Quelques exos pour nos bizuths

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Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 02 juil. 2011, 14:16

Après tout, ca a été fait les années précédentes, continuons !
Je ne sais pas si j'aurais beaucoup de succès avec ce topic mais bon, pourquoi pas :mrgreen:

Je pensais vous proposer quelques exos de maths sympathique, tout à fait accessible en terminale S, que j'ai eu en colle ou lu quelque part. Pas du calcul mais plutot de la réflexion -élémentaire- pour vous entrainer un peu. Bieeen plus intéréssant que les 100 calculs que vous propose la fiche donnée par le lycée ! Et les autres carrés sont bien entendu invités à participer :mrgreen:

(je sens que ca va pas marcher :lol: )


Un premier exo qui ne necessite rien d'autre que le Théoreme des Valeurs Intermédiaires et un peu de jugeote (je l'ai eu en colle)


Exercice 1

Soit f : [0,1] --> Image continue telle que f(0) = f(1)
Montrer que pour n entier naturel non nul, il existe un réel an ∈ Image tel que
Image

(on pourra commencer par le cas n=2)

Solution dans le cas n=2 proposée par anto64alpha
Solution dans le cas général



Vu qu'il n'y a pas de TEX sur le forum, tout les moyens sont bons pour répondre, moi perso je pique du TEX sur un forum bien connu :lol:


Exercice 2 proposé par Belos
Montrer que pour tout p premier, p > = 5 => 24 divise (p²-1)


Exercice 3 proposé par Belos
Résoudre dans Image : (n^x)+(n^y) = (n^z)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 03 juil. 2011, 22:27

Hm...

J'ai une solution qui fait intervenir des sommes télescopiques et un raisonnement par l'absurde...
Je doute qu'il soit vraiment capable de faire un truc comme ça...
Une solution plus rapide peut-être ?

(Sinon, je posterais ma solution d'ici quelques jours...)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 08:25

Je les attendais essentiellement sur le cas n=2 pas trop compliqué :D

L'absurde n'est pas obligatoire m'enfin l'essentiel était de voir l'idée qui en effet fait apparaitre une somme qui se téléscope, mais elle apparait toute seule si on a les bonnes idées :)

Un ptit bizuth qu'est chaud pour n=2 ?
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 10:16

peut-on considérer que f est monotone sur [0;0.5]et sur [0.5;1] ? car de toute évidance f n'est pas monotone sur [0;1] car elle y est continue, f(0)=f(1) et car elle réalise une bijection de [0;1] sur R
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 10:17

Non, elle ne l'est pas :D

Elle est juste continue et telle que f(0) = f(1)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 10:25

ca nous aurait arrangé pour n=2 mais c'est plus difficile que ca.... :cry:

2a+0.5 E [0.5;1] tandis que 2a E [0;0.5] c'est pour ca que ca aurait été bien

mais la je ne vois plus
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 10:50

Astuce : considerer la fonction


g(x) = f(x) - f(x + 1/2)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 04 juil. 2011, 11:41

Note pour les bizuths :

Quand vous avez un exercice de ce type demandant de montrer une égalité, toujours étudier la fonction différence et prouvez qu'elle s'annule au moins une fois :wink:

(Et dans des rares cas pathologiques en sup, pensez à la fonction quotient des 2 avec toutes les précautions nécessaires à prendre !)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 11:49

c'est vrai que ces astuces -qui nous paraissent évidentes !- sont en fait des nouveautés de cette année
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 12:47

g(x)=f(x)-f(x+0.5)
y a t il des solutions à l'équation g(x)=0?

f est continue sur [0;1] donc g est au moins continue sur [0;0.5] (car x E [0;1] et (x+0.5) E [-0.5;0.5])

de plus g(0)=f(0)-f(0.5) et g(0.5)=f(0.5)-f(1)=-(f(0)-f(0.5))
donc g(0)=-g(0.5)

-si g(0)=0 alors g(0.5)=0, il existe donc au moins 2 solutions à l'équation g(x)=0

-si g(0) différent de 0 alors g(0.5) différent de 0
si on a g(k)=sup[g(0);g(0.5)] supérieur à 0 alors -g(k) inférieur à 0 (et vice versa)
-or on a vu que g est continue sur [0;0.5]

d'près le TVI il existe au moins une solution à l'équation g(x)=0 telle que x E [0;0.5]



par voie de conséquence il existe au moins une solution à l'équation f(x)=f(x+0.5) telle que x E [0;0.5]


c'est plus simple quand on nous dit comment faire mais j'ai l'impression de n'avoir rien démontré?
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 12:52

C'est bien, et bien rédigé en plus :D

Evidemment, c'aurait été mieux de trouver toi même l'astuce mais c'est un grand classique que tu apprendras très vite à maîtriser en MPSI !

Bon le cas n quelconque est légèrement plus subtil, mais dans la même veine.
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 13:00

il est plus intéressant de chercher ce genre d'exo qui demande une démarche plus intéressante plutôt que faire les 3 copies doubles d'exos demandées par le lycée même si c'est utile pour se familiariser avec le calcul rapide...
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:02

J'avais fait TOUTE la fiche du lycée la dernière semaine de vacances :D (Ouais à l'époque j'y croyais trop j'étais en mode super bosseur même avant la rentrée. Ca a duré facilement 2 semaines !)

C'est utile quand même, être à l'aise avec LA TRIGO c'est indispensable. Vraiment indispensable :)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:03

Si t'as g(0) = - g(0,5) c'est fini...

Car si g(0) > 0 alors g(0,5) < 0 (et vice versa), ta fonction est continue, donc elle s'annule en un point (fais un dessin si t'es pas sur !)


Le reste, c'est cool. Mais ça sert à rien...(Enfin, la disjonction de cas pourquoi pas, mais c'est sortir un bazooka pour tuer une mouche !)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:04

Elle est très bien sa disjonction de cas, il sort un avion pour traverser la rue, c'est cool !

Pour rester sur les citations de votre futur colleur adoré : "DE TOUTE FACON VOUS SAVEZ PAS CALCULER !!!"
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:10

Gadat ?


Je peux vous en donner un d'exo, moi ?


Montrer que pour tout p premier, p > = 5 => 24 divise (p²-1)

Classique et simple celui là.

Pour ceux qui veulent un peu plus difficile : Résoudre dans N*^4 (n^x)+(n^y) = (n^z)


Bon courage :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:12

Gadat for ever !

Le premier est classique oui, j'aime bien le 2ème par contre, un joli exo d'arithmétique :mrgreen:

EDIT : pour le 2è, j'ai une belle idée de preuve mais elle ne tiendrait pas la marge de ce post :(
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:21

Hm...le deuxième prend 8 petites lignes à tout casser :wink:

Edit : Je pense que le cas général de l'exercice précédent ne sera pas traité, on met la correction ?
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:24

Blague à part, on a traité entièrement le cas n=2 en exo dans le chapitre d'arithmétique et je me souviens que c'était horriblement subtil, je serais totalement incapable de le refaire, même avec les questions intermédiaires

Je m'occupe de corriger le cas général pour que les bizuths voient le jolis raisonnement :mrgreen: Je le fais en tex, patientez quelques instants :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:27

Non, pas la même équation, je pense. Toi, c'est x^n + y^n = z^n l'équation dont tu parles. (Et les triplets pythagoriciens, c'est pas subtil, c'est magnifique !)
La mienne, elle est beaucoup plus simple !
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:36

Ca m'apprendra à pas lire correctement :D




Solution du cas général de l'exo que j'ai posé :


Image Image
Image
Image
...
Image

On somme tout ca :

Image Image


A partir de là, soit on l'arnaque, soit on le détaille. Allons y pour l'arnaque : si la somme est nulle, yen a un positif et un négatif, donc d'après le TVI ca s'annule bien :D


Voilà les bizuths, dans un an, vous saurez (normalement) faire des exos comme ca les yeux fermés :D
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:44

Il y a pas d'arnaque !!
On suppose que la fonction gn(x) (dépend de n) est toujours strictement positif ou négatif. Cette somme ne peut donc pas être égalé à 0, donc contradiction, gn(x) change de signe. Le TVI nous donne le reste !
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:45

C'était pas explicité donc c'était de l'arnaque mais c'est vrai que ca n'est pas plus compliqué que ça

enfin il faudrait aussi distinguer le cas où tous les h(k/n) sont nuls
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 13:54

Bah...j'en suis pas sur. Dans le sens où c'est trivial et c'est un exo de khôlles...

J'avais une solution très très moche et qui faisait un peu argument autorité...

gn(0) = f(0) - f(1/n)
gn(1-1/n) = f(1-1/n) - f(1)

Et ensuite on utilise la continuité et on fait tendre n vers + l'infini. C'est moche, pas rigoureux, mais pour se donner une idée c'est bien !
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 13:59

En colle c'est sur tu va pas détailler, ta somme fait 0 et c'est fini (Sauf avec celui-dont-je-ne-citerais-pas-le-nom qui possede les mêmes initiales que notre prof de maths :lol: )

Moi pour me "donner une idée" j'avais fait le cas n=2 (j'étais super content d'avoir trouvé mais le colleur m'a ensuite fait remarquer qu'on cherchait la solution pour n quelconque et pas juste n=2, moi j'ai dit "en fixant n à 2 çà marche, j'y croyais en plus !) puis frustré, j'avais chercher durant 20 minutes quoi faire de tous ces h(k/n) !
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 14:02

C'est drôle, mais c'est un peu un truc de littéraires :D

L'avantage de mon truc, c'est que chez moi "Tendre n vers l'infini" ça me fait penser à "Et si je sommais comme un malade tous les termes possibles et imaginables ?", bref ça me fait penser de passer du continu au discret ! (Méthodes maisons ^^)


Bon, allez les bizuths, je vous attends sur mes exos :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 14:05

Je les mets en premier post pour qu'ils soient plus visibles ! :)
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 14:23

Bonne idée :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 17:46

je n'ai pas fait la spé math donc je sèche...
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 17:51

Ca va être difficile en effet, même à l'intuition :D

Je te cherche un exercice intéréssant
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 18:15

*On oublie*
Dernière édition par tphi le 04 juil. 2011, 19:56, édité 1 fois.
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 18:18

Ah, désolé alors :x


J'en ai un, un gentil

Soit f : R -> R continue en 0 et 1 tq f(x)= f(x²). Mq que f est constante.



(Désolé Tphi, mais j'aime bien cette exo : simple mais typique en khôlle !)


EDIT : Post en même temps :x
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 18:21

Jamais vu celui là !

Premier réflexe : bah on dérive ! f'(x) = 2x.f'(x) d'ou f'(x) = 0 sur R\{0}

Puis j'ai vu qu'elle était pas dérivable :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar belos » 04 juil. 2011, 18:29

Nope, ça fonctionne pas :mrgreen:
En fait, elle est constante égale à f(1), si ça peut t'aider.
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 20:14

mince j'avais commencé les suites ... bon c'est pas grave j'arrivais pas à determiner Vn.... on va reflechir sur le deuxieme alors
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 20:16

Désolé j'ai fait une erreur dans l'indication, elle est fausse. Tu es tombé dans le meme piège que moi, ca simplifie rien du tout !
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 20:19

est elle au moin resolvable?
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 20:20

Evidemment, mais avec des outils que vous n'avez pas :D

(a commencer par une bonne vielle methode d'équa diff à coup d'équations homogène et de variation de la constante, bourrine à souhait mais qui marchera surement ^^ on l'a fait sur MSN avec un pote en passant aux suites d'ordre 2, etc. mais tout ca vous connaissez pas)
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Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 20:23

bon bé on a plus qu'à attendre l'an prochain alors :cry:
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 20:26

Je veux bien une grosse indication pour l'exo sur les suites, là je sèche ! (Et puis, j'aime pas ça !!) :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 20:37

Ca m'apprendra à vouloir créer des exos :( Bon maintenant je me sens obligé de le résoudre :twisted:


Pour résoudre
U(n+1) - U(n) = n

Equation homogene : Un+1 = Un avec U(0) = 1, je crois que c'est vite réglé

melange de 'Solution particulière' et 'variation de la constante' : on cherche une solution de la forme a*n+1
Ca donne
a(n+1)+1 -an-1 = n
<==> ca aboutit pas vraiment

Chercons la en a*n² + b*n + 1

On trouve

2an + a + b = n

Donc a = 1/2
b=-1/2


Par superposition, l'unique solution est
1/2 n² - 1/2n +1


Réciproquement, ca marche
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 20:39

Je préfère mes exos :mrgreen:

Edit : Si vous voulez, j'ai un exo assez hard sur les complexes. Aucune connaissance requise autre que celle de Terminale. Mais il est hard. Vraiment !
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Messagepar anto65alpha » 04 juil. 2011, 20:45

envois l'exo sur les complexes même si j aime pas trop ca
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 20:47

maintenant que tu le dis, j'ai un exo super sale que loutre avait eu en colle sur la géométrie complexe, un vrai bonheur et accessible aux TS :D

On se place dans le plan complexe et on considère M d'affixe z.
Trouver l'ensemble des points tels que z^5, z² et z soient alignés



Un magnifique exo que vous pourrez résoudre en faisant preuve de beaucoup de rigueur :mrgreen:


EDIT : après l'avoir refait au brouillon et avec loutre, c'est tout bonnement ignoble :mrgreen: n'essayez pas de le faire
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 21:04

Hm...j'obtiens l'obligation qu'une certaine expression polynomiale en z doit être réel...
Mais, après, j'en fais quoi ? (ça sent l'hyperbole tout ça...)
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 21:12

c'est censé donner une droite et une hyperbole.

La résolution se fait en disant que ton expression (z^3 + z^2 + z + 1 ? )est égale à son conjugué et en passant en x+iy.

Si, si :D


Edit : tout calcul fait on trouve
3x² - y² + 2x + 1 =0
ou
y=0


Une droite et une conique donc
la conique en question représentée :
Image

c'est marrant n'est ce pas ? :D
(si quelqu'un veut le détail du calcul, no pb)


Qui a dit que les maths c'était pas marrant ? :D
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 21:47

Bah...c'est ce que je disais ! J'avais juste la grosse flemme d'aller plus loin !!


Mon exercice arrive, mais comme je suis gentil, je vous fais la correction avec :D
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 22:17

Voilà comme promis, mon exo.
La correction est juste en dessous, donc faites gaffe et faites semblant de chercher un peu quand même :mrgreen:


(Pas d'arnaque, je vous le jure.)

http://www.megaupload.com/?d=QGRMJHSU

Amusez vous bien :D
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Re: Quelques exos pour nos bizuths

Messagepar tphi » 04 juil. 2011, 22:21

C'est un peu ambitieux de donner ca à des bizuths, je suis même pas sur qu'ils sache démontrer l'inégalité triangulaire, alors ça :D

Enfin je regarderais ca demain là j'ai sommeil
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Messagepar belos » 04 juil. 2011, 22:31

Bah...je veux les préparer !!!


Ceci dit, t'as peut-être raison...
Bah pas grave, ça les motivera !
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