Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

[MeIdmry]

Un autre pour la route : que dire de deux suites u et v à valeurs dans [0,1] telles que uv tende vers 1 ?

[JoanSivion]

Bravo ! J'étais justement en train de sortir mes cahiers de spé maths pour regarder le cours sur la décomposition en produits de facteurs premiers^^

[Jean-Batman]

Ah oui j'ai oublié de conclure Bon, disons rien.
les 12 questions intermédiaires correspondaient à des préliminaires, applications, etc ^^

[Jean-Batman]

Euh les deux suites sont stationnaires et valent 1 XD
Ou sinon l'une d'entre elles est stationnaire et vaut 1. L'autre est croissante et converge vers 1.

[MeIdmry]

Euh les deux suites sont stationnaires et valent 1 XD
Ou sinon l'une d'entre elles est stationnaire et vaut 1. L'autre est croissante et converge vers 1.

Humour ?

[Jean-Batman]

Euh les deux suites sont stationnaires et valent 1 XD
Ou sinon l'une d'entre elles est stationnaire et vaut 1. L'autre est croissante et converge vers 1.

Humour ?

oui ^^ Ben ils sont pas réceptifs à ça les profs de maths

[JoanSivion]

Très bien ! (attention à ne pas oublier dans le "à finir" à vérifier qu'il s'agit bien de solutions)

Donc conclusion de ce joli exo, les solutions sont x=2ab, y=a^2-b^2 et z=a^2+b^2 (avec a^b=1 si on veut la condition simplifiée x^y^z=1).
Est-ce que cela méritait 12 questions intermédiaires ?

Est ce que tu peux m'expliquer la fin de l'exo, je comprend pas très bien la démarche. :/


PS : Wouhou des suites^^

[MeIdmry]

Même si l'une d'entre elle est stationnaire, disons u, prends v_n=1-([cos(n)]^2)/n qui n'est pas croissante

[MeIdmry]

Très bien ! (attention à ne pas oublier dans le "à finir" à vérifier qu'il s'agit bien de solutions)

Donc conclusion de ce joli exo, les solutions sont x=2ab, y=a^2-b^2 et z=a^2+b^2 (avec a^b=1 si on veut la condition simplifiée x^y^z=1).
Est-ce que cela méritait 12 questions intermédiaires ?

Est ce que tu peux m'expliquer la fin de l'exo, je comprend pas très bien la démarche. :/


PS : Wouhou des suites^^

Tu as y=u-v, z=u+v donc x^2=4uv. Comme x est pair, x=2x', donc x'^2=uv.
Si tu écris x' en produit de facteurs premiers, si tu en prends un, disons p, alors p^2|uv, et comme u^v=1 alors p^2|u ou p^2|v.
En gros, les puissances de p vont soit sur u soit sur v. Comme la puissance de chaque nombre premier dans x'^2 est paire, alors u et v sont des carrés parfaits u=m^2 et v=n^2, et bien entendu m^n=1.
Donc y=m^2-n^2, z=m^2+n^2, et x^2=4m^2n^2 d'où x=2mn.
Réciproquement, ces solutions conviennent bien.

[JoanSivion]

Daccord, merci d'avoir détailler c'est sympa;

Bon par contre le suivant pour l'instant pas d'idées. J'ai fait 2, 3 trucs mais rien qui ne sert.

[Jean-Batman]

Sans indication, je ne vois rien d'autre que u et v tendent vers 1.

[MeIdmry]

je ne vois rien d'autre que u et v tendent vers 1.

Tu es sûr de ça ?
Si oui, prouve-le

[JoanSivion]

Déjà, on peut dire que la suite UV est majoré par 1. En effet, U et V sont à valeurs dans [0, 1] donc le produit UV ne peut pas être supérieur à 1. Mais bon ca sert à rien^^'

[MeIdmry]

Déjà, on peut dire que la suite UV est majoré par 1. En effet, U et V sont à valeurs dans [0, 1] donc le produit UV ne peut pas être supérieur à 1. Mais bon ca sert à rien^^'

En effet, ça ne fait pas avancer le schmilblick

[Jean-Batman]

Ou sinon u tend vers l et v tend vers 1/l lol

[Jean-Batman]

Ah mais ouieuuh !!!
Comme u tend vers l et que v tend vers 1/l, nous voulons trouver l tel que 1/l et l sont plus petits ou égaux à 1.
L'unique solution est 1/l=l=1

edit : car l ne peut prendre de valeurs négatives.

[MeIdmry]

Comme u tend vers l et que v tend vers 1/l, nous voulons trouver l tel que 1/l et l sont plus petits ou égaux à 1.
L'unique solution est 1/l=l=1

Qui te dit que u et v convergent ?
La seule chose que tu aies prouvé est : si u et v convergent alors c'est nécessairement vers 1.
Allez, un petit effort

[MeIdmry]

Je vais aller me coucher car demain matin assez tôt m'attend mon vélo
J'espère que vous aurez trouvé la solution d'ici-là

[Jean-Batman]

Roooh pas d'bol (de riz, hihi) ^^

Déjà c'est impossible que l'une des deux diverge.
Si l'une tend vers 0, le produit tendra inévitablement vers 0.
Je bloque comme pas possible...
Allez à demain et bon vélo Nico ^^

[JoanSivion]

Idée très mal dite: Pour que le produit converge vers 1, il est nécessaire que les deux suites U et V aient "des phases croissantes plus longues que les phases décroissantes". Du coup, on pourrait les assimiler à des suites croissantes et comme elles sont majorées (par 1) elles convergent...

J'ai conscience que c'est un peu n'importe quoi, mais schématiquement ca ferait des courbes en escalier un peu...

[JoanSivion]

Je vais aller me coucher car demain matin assez tôt m'attend mon vélo
J'espère que vous aurez trouvé la solution d'ici-là

Bonne nuit et bon courage pour demain

EDIT : Bon je vais me coucher aussi ! Bon courage si tu continues JB^^

[Jean-Batman]

Je crois voir ce que tu veux dire Joan (au fait, c'est vraiment ton vrai nom Joan ? Par MP si c'est secret ^^)
Le problème c'est que ça se formalise pas mathématiquement. Et puis même si les intervalles où u et v sont croissantes sont plus grands que les intervalles durant lesquels elles décroissent, je ne pense pas que cela garantirait une croissance globale de chaque suite ! Ya une histoire de pente là-derrière...

Ok allez bonne nuit !

[JoanSivion]

Non en fait c'est un pseudo que je prend souvent quand je m'inscris quelque part et du coup en m'inscrivant j'ai pas réfléchi donc j'ai fair comme d'hab.^^

Si j'avais un peu réfléchi j'aurai mis un pseudo en rapport avec mon prénom. X) Je m'appelle Cyril^^

[Jean-Batman]

Aaah enchanté Cyril !! Cela fait depuis un moment qu'on se connait sans que je ne sache ton prénom. Et dire que je passais mon temps à t'appeler "Joan" ^^

[MeIdmry]

Une indication : u_n.v_n <= u_n

[MeIdmry]

Pourtant, ça donne presque la réponse ! Allez, encore une aide :

u_n.v_n <= u_n <= 1

[Jean-Batman]

I don't have a single clue, Nick

[MeIdmry]

Si je te parle de gendarmes, de sandwiches, ça t'aide ?

[lavi]

rhô quand même u_n.v_n tend vers 1, 1 tend vers 1 : th des gens d'armes ( ) u_n tend vers 1

PS : je sais même pas quele était la question de départ

[Jean-Batman]

Salut Lavi
Ouais dac donc u_n tend vers 1 et par voie de conséquence, v_n aussi ?

[lavi]

Il me semble que comme uv = 1 donc uv tend vers 1 et u tend vers 1 alors oui v tend vers 1

[Jean-Batman]

Oui et donc ? C'est tout ?

[lavi]

euuuh... je crois... avec un produit uv tu ne peux rien dire sur la monotonie de tes deux suites, du moins je pense...

on a pas u<v ?

[MeIdmry]

u et v convergent toutes les deux vers 1 puisque u_n.v_n <= u_n <=1 et u_n.v_n <= v_n <= 1. C'est tout
En fait, vous voyez qu'il n'est pas si évident que ça que si uv tend vers 1 alors u et v tendent vers 1, mais les gendarmes sont un outil puissant, car il donne 2 conclusions : la convergence et la limite.

[Jean-Batman]

Celui-ci était utile mais un peu scolaire :p

On en veut un autre plus original mon sublissime président ! (slurp slurp)

[Jean-Batman]

C'est à moi de me montrer généreux aujourd'hui :

Montrer que pour toute base b supérieure ou égale à 4, le nombre 12321 écrit en base b est un carré d'entier.

bon courage

nota : les khârrés et les khûbes peuvent bien entendu y participer, à condition de "blanker" leur contribution.

Edit 2 : je viens de me rendre compte que MeIdmry avait proposé un exo qui aide la résolution de celui-ci. Si vous voulez bien jouer franc-jeu

[MeIdmry]

le nombre 12321 écrit en base b est un carré d'entier.

Qu'on soit bien sûr, quand tu dis "le nombre écrit en base b", il faut après l'interpréter en base 10 ?
Ensuite, j'imagine que b <= 10

[Jean-Batman]

Non tout b entier supérieur ou égal à 4 convient

Et puis il faut en effet développer l'écriture mais pas besoin de la reproduire en base 10

Edit : Enfin oui le développement est une voie d'accès vers la base 10.
Le nombre est carré d'entiers dans la base 10, tout à fait.

[MeIdmry]

Tu m'explique comment on fait si b>10 ?

[tphi]

Si b=11,
_____(11)
12321 = 1*11^4 + 2*11^3 + 3*11^2 + 2*11 + 1 = 17639 = 133², je ne vois pas où est le probleme

[MeIdmry]

Que veut dire "12321 écrit en base 11" ?

1ère possibilité : 12321 vu en base 10 (= le vrai), que l'on écrit en base 11 par la suite. Et ensuite, on regarde si ce nombre "vu comme s'il était en base 10" est un carré. Ce que j'avais compris au début, mais qui pose le problème d'avoir peut être des décompositions avec des trucs plus grands que 10...

2ème possibilité : 12321 est déjà en base 11, on le passe en base 10 et on regarde. Ce que tu proposes.

En effet, je crois qu'il s'agit de 2.

[coproduit]

Pour revenir sur l'exo posté quelques pages auparavant sur la famille infinie de points distincts :
- il provient de l'oral des ENS
- il a fait sécher une classe de MP* pendant un quart d'heure (après, Jimmy a commencé a donner des indications)
- il a été posé en colle 0-20 (d'ailleurs, MeIdmry, les colles Chevallier, ça existait déjà à ton époque, je suppose ?) et le mec qui a eu cet exo n'a rien su faire. Pourtant, le thème de la colle était les coniques, donc il avait quand même une petite indication. Par contre il y a quand même un spectateur qui a trouvé tout seul une solution (un peu plus compliqué que celle proposée ici).
Etant donné tout ça je trouve que c'est méchant de donner ça à des futurs bizuths qui ne connaissent même pas les hyperboles...

Sinon, si vous êtes en manque d'exos, en voici un plutôt facile mais intéressant :
on veut prouver l'inégalité arithmético-géométrique pour n réels > 0.
1. Cas n = 2 ?
2. Cas où n est une puissance de 2.
3. Cas n quelconque, en se ramenant à l'inégalité pour une puissance de 2 supérieure à n.

[Jean-Batman]

Yop !

Cas n=2 : (a-b)² >= 0
Cas n puissance de 2 : on note n=2k et après j'aimerais faire une récurrence... Mais je préfèrerais garder la récurrence pour le cas n général.

[MeIdmry]

Pour revenir sur l'exo posté quelques pages auparavant sur la famille infinie de points distincts :
- il provient de l'oral des ENS
- il a fait sécher une classe de MP* pendant un quart d'heure (après, Jimmy a commencé a donner des indications)
- il a été posé en colle 0-20 (d'ailleurs, MeIdmry, les colles Chevallier, ça existait déjà à ton époque, je suppose ?) et le mec qui a eu cet exo n'a rien su faire. Pourtant, le thème de la colle était les coniques, donc il avait quand même une petite indication. Par contre il y a quand même un spectateur qui a trouvé tout seul une solution (un peu plus compliqué que celle proposée ici).
Etant donné tout ça je trouve que c'est méchant de donner ça à des futurs bizuths qui ne connaissent même pas les hyperboles...

Oui, cet exo provient des ENS et Jimmy nous l'avait donné en 2008/2009. Idem, ça avait bien séché
Bien sûr que ce bon vieux Cheval était déjà là à mon époque. J'assistais à toutes ses colles du jeudi (après le cours THE GUICHE !) en 3/2, si bien qu'en 5/2, il me laissait souvent poser mes énoncés
Faudrait que je lui donne des nouvelles