Exos pour futurs spés

Questions d’ordre mathématique et petits défis
Règles du forum
Pas d’aide aux devoirs de lycée ! ;-)
Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 08 juin 2018, 22:50

Bonsoir ,
Suite à ma discussion avec Zrun , on crée un petit sujet pour partager nos petits exos de colles qu'on a bien apprécié, ou un exercice 'classique' qui nous semble vraiment important , pour bien renforcer notre maîtrise de la sup. Le principe est simple , chacun poste un exercice , le thème de l'exo et éventuellement le kholleur qui lui a donné cet exercice ( si il est issu d'une colle) . Celui qui résout l'exercice doit en poster un nouveau! Ce topic est réservé en priorité aux sups actuels et éventuellement bizuths très doués , mais on ne dira pas non à l'aide ou aux éclaircissements d'un ancien si on galère! :lol: :lol:
De préférence et pour plus de lisibilité , les réponses et les énoncés devront être écrits en latex ( sur un autre site étant donné que le latex du forum ne marche pas , puis postés ici). Si toutefois l'énoncé ou la réponse à l'exercice ne nécessite pas de latex , on pourra se contenter d'une écriture normale :D . J'espère que vous serez nombreux à vous joindre à nous!
Je commence donc!
Exercice 1
Thème : Les nombres complexes.
Prouver que (3+4i)/5 n'est jamais une racine énième de l'unité.
Kholleur Pellerin
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 08 juin 2018, 23:25

Je ne vois pas comment écrire en latex sur un autre site permet d’écrire en latex ici.

Sinon la solution de l’exercice 1 :

Posons (3+4i)/5 = e^ia et par l’absurde supposons qu’il existe n>1 tel que (3+4i)/5 soit racine n-ieme de l’unité . Alors on a cos(a)= 3/5 car le complexe est de module 1 et d’autre part , d’après Moivre, cos(na)=1 .
Introduisons les polynômes de Tchebychev (Tn) définies par Tn(cos(a))=cos(na) . Il est classique que cette suite de polynômes est une suite de Z[X] et de coefficients dominants 2^(n-1) . Alors on a 1=cos(na)=2^(n-1)* cos(a)^n + b_{n-1,n} cos(a)^(n-1) + ... + b_{0,n-1} , d’où avec cos(a) =3/5 et en multipliant l’égalité par 5^n , 5 divise 2^(n-1) * 3^n , contradiction ...

C’est horrible sans LaTeX !!

Je poste un exo demain
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 08 juin 2018, 23:41

L'idée aurait été de prendre un screen , de découper et de poster le résultat en spoiler.
Bien joué !
Question subsidiaire :
On peut démontrer plus généralement que cos (pi*r) avec r un rationnel , est rationnel si et seulement si cos(pi*r)=0,1/2,1.
On pourra commencer par démontrer l existence d'un polynôme à coefficients entiers tel que Tn(2cos(x))=2cos(nx)
Dernière édition par Mamoun le 09 juin 2018, 00:17, édité 1 fois.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Avatar de l’utilisateur
tphi
Chancelier suprême
Messages : 5868
Inscription : 28 août 2010, 20:15
Localisation : Dans une tour de contrôle

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar tphi » 08 juin 2018, 23:56

Mamoun a écrit :L'idée aurait été de prendre un screen , de découper et de poster le résultat en spoiler.
Bien joué !
Question subsidiaire :
On peut démontrer plus généralement que cos (pi*r) avec r un rationnel , est rationnel si et seulement si cos(pi*r)=0,1/2,1.
On pourra commencer par démontrer l existence d'un polynôme à coefficients entiers tel que Tn(cos(2x))=2cos(nx)


J'avais eu un DS de sup là dessus...
 Administrateur galactique du forum.
 MPSI2 ➝ XM2.

«Le désespoir n'est pas une idée; c'est une chose, une chose qui torture, qui serre et qui broie le cœur d'un homme comme une tenaille, jusqu'à ce qu'il soit fou et se jette dans la mort comme dans les bras d'une mère» (Alfred de Vigny, 1835)

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 00:15

C'est relativement simple si on sait où on va :mrgreen: .
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 07:30

Pour pas t’ennuyer Mamoun, voici un petit exo, j’espère que tu ne le connais pas .
Exercice 2

Colleur: M. San Saturnino
Soient f et g deux applications linéaires de E , C-ev de dimension finie . On suppose qu’il existe deux complexes a et b tels que fog-gof=af+bg. Montrer que f et g ont un vecteur propre en commun .

Edit(suite à la remarque de thiuop) : on démontrera tout résultat non trivial utilisé , même si c’est au programme de spé..
Dernière édition par Zrun le 09 juin 2018, 09:27, édité 1 fois.
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
thuiop
Secrétaire d’État chargé de la Modération
Messages : 1707
Inscription : 04 avr. 2016, 20:19

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 09 juin 2018, 08:06

Assez connu ce genre d'exo (quoique si l'on n'a pas encore fait la réduction...)
"Vous avez toute la grâce d'un aigle ... qui pilote un dirigeable" GLaDOS
2013-2016 : Lycée Pierre-Paul Riquet
2016-2017 : MPSI1
2017-2018 : MP*
PPB, the last newspaperbender.

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 09:25

thuiop a écrit :Assez connu ce genre d'exo (quoique si l'on n'a pas encore fait la réduction...)

En sup c’est assez dur quand même juste avec la définition d’un vecteur propre et qu’un endomorphisme u est diagonalisable ssi l’espace E est la somme des sous-espaces propres de u ... :?
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 09:32

Si tu as eu ça en colle, vous avez donc fait le cours sur la réduction avec Mr Ginoux, non ?
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 09:33

Juste sur les théorèmes que j’ai écrit un message plus haut : définitions , polynôme caractéristique et définition de la diagonalisabilité ...

Solution question subsidiaire:
Spoiler :

B4FFEC35-555F-446B-8341-C9C5E47A0AD0.jpeg
Cos(pi r)
B4FFEC35-555F-446B-8341-C9C5E47A0AD0.jpeg (348.04 Kio) Consulté 349 fois
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 11:07

Spoiler :

Exx 2.png
Exx 2.png (33.13 Kio) Consulté 343 fois

Exercice 3
Soit u un endomorphisme de E( de dimension finie) de trace nulle. Montrer que il existe a et b deux endomorphismes de E telle que u=ab-ba
Source: DS
Spoiler :

Montrer par récurrence que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.( on pourra commencer par montrer que u n'est pas une homotethie puis prouver l existence de x tel que (x,u(x)) soit libre)
Puis en considérant D une matrice diagonale( à diagonale distincte) montrer que l application lineaire M-> MD-DM est surjective sur le sev des matrices de diagonale nulle
Dernière édition par Mamoun le 09 juin 2018, 12:04, édité 3 fois.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

rolas31
Conseiller départemental
Messages : 113
Inscription : 07 juil. 2017, 12:49
Localisation : Tournefeuille

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar rolas31 » 09 juin 2018, 11:27

On l'a eu en DM celui-là (avec pas mal de questions intermédiaires :mrgreen: )
2017-2018 : MPSI2 (Tous des Dieux !) - Pi-Quart

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 11:30

rolas31 a écrit :On l'a eu en DM celui-là (avec pas mal de questions intermédiaires :mrgreen: )

On l'avait eu en td ( avec 0 questions intermédiaires) puis en ds avec 2 questions intermédiaires que je rajouterais en spoiler :!: .
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 11:49

Je laisse l’exercice 3 à ceux qui ne le connaisse pas , comme l’a dit rolas, on l’a déjà eu en DM ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 12:26

J'espère qu'un mp1 passera par là du coup! Sinon tant pis je changerais l'exo....
Pour la question subsidiaire on aurait pu conclure de manière plus simple moyennant la petite manipulation suivante
Spoiler :

Alternative.png
Alternative.png (17.17 Kio) Consulté 329 fois
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 17:40

J’aime la fin de ta solution , c’est plus subtil ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 13:02

C'est la raison pour laquelle on a pas introduit les polynomes de Tcheybichev mais plutot ceux là.
Je laisse l'exo 3 en attente car nous sommes deux classes à l'avoir déjà fait et j'en propose un autre :D .
Exercice 3 bis
Thème : Polynomes
Soit P et Q deux polynomes tel que :
P et Q ont les memes racines
Il existe un complexe a non nul tel que (P-a) et (Q-a) ont les memes racines.
Montrer que P=Q
Kholleur : Bayle
Dernière édition par Mamoun le 10 juin 2018, 14:17, édité 1 fois.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Avatar de l’utilisateur
thuiop
Secrétaire d’État chargé de la Modération
Messages : 1707
Inscription : 04 avr. 2016, 20:19

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 10 juin 2018, 14:10

a est non nul je suppose...
"Vous avez toute la grâce d'un aigle ... qui pilote un dirigeable" GLaDOS
2013-2016 : Lycée Pierre-Paul Riquet
2016-2017 : MPSI1
2017-2018 : MP*
PPB, the last newspaperbender.

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 14:16

thuiop a écrit :a est non nul je suppose...

Mea culpa :mrgreen: . A la base a valait 1 mais la valeur de a nous importe assez peu finalement ( sauf qu'ils soit non nul bien sur :roll:).
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Csdo
Conseiller constitutionnel
Messages : 3040
Inscription : 03 août 2015, 20:08
Localisation : Sous le soleil

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Csdo » 10 juin 2018, 15:03

Si a est nul ça marche aussi :mrgreen:
CSDO 12-13
MP3 -> MP* -> MP* -> Supelec Gif

Avatar de l’utilisateur
thuiop
Secrétaire d’État chargé de la Modération
Messages : 1707
Inscription : 04 avr. 2016, 20:19

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 10 juin 2018, 15:13

Ben non clairement xD
"Vous avez toute la grâce d'un aigle ... qui pilote un dirigeable" GLaDOS
2013-2016 : Lycée Pierre-Paul Riquet
2016-2017 : MPSI1
2017-2018 : MP*
PPB, the last newspaperbender.

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 15:14

thuiop a écrit :Ben non clairement xD

Je pense que c'était ironique :wink:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 11 juin 2018, 20:30

Solution 3bis
Spoiler :

80B7099D-5BBE-419F-A09B-B002820DDB91.jpeg
80B7099D-5BBE-419F-A09B-B002820DDB91.jpeg (423.08 Kio) Consulté 221 fois


Exercice 4
Source: ODLT

Soit K un corps . On note K*^2 ={x*x, x dans K*}. On dit qu’un morphisme de groupe R est une racine carrée ssi pour tout x dans K*^2 , R(x)^2=x .

Existe-t-il une racine carrée dans R, C,Q, Z/pZ ? Est-elle unique ?
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 14 juin 2018, 00:56

Insomnie quand tu nous tiens :lol: :lol: :lol: ..... ( Vu l'heure j'ai peut être dit quelques bêtises :roll: )

Solution exo 4
Spoiler :

Racine.png
Racine.png (78.39 Kio) Consulté 182 fois

Pour Q , on définit e l application qui à un nombre premier p associe 1 ou -1(arbitrairement) Et pour tout x dans Q : e(x) = produit des e(p)^(v_pi) ( avec x=produit des pi^(v_pi)
L application r tq r(x^2)=x*e(x) convient.
La vérification est laissée au lecteur 8) .


Exercice 5
Théme: Densité ( mais pas forcèment)
Source : Réadaptation :mrgreen:
Un professeur corrige les copies de ses 2n+1 élèves. Après avoir harmonisé les notes pour avoir une moyenne de 10 , il garde uniquement la partie entière de chaque note de car il aime les chiffres ronds :mrgreen: :mrgreen: . ( Les notes sont donc dans N)
Il remarque que quelque soit la copie qu'il enléve , il peut partitionner le reste des copies en 2 tas de n copies , telle que la somme des notes du premier paquet est égale à la somme des notes du deuxième paquet.
1- Montrer que tous les élèves ont eu la même note
Finalement il décide de garder les notes sans modification ( les notes sont donc dans R)
Là aussi Il remarque que quelque soit la copie qu'il enlève , il peut partitionner le reste des copies en 2 tas de n copies , telle que la somme des notes du premier paquet est égale à la somme des notes du deuxième paquet.
2- Montrer que tous les élèves ont eu la même note
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Avatar de l’utilisateur
Dⓐ Яøʊƭ
Icon Diluvii
Messages : 9032
Inscription : 10 août 2015, 14:38
Localisation : Rennistan

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 15 juin 2018, 11:24

Les rugbymens ont été recontextualisés à ce que je vois :lol:
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
« Le seul Plébéien à avoir posté dans le coin des Modos » — Milton
Fidèle à lui-même en
MPSI3 [Rendering math]\leadsto XM1 [Rendering math]\leadsto MP* [Rendering math]\leadsto ENS Rennes

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 15 juin 2018, 13:50

Dⓐ Яøʊƭ a écrit :Les rugbymens ont été recontextualisés à ce que je vois :lol:

Il faut coller à la prépa :wink: .
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat

Zrun
Conseiller régional
Messages : 235
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 16 juin 2018, 14:53

Tu m’as bien dis que c’était interdit d’utiliser les matrices pour l’exo non Mamoun ?
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 536
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 16 juin 2018, 15:11

Zrun a écrit :Tu m’as bien dis que c’était interdit d’utiliser les matrices pour l’exo non Mamoun ?

Je trouve la solution avec la densité plus naturelle ( quoique plus technique et plus compliquée) . Mais si tu veux fais le avec les matrices. Mais résous le cas des notes entiers sans quand meme , c'est assez joli comme démo ! :wink:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat


Revenir vers « Forum maths »

Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 1 invité