Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 13 juin 2012, 14:09

Dans tout ça, le sens direct n'avance pas trop. Allez, on y va :

On suppose E infini et on considère une fonction f de E dans E quelconque. Il s'agit donc de montrer que :
Il existe A différent du vide et de E tel que f(A) inclus dans A

A vous de trouver A donc... :D
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 18:19

Je vois que cela ne vous inspire pas trop...
Allez, terminez-le (on y est presque !) et j'en donnerai un autre ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Mati » 14 juin 2012, 20:50

Désolée, mais révision du bac oblige, je n'y ai plus réfléchi :/
À la va vite je considèrerai bien une fonction f, on part de f(x), puis on compose n fois (et je m'inspire de ce qui a été fait précédemment) f composée n fois serait égale à f(x)
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 20:55

Mati a écrit :Désolée, mais révision du bac oblige, je n'y ai plus réfléchi :/
À la va vite je considèrerai bien une fonction f, on part de f(x), puis on compose n fois (et je m'inspire de ce qui a été fait précédemment) f composée n fois serait égale à f(x)


Il y a de l'idée. Cependant, il faut trouver un ensemble A : que prends-tu pour A ?
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Messagepar Mati » 14 juin 2012, 21:36

Pour A je prendrai la fonction plus toutes ces n composées
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 21:47

Mati a écrit :Pour A je prendrai la fonction plus toutes ces n composées


On y est presque. Définis-moi clairement l'ensemble A, qui doit être composé d’éléments de E, pas de fonctions ou je ne sais quoi d'autre ;)
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Messagepar Mati » 14 juin 2012, 22:33

On prend x qui appartient à E, donc A={x, f(x), …, f composée n fois (x)} mais alors il faudrait que x soit égal à f composée n fois pour avoir f(A)={f(x), …, f composée n-1 fois(x)} et donc f(A) inclu dans A avec A non vide et distinct de E.
Je dois m'être trompée encore une fois, à moins que ce soit la bonne ^^
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 22:37

Mati a écrit :il faudrait que x soit égal à f composée n fois pour avoir f(A)={f(x), …, f composée n-1 fois(x)}


Je ne comprends pas ce passage. Mais on brûle :D
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Messagepar Mati » 14 juin 2012, 22:43

Maitreidmry a écrit :
Mati a écrit :il faudrait que x soit égal à f composée n fois pour avoir f(A)={f(x), …, f composée n-1 fois(x)}


Je ne comprends pas ce passage. Mais on brûle :D

Je me suis trompée je voulais mettre A={f(x), …, f composée n-1 fois(x)}
Is it right ? :D
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 22:50

Même si x=f^n(x), pourquoi tu enlèves et x et f^n(x) de A ?
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Messagepar Mati » 14 juin 2012, 22:54

Il faut enlever juste x alors
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 22:57

D'accord, je résume :
On prend x dans E et on considère A={x,f(x),...} (continué à l'infini).
S'il existe n tel que f^n(x)=x, alors A={x,...,f^{n-1}(x)} et f(A)={x,...,f^{n-1}(x)} d'où f(A)=A (encore plus fort :wink: ).
Reste à traiter le cas où il n'existe pas un tel n.
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Messagepar Mati » 14 juin 2012, 23:11

S'il n'existe pas un tel n (tq x=f^n(x)) alors A={x,f(x),…,etc} jusqu'à l'infini. Mais puisque x appartient à E alors A={f(x),…}, qui est inclu dans E, non vide et non égal à E
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Messagepar MeIdmry » 14 juin 2012, 23:25

Mati a écrit :Mais puisque x appartient à E alors A={f(x),…}


De quel droit tu enlèves x ? A moins que tu veuilles dire f(A) ?
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Messagepar Mati » 15 juin 2012, 16:50

Aucun :oops:
A={x, f(x),...} vérifie f(A) inclu dans A non ?
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Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 17:08

Oui, mais qui te dit que A n'est pas égal à E ? :D
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Messagepar Mati » 15 juin 2012, 17:23

Ce que je me demandais xD
Je crois que je suis de nouveau bloquée, je vois pas trop quoi faire pour le moment :/
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Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 17:32

Au lieu de considérer A={x,f(x),...} on peut prendre dans ce cas A={f(x),f^2(x),...} : on a bien f(A) inclus dans A et A différent de E (puisqu'il ne contient pas x :D ).
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Messagepar Mati » 15 juin 2012, 17:38

Okkkk, je pensais qu'on pouvais pas enlever x de l'ensemble A ^^
Donc après
Maitreidmry a écrit :Au lieu de considérer A={x,f(x),...} on peut prendre dans ce cas A={f(x),f^2(x),...} : on a bien f(A) inclus dans A et A différent de E (puisqu'il ne contient pas x :D ).

on peut considérer le cas si n n'existe pas tq f^n(x)=x traité ? :D

EDIT : enfin "enlever" tu as compris ce que je voulais dire, plutôt ne pas considérer x dans A
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 17:41

Tout à fait, l'exercice est terminé :wink:
Mes félicitations :D

Allez, un autre :

Déterminer les fonctions f de N dans N telle que pour tout n dans N, f(n+1) > f(f(n)).
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Mati » 15 juin 2012, 17:44

\o/
Même si j'ai galéré j'ai trouvé ça intéressant au niveau de la démarche mais aussi parce que j'avais jamais manipulé ce genre de choses.
En tout cas il me tarde l'an prochain d'apprendre à faire des raisonnements similaires sans erreurs :)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 17:44

Mati a écrit :EDIT : enfin "enlever" tu as compris ce que je voulais dire, plutôt ne pas considérer x dans A


Je viens enfin de comprendre ce que tu voulais dire ici :

Mati a écrit :S'il n'existe pas un tel n (tq x=f^n(x)) alors A={x,f(x),…,etc} jusqu'à l'infini. Mais puisque x appartient à E alors A={f(x),…}, qui est inclu dans E, non vide et non égal à E


Quand tu appelles quelque chose A, alors la lettre A est prise. Tu aurais dit alors A'={f(x),…} (...), j'aurais compris ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Mati » 15 juin 2012, 17:46

Ok :)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 18:47

Bonsoir,

J'essaie de me lancer sur cet exo.
J'ai la conviction qu'il faut d'abord traiter le cas où f(n+1)=f(f(n))
Dans ce cas-là, on remarque facilement que la fonction f:n↦n+1 convient.
Cette fonction est aussi injective (eh oui, je recycle mes connaissances, sait-on jamais !).
Sur ces quelques éléments, je m'en vais réfléchir encore...
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 18:49

Jean-Batman a écrit :J'ai la conviction qu'il faut d'abord traiter le cas où f(n+1)=f(f(n))
Dans ce cas-là, on remarque facilement que la fonction f:n↦n+1 convient.


Je ne sais pas si ce cas va t'aider :?
Par contre, c'est une bonne idée de voir des fonctions qui marchent. Essaye d'en trouver et essaye-toi à une conjecture :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 18:56

Hmmm... j'avais déjà trouvé ln(n)... je vais creuser la piste ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar eristoff09 » 15 juin 2012, 19:39

Il y a les racines aussi, je pense que c'est du au fait que la dérivée tend vers 0, mais quand à savoir pourquoi et comment... :mrgreen:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Mati » 15 juin 2012, 20:17

Je verrai bien des fonctions strictement croissantes quand je regarde f(n+1) > f(f(n))
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 20:29

Cherchons toutes les f de N dans R qui satisfont :

(P):f(n+1)>f(f(n))

Finalement, je suis d'accord sur les racines (bien vu, Eristoff ;)) mais pas sur les logarithmes (car la propriété ne serait alors pas vraie pour tout n de N).

Cela peut se vérifier vite fait avec les racines : pour tout x de R, x+1>\sqrt{x}.
Ainsi, il vient directement \sqrt{n+1}>\sqrt{\sqrt{n}}, pour tout n de N.
On élargit aux racines n-ièmes.

On remarque aussi que la fonction x-> -e^{-x} convient...

Hmmm... hmmm... Il semblerait qu'une fonction concave dispose de la propriété sus-citée.
Et une fonction concave a sa dérivée seconde négative.

Edit 3 : Ah ça c'est intéressant ! L'énoncé demande des fonctions de N dans N alors que là, ce sont des fonctions de N dans R que j'ai proposé !
Dernière édition par Jean-Batman le 15 juin 2012, 20:32, édité 1 fois.
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Messagepar eristoff09 » 15 juin 2012, 20:32

Non: f(x)=x+2 ne marche pas. :?
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Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 20:37

eristoff09 a écrit :Non: f(x)=x+2 ne marche pas. :?

A quelle affirmation est-ce que tu réponds ?
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 20:55

Jean-Batman a écrit :L'énoncé demande des fonctions de N dans N alors que là, ce sont des fonctions de N dans R que j'ai proposé !


Tout à fait. Ça réduit le choix :D
Alors, vous en avez au moins une ? :P
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:15

Allez, petit pronostic ^^ Je donne x->-x²
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 15 juin 2012, 21:19

Bah elle est pas dans N, mais dans Z :D

Je pense qu'il n'y en a pas d'autres que l'identité ( n->n ). Si f est strictement croissante c'est gagné selon des arguments classiques, reste à prouver que seule une fonction croissante peut convenir.Ou qu'elle est necessairement injective. Flemme.

(les bizuths, vous pouvez essayez de montrer que si f strictement croissante verifie f(n)<n+1, alors f est l'identité. Idem avec f injective)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:23

tphi a écrit :Bah elle est pas dans N, mais dans Z :D

Ah oui !! Me suis laissé emporter par l'euphorie :)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar eristoff09 » 15 juin 2012, 21:24

Mais arretez de nous mâcher le travail, on allait le dire! :lol:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 15 juin 2012, 21:27

Plutot que de faire le malin, va prouver le résultat que j'ai énoncé :twisted:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:45

Hum... pour f croissante et tout, je proposerais une démonstration par "si... alors" mais comme je n'excelle point, on verra bien.

Alors f croissante <=> f(n+1) > f(n). Prouvons que si f est croissante, alors f est l'identité.
On sait que f(n+1)>f(n) or n+1 > f(n) d'où f(n+1) < n+2. On peut alors dire que n+2 > f(n+1) >= n+1.
Ceci nous permet donc d'établir la double inégalité f(n+1) >= n+1 > f(n). (là j'ai fait la faute)
Or n+1 peut prendre que des valeurs entières d'où f(n+1)=n+1
Cela suffit pour dire que f(n)=n


Maintenant, je regarde la réciproque

Edit : il s'agit de f(n) et non pas de n.
Dernière édition par Jean-Batman le 15 juin 2012, 21:50, édité 1 fois.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:47

Prouvons que si f(n) vaut l'identité, alors f est croissante...
Mais... c'est pas une démonstration ça !!!!! f(n+1) > f(n) par relation d'ordre dans N, par définition de la récurrence dans N : s(n)=n+1>n
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 15 juin 2012, 21:51

Pour le sens intéréssant...les idées sont là mais c'est mal formalisé. Essaye une récurrence forte.

EDIT : C'est déjà mieux après edit, mais je dirais que pour rendre ca propre, une récurrence serait fort bien venue :D
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:57

tphi a écrit :Pour le sens intéréssant...les idées sont là mais c'est mal formalisé. Essaye une récurrence forte.

EDIT : C'est déjà mieux après edit, mais je dirais que pour rendre ca propre, une récurrence serait fort bien venue :D

D'accord :)
Est-ce que la démonstration n'est pas viable ou est-ce le fait qu'elle n'est pas assez puissante ?
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 15 juin 2012, 21:59

La deuxième question, c'est "si f est injective et si n+1>f(n) alors f(n)=Id", c'est ça ?
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 15 juin 2012, 22:01

Jean-Batman a écrit : n+2 > f(n+1) >= n+1.


Rien qu'avec ca tu peux conclure, pas besoin de tout le reste qui montre clairement que tu t'embrouille...

Pour finir "proprement" avec cette inégalité, il faudrait construire la fonction par récurrence et montrer que c'est l'identité. Pas nécéssaire après réflexion. J'suis un peu fatigué, c'est pas dans mon genre pourtant de vouloir en faire trop



Et oui pour la 2e question
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 22:20

tphi a écrit :si f strictement croissante verifie f(n)<n+1, alors f est l'identité


Récurrence triviale :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 15 juin 2012, 22:23

Une autre idée serait de voir que f(n+1)>f(f(n))>=0 donc f(n+1)>=1.
Ainsi, une piste pourrait être de montrer que f(n+k)>=k :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 18 juin 2012, 13:08

Voilà un exo d'Arithmétique que j'ai vu quelque part. Il a l'air cool et difficile, mais je ne l'ai pas encore regardé en détail :

Déterminer tous les n de N tels que n²|2ⁿ+1
Pas 5/2

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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 18 juin 2012, 13:20

Jean-Batman a écrit :Voilà un exo d'Arithmétique que j'ai vu quelque part. Il a l'air cool et difficile, mais je ne l'ai pas encore regardé en détail :
Déterminer tous les n de N tels que n²|2ⁿ+1


Résolvons d'abord l'exo en cours. Ensuite, promis, on passe à celui-là :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 18 juin 2012, 13:22

D'accord :) je m'y attelerai vendredi soir !
Pas 5/2

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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 03 juil. 2012, 13:28

Voilà un exo rapide, à consommer de suite (edit : niveau 1S) :

Soit f : N vers N
Calculez f(993) tel que : fof(n)=4n-3 et f(2^n)=2^(n+1)-1
Pas 5/2

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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 03 juil. 2012, 13:49

1985 ? (aux erreurs de calcul près...)
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