Besoin d'aide (diagonalisation sale pour spés acharnés)

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Besoin d'aide (diagonalisation sale pour spés acharnés)

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 19 juin 2018, 13:54

Coucou tout le monde !

Je suis bien embêté, dans le cadre de mon stage je devrais diagonaliser une matrice de Toeplitz somme toute assez simple, mais je n'y arrive pas.

EDIT: c'est pas ça deux secondes je corrige
Spoiler :

[Rendering math]M_ij = \rho^(i+j-2)
M_ij = \rho^(i+j-2) (en attendant que le tex fonctionne...)
En gros une matrice symétrique où la i-ème diagonale vaut rho puissance i - 1 (donc rho n-1 dans les coins sup droit et inf gauche)

EDIT2: la bonne matrice
Spoiler :

C'est une matrice symétrique. Diagonale principale: 1, deuxième diagonale: rho, troisième: rho^2... etc. (et ensuite symétrie)
En gros en montant dans le triangle supérieur on multiplie par rho, itou en descendant dans le triangle inférieur.
ex: en dim 4:
1 r r2 r3
r 1 r r2
r2 r 1 r
r2 r2 r 1

Je ne suis plus du tout chaud pour ce genre de trucs et je bute dessus (internet m'aide pas). J'ai essayé de ramener à des calculs par blocs (n'ai rien trouvé d'astucieux, p'têt que vous oui), à une matrice de Vandermonde (oui, bon...), trouver une relation de recurence, calculer explicitement le poly caractéristique, rien à faire...

Du coup si vous avez envie de vous faire plaisir x) ... N'hésitez pas ! ;)
Dernière édition par Dⓐ Яøʊƭ le 19 juin 2018, 16:42, édité 3 fois.
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Re: Besoin d'aide (diagonalisation sale pour spés acharnés)

Messagepar thuiop » 19 juin 2018, 14:45

La matrice est de rang 1 (la deuxième ligne est rho * la première etc..) donc son noyau est de dimension n-1 donc 0 est valeur propre de multiplicité n-1 (car M est diagonalisable vu le théorème spectral). Pour déterminer la valeur propre manquante, on résoud le système MX = lambda*x où lambda est non nul. On trouve (sauf erreur de calcul) lambda = 1 + rho^2 + ... + rho^(2n-2) pour X = (1 rho ... rho^(n-1)).
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Re: Besoin d'aide (diagonalisation sale pour spés acharnés)

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 19 juin 2018, 16:36

AH FUCK J'AI PAS DONNE LA BONNE DEFINITION >___<

Okay donc en fait:
C'est une matrice symétrique. Diagonale principale: 1, deuxième diagonale: rho, troisième: rho^2... etc. (et ensuite symétrie)
En gros en montant dans le triangle supérieur on multiplie par rho, itou en descendant dans le triangle inférieur.
ex: en dim 4:
1 r r2 r3
r 1 r r2
r2 r 1 r
r3 r2 r 1
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