Exercice d'échauffement...

[MeIdmry]

Existe-t-il deux fonctions et /

et ?

[Nicolas]

C'est du niveau fin de terminale? Histoire de voir si je m'y mets ou pas

[maxime_eduardo]

moi jai quelques solutions, mais ce nest pas de R dans R

[MeIdmry]

Propose toujours

[Jimge]

tu veux pas installer latex sur le forum, plutot que passer apr des images ?

[MeIdmry]

C'est vrai que ce serait plus pratique...

Pas d'idée ?

[MarieJ]

Hééého pas d'idées, c'est vite dit, on n'a même pas eu le temps de réfléchir ... le bac d'abord

[MeIdmry]

C'est fini maintenant, non ?

[Nicolas]

Mais j'y travaille, j'y travaille...

[Yaz]

Moi perso c'est mort, jveux rien foutre pdt 1 mois ..

[MeIdmry]

L'exercice est quand même d'un haut niveau. Mais j'ai une solution très élégante.
A vous de me surprendre

[maxime_eduardo]

cest de R dans R, donc polynome uniquement de puissance entiere, pas de fonction racine n ieme et encore moins de ln ?

[maxime_eduardo]

bon, je pense que la reponse est non car :

puisquil sagit de deux fonctions de R dans R, on peut eliminer tout ce qui est racine n ieme, logarithme neperien, ou encore exponentiel.

Il sagit donc de deux fonctions polynomes ou rationelles, sachant que le denominateur doit etre tel quil ne soit jamais nul, ce qui elimine tout polynome de degré impair.

dans le cas ou les fonctions sont des polynomes, fog=gof s'il ny a pas de constante, et fog different de gof s'il y a une constante, mais dans ce cas, on a fog qui donne un polynome different de celui que donne gof, et la difference est une constante, et non pas une puissance.
Or ici, gof et fog diffèrent par la puissance, donc il nexiste pas de fonctions de R dans R telles que fogx=x2 et gofx=x3

(Ma demonstration est certainement fausse et pas pertinente du tout mais jespere quelle fera avancer dautres personnes, ou que tu me remettras sur la voix =D)

[Nicolas]

Mais j'ai une solution très élégante.

J'en conclue qu'il y a au moins une solution

(Mais que je n'ai pas encore trouvée )

[MarieJ]

A moins que ce soit la solution pour prouver qu'il n'y en a pas ...

Pas trouvé non plus pourtant j'ai passé l'aprem à chercher avec max ...

(c'est plus des vacances ! )

[Yaz]

MeIdmry ckoi la reponse sinon ?

[MeIdmry]

Appréciez la solution :

Supposons que de telles fonctions existent
gof a une propriété intéressante : celle d'être bijective... et donc en particulier injective...
un raisonnement immédiat montre que f est injective
donc f(0), f(1) et f(-1) sont deux à deux distincts
or f(x^3)=fogof(x)=(f(x))^2
donc f(0), f(1) et f(-1) sont égaux à leur carré
contradiction car ils sont censés être distincts...

[MeIdmry]

bon, je pense que la reponse est non car :

puisquil sagit de deux fonctions de R dans R, on peut eliminer tout ce qui est racine n ieme, logarithme neperien, ou encore exponentiel.

Il sagit donc de deux fonctions polynomes ou rationelles, sachant que le denominateur doit etre tel quil ne soit jamais nul, ce qui elimine tout polynome de degré impair.

Pour toi, tout ce qui est de R dans R est polynômial ?

[maxime_eduardo]

jai omis toute la trigo ... trop compliqué mais jy ai pensé quand meme lol

[maxime_eduardo]

bon javais trouvé quyavait pas de solution cest dja pas mal ^^

[Yaz]

Appréciez la solution :

Supposons que de telles fonctions existent
gof a une propriété intéressante : celle d'être bijective... et donc en particulier injective...
un raisonnement immédiat montre que f est injective
donc f(0), f(1) et f(-1) sont deux à deux distincts
or f(x^3)=fogof(x)=(f(x))^2
donc f(0), f(1) et f(-1) sont égaux à leur carré
contradiction car ils sont censés être distincts...

Ok, Envoi en d'autres stp ^^

[MeIdmry]

Entendu mon général !

[MeIdmry]

Est-ce que f dérivable en x0 implique qu'il existe un voisinage de x0 sur lequel f est continue ?

(En gros, V est un voisinage de x0 s'il existe r>0 tel que ]x0-r ; x0+r[ inclus dans V. Mais un tel formalisme n'est pas obligatoire, gardez-en l'idée intuitive si vous le souhaitez )

J'attends soit une démonstration soit un contre-exemple.

A vous

[jugnrock]

je la connais celle là !!!!

[MeIdmry]

Bien vu, Geb
Voyons ce qu'ils vont répondre...

[MarieJ]

Déjà les fonctions injectives , je sais pas ce que c'est, donc 'jai rien compris à ta solution du 1er.

Le 2eme, j'ai même pas compris l'énoncé.

Tout ce que je sais c'est que dérivable implique continue.

[saladtoes]

f: E -> F est injective ssi pour tout (x,y) de E^2, f(x)=f(y) => x=y, autrement dit tout élément de l'ensemble d'arrivée admet au plus un antécédent.

[jugnrock]

Nan mais c'est abusé, ces exos on peut pas les faire en terminale car on ne fait pas la différence entre notion globale et locale (CF marieJ post et ma solution à l'exercice dans la chambre...), et le premier, on a jamais entendu parlé d'injectivité (normalement) meme si c'est fondamental avant tout le reste concernant les fonctions

[maxime_eduardo]

la bijection a egalement été supprimée du programme de TS

[MeIdmry]

C'est vrai que les notions d'injectivité/surjectivité ne sont pas (plus) au programme en Terminale, bien que l'on parle de bijectivité.
Mais je pensais que des élèves de votre qualité en auraient ne serait-ce qu'entendu parler. Car c'est la base sur les fonctions, on ne peut pas faire d'exos sans cela !

Je crois que le dessin suivant résume tout :



Plus particulièrement une application f injective vérifie :
f(x)=f(y) => x=y (je vous laisse regarder les patates pour comprendre pourquoi...)

Reprenons ma preuve avec plus de détails :
0,1 et -1 sont deux à deux distincts
donc f(0), f(1) et f(-1) le sont aussi (sinon car f injective 0=1=-1)
or ils sont égaux à leurs carrés (cf preuve)
ont x^2=x admet deux solutions... ils ne peuvent donc être distincts...

[Nicolas]

Une question, tant qu'on est là-dedans, que je me suis posée pendant l'exercice : est-ce que écrire que la foncion f: x ->x^2 a pour ensemble d'arrivée R est une erreur?

[MeIdmry]

Elle a bien R pour ensemble d'arrivée.
Mais dans ce cas-là, elle n'est pas surjective puisque tous les nombres strictement négatifs n'ont pas d'antécédent...

Si par contre, tu la définis de R dans R+, elle devient surjective.
Mais pas injective, puisque tout x>0 admet exactement deux antécédents...

Elle devient injective si tu la définis de R+ dans R+ (et donc bijective )

[Jimge]

En fait (vous verrez ça en début d'année), pour définir une application/fonction, il faut 3 choses :
-ensemble de définition
-ensemble d'arrivée
-graphe de la fonction (expression)

si On peut définir R->R x->x², ou R->R+, x->x², etc.