Warning : dans la suite, p est premier.
Bon alors Z/pZ, c'est le corps des nombres modulo p (ex pour p=3, on a 0,1,2), on a l'addition et la multiplication mod p, etc.
dans Z/pZ, x^(p-1) = 1. (théorème de fermat)
For further information, see fr.wikipedia.org/wiki/Corps_fini (attention c'est imbuvable, ne pas regarder, ça fait peur, ils savent pas expliquer simplement^^)
Un élément d'ordre multiplicatif p-1 est un élément g tel que la plus petite puissance a de x telle que x^a = 1 soit (p-1). Son existence est admise.
par exemple, "1" est d"ordre 1. "-1" (="p-1") est d'ordre 2 car (-1)² =1.
Décomposé en questions simples, ça donne :
(ah, et "x est un carré" signifie que "il existe a tq a² = x (mod p, of course)".par exemple, dans Z/7Z, les carrés sont 1,4, 9=2.
Jimge a écrit :*Mq x est un carré de Z/pZ => x^{(p-1)/2} congru à 1 mod p . (utiliser le petit théorème de fermat)
***Mq x n'est pas un carré de Z/pZ => x^{(p-1)/2} congru à -1 mod p .(pour ceci, considérer un élément d'ordre multiplicatif p-1, si vous savez ce que c'est...)
*En déduire que x est un carré dans Z/pZ ssi x^{(p-1)/2} congru à 1 mod p.
*En déduire que si -1 est un carré dans Z/pZ, alors p congru à 1 mod 4.
**En déduire que que si p premier divise x² +1 avec x dans Z, alors p = 2 ou p congru à 1 mod 4
*En déduire l'existence d'une infinité de nombres premiers congrus à 1 mod 4