation en fonction de \(a\) et \(b\) pour \(a^n+b^n\)avec \(n\) pair.
Spoiler :

Si, dans \(\mathbb{Z}\). :smirk:
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Alx-Auxpi » 23 août 2019, 14:51

zhangmei a écrit :
23 août 2019, 08:58
Spoiler :

Pour la b), s'il existe \(x_0\) tel que \(f'(x_0)=0\), alors c'est terminé puisque le produit est nul (et \(a\)strictement négatif). Sinon, comme \(f'\) est continue par définition, \(f'\) est de signe constant (supposons positif). Cela implique \(f'(f(x))<0\)quelque soit \(x\). Il suffit alors de considérer \(f(x_1)=b\) : on devrait avoir \(f'(f(x_1))<0\) et \(f'(b)>0\), ce qui est absurde.
Habile 8)

Non, désolé Zrun je ne vois pas...
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 23 août 2019, 15:10

Spoiler :

Tu as du \(a^n\), passe à la limite en \(+\infty\) :)
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 23 août 2019, 15:18

Zhangmei tu peux réfléchir à l’exo 3) que j’ai posté , il est pas mal .
Après le 4), c’est un truc qu’il est bon d’avoir déjà fait car ça traîne souvent dans les exos ...
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 24 août 2019, 14:13

Zrun a écrit :
21 août 2019, 15:25

3) Soit \(X\) une partie non vide de \(\mathbb{R}\) (c’est à dire un ensemble de nombres réels) . On suppose que si \(a \in X\) et \(b \in X\) alors \(\sqrt{ab} \in X\).
On prend \(a \in X\) et \(b \in X\). Soit \(x \in [a,b]\). Montrer qu’il existe une suite \((x_n)\) d’éléments de X qui tend vers x .
Spoiler :

Remarquons d'abord que si \(a\) et \(b\) sont de signe opposé, \(\sqrt{ab}\) n'est pas défini. Par ailleurs, si on a \(a,b<0\), \(\sqrt{ab}\) est bien défini mais n'appartient pas à \([a,b]\) et on ne peut plus construire d'élément de \(X\) appartenant à cet intervalle. De même, si un des deux réels est nul, \(\sqrt{ab}\) est nul, donc excepté le cas où \(x\) est nul, on ne peut pas construire une suite d'éléments de \(X\) qui tend vers \(x\).

On travaille donc désormais sur \(\mathbb{R_0^+}\). On peut supposer par symétrie \(x\leq \frac{a+b}2\). Construisons une suite \((x_n)\) d’éléments de \(X\) qui tend vers \(x\). On pose \(x_1=\sqrt{ab}\). On a bien \(x_1\in[a,b]\).

Si \(x_1\geq x\), on prend \(x_2=\sqrt{ax_1}\) et tant qu'on a \(x_i\leq x\), on continue de considérer \(x_{n+1}=\sqrt{ax_n}\). On remarque, sachant que \(a\leq x_n\), qu'on a : \(ax_n\leq x_n^2\), soit \(\sqrt{ax_n}\leq x_n\) c'est-à-dire \(x_{n+1}\leq x_n\), donc \((x_n)\) est décroissante. De plus, elle est minorée par \(a\). \((x_n)\) converge vers \(l\), vérifiant \(l=\sqrt{al}\iff l=a<x\). On en déduit qu'il existe \(N\) dans \(\mathbb{N}\) tel que \(x_N\leq x\). On considère alors le plus petit entier \(N\) vérifiant cette propriété. Le prochain terme de la suite que nous considérons est alors \(x_{N+1}=\sqrt{x_Nx_{N-1}}\in[x_N, x_{N-1}]\). Dès lors si on a \(x_{N+1}\leq x\), on prend comme prochain terme de notre suite \(\sqrt{x_{N+1}x_{N-1}}\). Sinon, on prend \(\sqrt{x_{N+1}x_N}\). En répétant cette opération on a démontré l'existence d'une suite \((x_n)\) d’éléments de \(X\) qui tend vers \(x\).


Si \(x_1\leq x\), on considère \(x_2=\sqrt{bx_1}\) puis \(x_{n+1}=\sqrt{bx_n}\). Cette suite \((x_n)\) converge vers \(b>x\), il existe donc \(N'\) dans \(\mathbb{N}\) tel que \(x_{N'}\geq x\). On considère \(N'\) minimal et on réétablit l'opération effectuée dans le cas précédent, ce qui permet de conclure.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 24 août 2019, 14:38

Oui bon évidemment c’était une partie convenable .
C’est la bonne idée , en fait , c’est une sorte de dichotomie juste .
On dit dans ce cas que X est dense dans [a,b].
Question bonus : Existe-t-il forcément un nombre irrationnel dans X ?
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 24 août 2019, 15:28

Zrun a écrit :
24 août 2019, 14:38
Question bonus : Existe-t-il forcément un nombre irrationnel dans X ?
Spoiler :

Non, il suffit de réduire \(X\) à un singleton d'un rationnel.

Si \(X\) a deux éléments, alors en prenant \(0\) et \(1\) dans \(X\), il n'existe pas d'irrationnel dans \(X\).

On se place maintenant dans le cas où \(X\) a au moins deux éléments (et \(X\) est distinct d'un ensemble à deux éléments \(0\) et \(r\)\(r\) est un rationnel). Soient \(a,b \in X\). On rappelle que \(\sqrt n\) est rationnel si et seulement si \(n\) est un carré parfait, et dans ce cas \(\sqrt n\) est entier. Si \(a\) et \(b\) ne sont pas entiers et sont tels que \(x=\sqrt{ab}\) est entier, alors \(\sqrt{xa}\) n'est pas entier, car \(xa\) n'est pas entier donc a fortiori n'est pas un carré parfait. On suppose désormais \(a, b \in\mathbb{N_0}\). Si \(a\) et \(b\) sont premiers entre eux, \(ab\) n'est pas un carré parfait. Il existe donc \(p\) premier tel que \(p\) divise \(a\) et \(b\). On écrit \(x_0=p^lA\) et \(b=p^kB\) avec \(l=v_p(x_0)\), \(k=v_p(b)\) et \(A, B\) des entiers non nuls. \(ab\) est un carré parfait implique \(\frac{l+k}2\) entier. On obtient un entier de la forme \(x_1=p^{\frac{l+k}2}C\), \(C\) entier. Par une récurrence simple, on obtient que les éléments de \(X\) que l'on construit en considérant \(x_{i+1}=\sqrt{x_0x_i}\) sont entiers si et seulement si \(\frac{(2^n-1)l+k}{2^n}\) est entier, ce qui équivaut à \(2^n\) divise \((2^n-1)l+k\), soit \(2^n\) divise \(k-l\) quelque soit l'entier naturel \(n\), ce qui est impossible. On en déduit qu'il existe forcément un nombre irrationnel dans X.
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par Zrun » 24 août 2019, 17:02

Bravo tu viens de résoudre un exo d’ENS Rennes de cette année !
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Re: Exos pour futurs bizuths v2

Message par zhangmei » 24 août 2019, 17:47

Merci, c'était sympa comme exo !
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