Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar **Jean-Batman** » 03 juil. 2012, 14:00

tphi a écrit :1985 ? (aux erreurs de calcul près...)

Non, c'est ça

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 18:04

Un ptit exo pour relancer un peu le topic ? ^^

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 19:49

Si tu y tiens :

Soit x>0 un nombre rationnel. Montrer qu'il existe n entiers positifs distincts a1, ..., an tels que
x=1/a1 + ... + 1/an

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 20:30

Mince, je l'ai fait dans l'autre sens... Bon je m'y remet^^

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 20:38

Une petite indication si tu sèches :

Bonne chance, c'est un oral de l'ENS Ulm.

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 20:40

Sympa l'indication

Mais ce que j'ai vu en TS, ca suffit pour trouver ?

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 20:43

Oui, il faut juste avoir de bonnes idées. Un seconde pourrait le faire.

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 20:54

Je te donne la grosse indication de la mort :

Avec ça et un peu de jugeote, tu fais l'exo

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 20:57

D'accord, ça me fait un point de départ comme ça.

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 21:49

Non mais tphi, c'est un gros malade de la mort qui tue... il nous propose des exos posés aux ENS !!!

(on en voudra d'autres, même si on y arrive pas à celui-ci ^^)

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:01

Comme je rame x)

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:05

Idem ! Je me demande s'il faut vraiment en revenir à la définition d'un nombre rationnel

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:06

Justement, j'allais te demander ton avis. Ça fait 1h que j’essaie de le faire en commençant par poser x =p/q et en le triturant de toutes les façons, mais ça n'aboutit à rien...

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:17

Ah, j'ai peut-être une piste ! Je te la propose pour voir si tu vois quelque chose qui pourrait nous faire avancer

Tout nombre rationnel de la forme a/b avec PGCD(a;b)=1 (mais ce n'est pas important) peut s'écrire sous la forme (1/b)*a = 1/b + 1/b + 1/b + ... + 1/b et ce a fois.
Après, on utilise l'identité proposée par tphi et cela nous fait une somme de a modèles tous identiques. On réapplique arbitrairement l'identité sur chaque terme, et mon cerveau explose ^^

Le problème est de donner une somme de termes de la forme 1/ai tous différents :/

Edit : en plus il nous met la pression le bougre ! "Un seconde pourrait y arriver"

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 22:18

C'est tout à fait ce que propose JB ! Plus qu'un petit effort

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:23

Ah...

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:25

Tain super idée JB

Mon cerveau explose aussi à chaque fois que j'essaie de concevoir le truc ^^ Grâce à toi on est sur la bonne piste !

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:32

oulala !! Je crois avoir un truc :
Alors nous avons une somme de a termes tous identiques de la forme 1/b.
Nous développons le premier 1/b en 1/(b+1) + 1/b(b+1)
Nous développons le deuxième en 1/(b+1) + 1/b(b+1) = 1/(b+2) + 1/(b+1)(b+2) + 1/(b(b+1)+1) + 1(b(b+1)+(b(b+1)+1)
Etc.
Nous avons donc en tout un nombre de termes tous différents qui vaut la somme de 2^k jusqu'à a, ce qui vaut 2^{a+1}-2 termes, soit n termes de façon arbitraire.

Je-crois-avoir-dit-n'importe-quoi

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 22:37

Ben c'est tout à fait ça

enfin, ca marche, ce n'est que l'une des nombreuses façons de le faire

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:39

Bien ouèj, j'étais en train de faire un arbre qui correspond à la méthode dont tu parlais, par contre j'arrivais pas à compter les termes comme tu l'as fait ! Bravo

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:40

arf, bon ben je vais essayer de voir avec Joan une autre façon de le faire, parce que celle-ci m'a l'air d'être un peu brutale sur les bords !

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:41

JoanSivion a écrit :Bien ouèj, j'étais en train de faire un arbre qui correspond à la méthode dont tu parlais, par contre j'arrivais pas à compter les termes comme tu l'as fait ! Bravo

Même réflexe, pas la même façon de se le représenter

Bravo à toi aussi !

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:42

Jean-Batman a écrit :
JoanSivion a écrit :Bien ouèj, j'étais en train de faire un arbre qui correspond à la méthode dont tu parlais, par contre j'arrivais pas à compter les termes comme tu l'as fait ! Bravo

Même réflexe, pas la même façon de se le représenter Bravo à toi aussi !

Mouais c'est quand même toi qui a tout trouvé^^'

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 22:43

Bah je vois pas comment faire mieux...on peut améliorer le nombre de termes mais c'est pas le but de l'exo.

Pour votre culture : http://fr.wikipedia.org/wiki/Fraction_égyptienne

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:44

Tu m'cherches ! Si j'avais pas forcé un développement de bourrin, j'aurais pas vu très vite la façon de trouver le nombre de termes ^^

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:46

Oh putain le con, je connaissais et j'ai même pas fait le lien >< :shock:

Bon, pour le prochain exo, Arithmétique ? (a)

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 22:49

Olà, ya trop de trucs en arithmétiques, des résultats qui sont déjà bien trop compliqués pour moi.

Soit n premier, montrer que

(a+b)^n = a^n + b^n [n]

? C'est classique, vous l'avez peut etre déjà fait

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 22:50

tphi a écrit :Olà, ya trop de trucs en arithmétiques, des résultats qui sont déjà bien trop compliqués pour moi.

Montrer que

(a+b)^n = a^n + b^n [n]

? C'est classique, vous l'avez peut etre déjà fait

Non jamais vu ! Je regarde !

Messagepar **tphi** » 15 août 2012, 22:52

Euh, j'ai oublié une hypothèse FONDAMENTALE, n premier -__-

Messagepar **Jean-Batman** » 15 août 2012, 22:55

Bonne nuit et bon courage Joan ! Je peux pas m'y atteler à celui-ci pour l'instant : Je dois rentrer chez moi et je suis ex-té-nu-é !! (le gros echappé ^^)
Je viens de dénicher un exo accessible niveau ENS : je le posterai demain

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 15 août 2012, 23:00

Moi aussi je fatigue, j,'emmenage à Toulouse demain

Je le ferai sur la route, enfin du moins j'essaierai !

Messagepar **MeIdmry** » 17 août 2012, 16:07

Sur le coup, je me suis demandé pourquoi tu prenais n premier. Après 30 secondes de réflexion, j'ai compris :mrgreen:

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 16:12

Alors j'ai essayé de passer un coup de Fermat, chuis passé par des développements de (a+b)^n et a^n+b^n en des sommes, et j'ai voulu montrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n] (ça c'est fait si a et b sont plus petits que n)... Mais j'arrive pas à une conclusion !

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 19:56

J'ai démontré que(a+b)^n = a + b[n ] et la j'essaie de démontrer a^n+b^n=a+b[n]

Tu as démontré les 2 toi ? Parce que dans ce cas tu as fini il me semble !

Messagepar **MeIdmry** » 17 août 2012, 20:32

Jean-Batman a écrit :Alors j'ai essayé de passer un coup de Fermat (...) et j'ai voulu montrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n].

Soit je suis bête soit il y a un truc que je pige pas... Tu as tout dit :wink:

Une autre façon de faire aurait été de montrer que n divise tout les coefficients binomiaux. Mais le coup de Fermat est pas mal :mrgreen:

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 20:35

Maitreidmry a écrit :
Jean-Batman a écrit :Alors j'ai essayé de passer un coup de Fermat (...) et j'ai voulu montrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n].

Soit je suis bête soit il y a un truc que je pige pas... Tu as tout dit

Une autre façon de faire aurait été de montrer que n divise tout les coefficients binomiaux. Mais le coup de Fermat est pas mal

Le petit théorème de Fermat c'est pour démontrer (a+b)^n=a+b[n] . Mais après, je pense que comme moi il lui manque la démonstration de la deuxième relation. (ou sinon il a fini^^')

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 20:36

Joan : c'est bon, je crois avoir démontré le truc

Il ne faut pas démontrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n] mais il faut juste passer d'un côté à l'autre !

Nous avons le développement de (a+b)^n=somme de k=0 à n de (k;n)a^{n-k}b^k grâce à Newton, où je note (k;n) le coeff binomial "k parmi n".
Or (k;n) est divisible par n car (k;n)=n!/(k!(n-k)!)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!
En effet, k!(k;n)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1) qui est divisible par n.
Comme n ne divise pas k! (n premier), nous avons donc d'après Gauss n|(k;n)
Par conséquent, n|somme de k=1 à n-1 de (k;n)a^{n-k}b^k
Il nous reste (a+b)^n=a^n+b^n[n]

Edit : n divise bien somme de k=1 à n-1 de (k;n)a^{n-k}b^k et non pas somme de k=1 à n+1 de (k;n)a^{n-k}b^k ^^

Messagepar **MeIdmry** » 17 août 2012, 20:45

JoanSivion a écrit :Le petit théorème de Fermat c'est pour démontrer (a+b)^n=a+b[n] . Mais après, je pense que comme moi il lui manque la démonstration de la deuxième relation. (ou sinon il a fini^^')

Pour la deuxième relation, tu appliques deux fois Fermat :mrgreen:

Jean-Batman a écrit :Joan : c'est bon, je crois avoir démontré le truc Il ne faut pas démontrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n] mais il faut juste passer d'un côté à l'autre !

Moi pas comprendre le problème

Jean-Batman a écrit :Nous avons le développement de (a+b)^n=somme de k=0 à n de (k;n)a^{n-k}b^k grâce à Newton, où je note (k;n) le coeff binomial "k parmi n".
Or (k;n) est divisible par n car (k;n)=n!/(k!(n-k)!)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)/k!
En effet, k!(k;n)=n(n-1)(n-2)...(n-k+1) qui est divisible par n.
Comme n ne divise pas k! (n premier), nous avons donc d'après Gauss n|(k;n)
Par conséquent, n|somme de k=1 à n-1 de (k;n)a^{n-k}b^k
Il nous reste (a+b)^n=a^n+b^n[n]
Edit : n divise bien somme de k=1 à n-1 de (k;n)a^{n-k}b^k et non pas somme de k=1 à n+1 de (k;n)a^{n-k}b^k ^^

Très bien

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 20:45

J'ai un peu de mal à suivre sans latex, mais j'ai essayé d'écrire ton message au brouillon, je vois pas trop comment tu arrives à la conclusion de l'exo :/

EDIT : Ah sii j'ai compris x)

Messagepar **MeIdmry** » 17 août 2012, 20:47

Qu'est ce que tu ne comprends pas ? :wink:

EDIT : OK.

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 20:49

MeIdmry a écrit :Pour la deuxième relation, tu appliques deux fois Fermat

Ah mais oui, c'est super simple du coup ! Quel homme ce Fermat. :mrgreen:

Un autre ?^^

Messagepar **MeIdmry** » 17 août 2012, 20:53

Un (très) difficile pour les warriors :

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 20:56

MeIdmry a écrit :Un (très) difficile pour les warriors :

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

Pas pour moi ça, je suis une bille en géométrie :roll:

EDIT : Deja je comprend pas l'énoncé, c'est pas la définition d'une droite ca ?

EDIT 2 : Euh oubliez ce que je viens d'écrire, mais je comprend toujours pas l'énoncé^^

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 21:00

Aïe Aïe Aïe !! Caraaaamba !!!

Comme Joan, je comprends pas l'énoncé, mais qu'est-ce qu'il est tentant ! ^^
Allez, je m'y mets. J'arriverai peut-être à pondre un embryon de réflexion

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 21:04

Question 1 : cela veut dire que si l'on définit la distance euclidienne entre deux points quelconques, nous aurions : d(x,y)=|x-y| ?

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 22:03

Quand j'aborde un problème et que je le comprends pas, je procède de deux manières : J'essaie de le visualiser et/ou je procède par l'absurde.
Ici, Je suis poussé dans mes derniers retranchements, alors à quoi bon lésiner sur les feuilles de brouillon !
Mais je fais choux-blanc... donc une petite indication serait la bienvenue

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 23:50

MeIdmry a écrit :
Jean-Batman a écrit :Joan : c'est bon, je crois avoir démontré le truc Il ne faut pas démontrer que (a+b)^n=a+b[n] et que a^n+b^n=a+b[n] mais il faut juste passer d'un côté à l'autre !

Moi pas comprendre le problème

J'ai aussi appliqué Fermat deux fois comme tu l'as dit mais il n'y avait pas l'hypothèse a<n, b<n...

Edit : tain... Mon 4ème message consécutif ^^ désolé de polluer ¡

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 17 août 2012, 23:52

Pas besoin de ces hypotheses pour le petit theorème de Fermat !

« si p est un nombre premier et si a est un entier quelconque, alors a p - a est un multiple de p. »

Messagepar **Jean-Batman** » 17 août 2012, 23:57

Nan, Joan ! Il faut revoir la def !

Il est dit "si p est premier et si p ne divise pas a". Ceci implique une condition suffisante (mais pas nécessaire) : a<p car nous pourrions avoir a multiple de p dans le cas contraire !

JoanSivion · Messagepar **JoanSivion** » 18 août 2012, 21:34

Bah dans ce cas la p divise a et plus besoin du théorème de Fermat. Je vois pas le probléme

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