Quelques exos

[Jimge]

Je m'ennuie, donc je donne des exos faisables (difficultés croissantes)

Mq il existe une infinité de nombres premiers.

Mq une composée de fonctions bijectives est bijective

Mq il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (pour ceux aimant l'arithmétique) (pas facile )
ou
Donner l'expression de la symétrie d'axe AB dans le plan complexe (A d'afixe a, B d'affixe b)

[maxime_eduardo]

si tu tennuis comme ca, tu veux pas reviser les maths et lhistoire pour moi vite fait
[b]

[Jeremy]

Euh oui l'histoire surtout lol et l'espagnol à la rigueur ça me dérangerait pas

[MarieJ]

Voiu, chuis bien d'accord, l'histoire et la géo surtout et tu viens passer le bac à ma place ...

[maxime_eduardo]

on est daccord ... je persevere dans mon apreciation

neglige la matiere par pure strategie

dixit ma prof despagnol sur mon bulletin du T3 ^^

[MarieJ]

Oui mais l'espagnol ... je me demande bien QUI le révise ... surtout le même jour que les maths ! Éventuellement quelques personnes vont relire leurs cours ... mais bon, c'est tout! Ce n'est plus de la négligence, là, c'est de la normalité .

[MarieJ]

bon ... il paraît que flooder ici, c'est maaaaaaal ...
Alors je vais résoudre le premier :
Si il existe un nombre fini de nombres premiers (n) : x1,x2,x3, ... ,xn
Soit X = x1x2x3*...*xn+1
Xi n'est pas premier. Donc il possède au moins un diviseur premier, c-a-d l'un des x1,x2,x3, ... . Soit xi ce diviseur premier.
xi]X (c'est le symbole "divise " )
xi]x1*x2*x3*...*xn
Donc xi]X-x1x2x3...xn
xi]1

Impossible donc l'ensemble des nombres premiers est fini .

Et voilà, je vais devoir réviser ce roc j'ai encore eu besoin de mon cours ... zut .

[MarieJ]

Bon , allez, soyons fous ...

Mq il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (pour ceux aimant l'arithmétique) (pas facile )


n=4k+3 où k appartient à N et n est un nombre premier.
n+4q congru à 3 modulo 4.
Donc il faut que quel que soit n il existe q appartenant à N tel que n+4q est premier.
4k+3+4q doit être premier sachant que 4k+3 est premier.

Si q n'existe pas. Alors quel que soit k, 4k+3+4q n'est jamais premier.
Donc cherchons q tel que 4k+3+4q soit premier.

Et là j'y arrive paaaass .... .

[Yaz]

Je passe le BAC et j'attaque ..

[Nicolas]

La même, après le bac j'm'y mets. Et ça va chier

[MarieJ]

Bon ok ... après le abc je m'y mets aussi sérieusement ... du moins pour l'exercice trois, le deux est trivial ...

[Yahr]

Je pense avoir trouvé l'écriture complexe de la symétrie d'axe AB, on pose le système {s(A)=A
{s(B)=B
On résoud et on trouve z'=[(b-a)|(/b-/a)]/z+(a/b-/ab)/(/b-/a) sachant que /x signifie "x barre" et que | est le signe diviser

[MeIdmry]

C'est un truc comme ça en effet

[P loup]

Pour l'exo 3

Mq il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (pour ceux aimant l'arithmétique) (pas facile )

3 est congrus a 3 modulo 4
Soit l'ensemble E fini contenant tous les nombres Pk, premiers inférieurs ou égaux à Pn, avec Pn le plus grand nombre premier vérifiant Pn congru à 3 modulo 4
Soit le nombre
P1*P2*P3*...*Pn + 1
= 2*P2*P3*...*Pn + 1
tous les Pk supérieurs à 2
Pk = 2a+1, sinon Pk n'est pas premier
Donc, P2*P3*...*Pn = (2a+1)*(2b+1)*...*(2c+1) = 2*d+1
2*P2*P3*...*Pn + 1 = 4d + 3
Or, 2*P2*P3...*PN+1 est premier
Donc l'ensemble E ne peut être fini.
Il existe une infinité de nombre premiers vérifiant la relation P congrus à 3 modulo 4

[Jimge]

Or, 2*P2*P3...*PN+1 est premier

Atchoum !

Qui te dit que ton nombre n'est pas le produit de 2 nombres ^premiers congrus à 1 mod 3, supérieurs à ton PN ?
Tu es pas loin, mais c'est un peu plus subtil.

[P loup]

oups, j'avais oublié ce détail
je mettai trop appuyé sur le ROC de l'exo 1
a t'on le droit d'utiliser des conjectures connues pour la démonstration?

[Jimge]

comme par exemple ?

(tout peut se faire avec des outils que vous pouvez utiliser, je vais envoyer la solution à meidmry pour qu'il puisse valider quand quelqu'un aura trouvé )

[P loup]

je réfléchissait à une démonstration par la conjecture de Golbach
Mais j'arrive à une impasse pour l'instant

[Jimge]

Tsss. Tout entier est moyenne de deux nombres premiers ... ça sert pas ^^

Pas de Goldbach, essaye avec ce que tu connais
PS : la conjecture de goldbach n'est pas ce que j'appellerais une conjecture "connue", puisqu'elle dépend de la conjecture de Riemann, non démontrée. Toute démontration l'utilisant dépend donc de la validité de la conjecture de Riemann, et c'est très légèrement bourrin dans ce cas simple. J'aurais à la limite dit "fais ce que tu veux" si tu m'avais sorti un truc du style "conjecture de fermat", qui est démontré (théorème de fermat-wiles)... mais utiliser du non-démontré.... non.



Pour la culture, la proportion de premiers congrus à 1 ou 3 mod 4 est asymptotiquement moitié moitié, mais je ne vous le demande pas, c'est déjà assez dur de montrer l'existence d'une infinité congrus à 1 mod 4 ... 3 mod 4 c'est "facile" relativement...

edit : j'ai trouvé autre chose, quand vous aurez fini sur les congrus à 3 mod 4 , je regarde d'abord si c'est faisable:

Montrer que si p premier divise x² +1 avec x dans Z, alors p = 2 ou p congru à 1 mod 4 (utiliser le petit théorème de Fermat). En déduire l'existence
d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 modulo 4.

C'est tiré d'une feuille d'exos de l'ens lyon pour la péparation à l'agrèg, je m'y mets

re-édit : bon je sais pas *vraiment* si c'est de votre niveau... je l'ai fait, avec des outils que vous connaissez, mais franchement je dirai pas que vous puissiez le faire sans plus d'indication... Je rajoute des questions intermédiaires :

*Mq x est un carré dans Z/pZ ssi x^{(p-1)/2} congru à 1 mod p. (utiliser Fermat, Lagrange éventuellement,et finalement je sais pas si vous pouvez le faire ^^) (au pire, admettez ce point)
*En déduire que si -1 est un carré dans Z/pZ, alors p congru à 1 mod 4.
*En déduire que que si p premier divise x² +1 avec x dans Z, alors p = 2 ou p congru à 1 mod 4
*En déduire l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 mod 4

Exercice 22.
a) Montrer que si p premier divise x2 +1 avec x dans Z, alors p = 2 ou p congru à 1
(mod 4) (utiliser le petit theoreme de Fermat). En deduire l'existence
d'une infinite de nombres premiers congrus a 1 modulo 4.
b) Montrer que si p premier divise x^4 - x^2 + 1 avec x dans Z, alors p congru à 1
(mod 12).
c) Soit m >= 2 un entier et p un nombre premier ne divisant pas m. Montrer
que la reduction du polyn^ome X^m -1 n'a que des racines simples dans
Z/pZ.
d) Supposons de plus que p divise phi_m(a) avec a de Z, où phi_m est dans Z[X] est le
m-ieme polyn^ome cyclotomique. Montrer que l'ordre de a dans (Z/pZ)*
vaut m, et en déeduire que p congru à 1 (mod m).
e) Utiliser la question precedente pour montrer qu'il existe une infinite de
nombres premiers congrus a 1 modulo m. Cette preuve est attribuee a
Euler par Dickson (History of the Theory of Numbers, Vol. I : Divisi-
bility and Primality, 1919).

[P loup]

Bon, donc d'abord on finit les premiers congrus a 3 mod 4
Soit l'ensemble E des premier congrus à 3 mod 4 et Pn le plus grand nombre de cette ensemble
Soit le nombre A= (Pn + 5)!
Les entiers compris entre A + 2 et A + Pn + 5 ne sont donc pas premiers
Pn = 4n + 3
ET A + Pn + 5 = 4k
OR, selon la conjecture de Golbach chaque nombre pair est la somme de deux nombres premiers
Donc 4k = Pj + Pq
Or, Pj< Pq < A + 2
donc Pn + 3 < Pj < Pq < A + 2
Pj et Pq ne peuvent qu'être congrus à 1 ou à 3 mod 4
Si Pj congrus à 1 mod 4, Pq congrus à 3 mod 4, ou Pj congrus à 3 mod 4
Donc il existe Pj ou Pq congrus à 3 mod 4 qui sont supérieures à Pn
incohérence
L'ensemble E n'estdonc pas fini.

[Jimge]

[*quote="P loup"]Or, Pj< Pq < A + 2[/quote]
gnééééé ?

qui te dit que tes deux nombres premiers ne sont pas x-7 et 7 ? (x=4k) on a des sommes, pas des produits...on ne sait *rien* des nombres pj et pq.

Essaye sans Goldbach, ce sera plus simple...

edit : bim, j'avoue, j'ai dit une bêtise...

[P loup]

Soit le nombre A= (Pn + 5)!
Les entiers compris entre A + 2 et A + Pn + 5 ne sont donc pas premiers
A = 2*3*4*...*Pn + 5
A + 2 = 2* ( 1 + 3*4*...*Pn + 5 )
A + 3 = 3* (1+ 2*4*...*Pn + 5)
...
A + Pn + 5 = ( 1 + 2*3*4*...* Pn + 4)
Donc les nombres compris entre A+2 et A +Pn+5 ne sont pas donc pas des nombres premiers.
ENfin, moi je ne vois pas d'incohérence la dedans.

[P loup]

étant donné que A + Pn + 5 = 4k
alors Pj ne peut être supérieur à A + Pn + 1
Pq non plus
Pn + 3 < Pj< Pq< A+ 2
ET je préferais Golbach

[Jimge]

Ok, je valide l'argument, au temps pour moi.
Maintenant, je ne valide la preuve que si tu démontres goldbach.

edit :

[P loup]

assassin!!!!!!!!!!!!!!!
Bon, d'accord, je reprend mes arguments.

[P loup]

Pour l'exo 3

Mq il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 modulo 4 (pour ceux aimant l'arithmétique) (pas facile )

3 est congrus a 3 modulo 4
Soit l'ensemble E fini contenant tous les nombres Pk, premiers inférieurs ou égaux à Pn, avec Pn le plus grand nombre premier vérifiant Pn congru à 3 modulo 4
Soit le nombre
P1*P2*P3*...*Pn + 1
= 2*P2*P3*...*Pn + 1
tous les Pk supérieurs à 2
Pk = 2a+1, sinon Pk n'est pas premier
Donc, P2*P3*...*Pn = (2a+1)*(2b+1)*...*(2c+1) = 2*d+1
2*P2*P3*...*Pn + 1 = 4d + 3

Jusque là , t'es d'accord?

Or, 2*P2*P3...*PN+1 est premier

Atchoum !

Qui te dit que ton nombre n'est pas le produit de 2 nombres ^premiers congrus à 1 mod 3, supérieurs à ton PN ?
Tu es pas loin, mais c'est un peu plus subtil.

Je suis d'accord, 2*P2*P3...*PN+1 n'est pas forcément premier
2*P2*P3...*Pn+1 = 4d + 3
OR, il n'est pas divisble par des facteurs premiers inférieur ou égaux à Pn + 3
Soit X1, X2, ... Xk la listes des facteurs premiers de 2*P2*P3...*PN+1
X1^n * X2^m * ... Xk^k = 2*P2*P3...*PN+1
X1^n * X2^m * ... Xk^k est congrus à 1^n * 1^m * ... * 1^k mod 4
X1^n * X2^m * ... Xk^k est congrus à mod 4, ce qui est impossible
Donc, il existe au moins un Xi supérieur à Pn qui soit congrus à 3 mod 4, Xi étant un facteur premier de 2*P2*P3...*Pn + 1
Xi > Pn et Xi appartient à E
incohérence. L'ensemble E est infini
Il existe une infinité de nombres premiers congrus à 3 mod 4

[P loup]

j'espère que cette demonstration te plait un peu plus, même si elle manque un peu de subtilité

[Jimge]

Manque de subtilité ?
Nan, c'est bien.

Ca me plait. Alternativement, tu pouvais regarder le nombre (2*(produit de tous les premiers congrus à 3 mod 4) +1), et faire pareil.
En fait, pour la preuve de l'infinité des nombres premiers, on considère un nombre utilisé avec leur ensemble... ici c'est pareil, mais dans ta preuve tu utilises beaucoup d'"inutiles" (les nombres congrus à 1 mod 4)

dire

Soit l'ensemble E fini contenant tous les nombres Pk, premiers CONGRUS A 3 MOD 4 inférieurs ou égaux à Pn, avec Pn le plus grand nombre premier vérifiant Pn congru à 3 modulo 4

suffit


Bon, parfait, la suite pour les congrus à 1
Euh Z/pZ, ca vous dit quelque chose ? je sais pu si vous le voyez en TS ...

[P loup]

perso, je l'ai pas vu
MAis comme ma classe et ma prof sont nullissime en mathématiques, j'en sais rien pour les autres (tu pourrais me l'expliquer vite fait?)

[Jimge]

Warning : dans la suite, p est premier.
Bon alors Z/pZ, c'est le corps des nombres modulo p (ex pour p=3, on a 0,1,2), on a l'addition et la multiplication mod p, etc.
dans Z/pZ, x^(p-1) = 1. (théorème de fermat)
For further information, see fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini (attention c'est imbuvable, ne pas regarder, ça fait peur, ils savent pas expliquer simplement^^)

Un élément d'ordre multiplicatif p-1 est un élément g tel que la plus petite puissance a de x telle que x^a = 1 soit (p-1). Son existence est admise.
par exemple, "1" est d"ordre 1. "-1" (="p-1") est d'ordre 2 car (-1)² =1.

Décomposé en questions simples, ça donne :
(ah, et "x est un carré" signifie que "il existe a tq a² = x (mod p, of course)".par exemple, dans Z/7Z, les carrés sont 1,4, 9=2.

*Mq x est un carré de Z/pZ => x^{(p-1)/2} congru à 1 mod p . (utiliser le petit théorème de fermat)
***Mq x n'est pas un carré de Z/pZ => x^{(p-1)/2} congru à -1 mod p .(pour ceci, considérer un élément d'ordre multiplicatif p-1, si vous savez ce que c'est...)
*En déduire que x est un carré dans Z/pZ ssi x^{(p-1)/2} congru à 1 mod p.
*En déduire que si -1 est un carré dans Z/pZ, alors p congru à 1 mod 4.
**En déduire que que si p premier divise x² +1 avec x dans Z, alors p = 2 ou p congru à 1 mod 4
*En déduire l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 mod 4

[P loup]

ouf, ça fait peur. j'ai pas reussi à lire plus de trois ligne sur wiki.
Mais, je pense avoir compri a peu près.
Maintenant, je réfléchi à ton exo et ses étapes.

[Jimge]

Si ca vous gêne, sans le Z/pZ, mes questions du début se ramènent à :

Montrer l'équivalence :
--il existe a tq a² congru à x modulo p
--x^((p-1)/2) congru à 1 mod p

donnée : il existe un g tq le plus petit o tq g^o congru à 1 mod p est o=p-1
(remarque : (g^k mod p) passe par toutes les valeurs entre 1 et p-1 quand k prend toutes les valeurs entre 1 et (p-1))

théorème de fermat : quel que soit x premier avec p, x^(p-1) congru à 1 mod p

[P loup]

Ton truc me fait affreusement penser au annales du concour général. Je ne sais plus quelle année, mais on devait, entre autre démontré que :
(g^k mod p) passe par toutes les valeurs entre 1 et p-1 quand k prend toutes les valeurs entre 1 et (p-1))
Pour la première partie :
a^(p-1) = 1 mod p
a² = x mod p
p étant premier (on le suppose différent de 2) p = 2k + 1
Donc p-1/2 est entier
a^(2*(p-1)/2)= x^(p-1)/2
or, selon Fermat a^(p-1) = 1 mod p
Donc x^((p-1)/2) = 1 mod p

Question 1 validée.
Jimge.

[P loup]

Bon, je dois partir, si c'est pas fini demain, je te pondrait une démonstration (enfin, j'espère).
Bon dimanche (dsl pour le double post)

[Jimge]

Nobody ?

[Kentin]

Je n'ai pas fait spé maths cette année (mais physique, parce que j'aimais bien le programme - et y'avait de meilleurs profs) et je vais en MPSI next year.
Donc je n'ai jamais utilisé "mod" "congru" etc. et je n'ai pas fait d'algèbre cette année
Est-ce que je risque d'être gêné l'an prochain ? (Parce que là je ne comprends strictement rien ) Vaut mieux que je me familiarise avec ces termes avant la rentrée ou y'en a pas besoin?

[Yaz]

Je n'ai pas fait spé maths cette année (mais physique, parce que j'aimais bien le programme - et y'avait de meilleurs profs) et je vais en MPSI next year.
Donc je n'ai jamais utilisé "mod" "congru" etc. et je n'ai pas fait d'algèbre cette année
Est-ce que je risque d'être gêné l'an prochain ? (Parce que là je ne comprends strictement rien ) Vaut mieux que je me familiarise avec ces termes avant la rentrée ou y'en a pas besoin?

Vaut mieux je pense c'est un peu chaud..(j'en ai fait cet année et la moyenne de la classe n'était pas super) ^^ Fait le programme de terminale ici si t'a le temps: http://xmaths.free.fr/TS/cours/index.php

[Kentin]

Ok je vais essayer de voir ça, merci.
Parce que j'aimerais pas arriver et être déjà trop en retard ! Déjà que je pense qu'il y a bcp d'inégalités de niveau entre les lycées...

Si quelqu'un a d'autres remarques ou des liens utiles pour voir la spé de manière claire et sans prof, j'accepte volontiers.

[Yaz]

Normalement ce site te suffit, j'ai révisé que sur xmaths et je me suis tapé 19 à l'année (moyenne de classe toujours à 9-10.), en obligatoire et en spé
Et ta une tonne d'exo un peu plus chaud ici : http://xmaths.free.fr/TS/exos/index.php si t'a beaucoup de temps.
Bonne chance.

[Kentin]

Merci c'est sympa. Je regarderai si j'ai le temps, j'vais d'abord voir les cours

[darkpit]

Nous cette année on n'a quasiment pas vu le programmé de spé maths de TS mais je crois que ce n'était pas normal (nouvelle prof de maths de MPSI3 qui s'occupait des ECS avant)

[Zed]

Je ne suis aps sur, il me semble que les autres classes ne se sont pas vraiment attardés dessus non plus en fait.
Mais bon , comme de toute façons on voyait des cas globalement plus generaux (a part pour l arithmetique je dois avouer qu on n a fait que celle des polynomes), il n y a pas de problème. De plus, avec le programme de prépa, la spé maths est franchement trivialisée

[MeIdmry]

Trivialisée, certes, mais c'est important de l'avoir déjà vue, pour ne pas tout avaler d'un coup...

[Zed]

Je ne peux guere le nier, j ai fait spé maths -_-'

[Jimge]

disons qu'il pourra y avoir des choses "communément admises" dont les spé physique n'auront jamais entendu parler. donc c'est simple, ok, mais c'est à voir. les modulos, par exemple.

[Haveo]

De toute façon si vous n'avez pas fait spé maths, ne vous inquiétez pas, vous aurez un gros poly avec tous le cours de spé maths en arithmétique à lire et comprendre du jour au lendemain.
Franchement trivial.

[Kentin]

Je crois n'avoir jamais autant vu les mots "trivial"/"trivialisé" en si peu de temps...
Déformation professionnelle ?

Sinon pour la spé maths ça fait louche le programme de 2h par semaine en Terminale à comprendre et connaître du jour au lendemain ! (je n'ai peut-être pas encore pris conscience du travail qu'il va falloir fournir, truc de malade )
Ou alors c'est aussi simple que la spé physique (rien en chimie (tant mieux, c'est déjà trop gonflant) et cinq formules en physique), mais ce serait étonnant...

[MeIdmry]

Disons que le contenu est presque vide, mais l'importance, à mon sens, est capitale.
Je parle pour les mathématiques en général, et non pour les mathématiques des concours (qui ne sont pas des mathématiques...)

[Jimge]

Je crois n'avoir jamais autant vu les mots "trivial"/"trivialisé" en si peu de temps...
Déformation professionnelle ?

Ce sont les mots les plus importants de la science de l'arnaque.

Tu réponds "trivial" à une question qui l'est (en argumentant deux lignes quand même), c'est la classe.

[Zed]

C est aussi un des plus grands jeux durant les dms, arriver a casé trivial (ou une de ses variantes) le plus de fois possibles et observer la correction de la professeur, des fois tres amusante