Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

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lavi
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar lavi » 19 août 2012, 20:31

MeIdmry a écrit :Un (très) difficile pour les warriors :

On considère une infinité de points du plan à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.


Hum...

On considère trois points du plan non alignés et formant un triangle équilatéral, alors ces trois points sont à distance égale les uns des autres, mais ne sont pas alignés. Et comme tu n'as pas précisé que les points n'étaient pas confondus, l'énoncé est faux.

Euh... tu es sur que tu as bien formulé l'énoncé ? Parce que je me rends compte que il y a beaucoup d'interprétations possibles de cet énoncé...
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Jean-Batman
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 20 août 2012, 00:10

Salut Lavi ;) ravi de te revoir fréquenter ce forum !

On parle de distance entière ! Pas de distance égale (on ne peut pas avoir n points distincts deux à deux distants d'un même scalaire, pour n>3).
Après, il existe le triplet Pythagoricien qui fonctionne pour n=3. Le problème, c'est que nous traitons le cas n=infini ^^
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 20 août 2012, 12:29

Jean-Batman a écrit :Question 1 : cela veut dire que si l'on définit la distance euclidienne entre deux points quelconques, nous aurions : d(x,y)=|x-y| ?


Naturellement :wink:

Jean-Batman a écrit :Nan, Joan ! Il faut revoir la def ! :)
Il est dit "si p est premier et si p ne divise pas a". Ceci implique une condition suffisante (mais pas nécessaire) : a<p car nous pourrions avoir a multiple de p dans le cas contraire !


Attention : a^p=a(p) est toujours vrai, tes hypothèses servent à avoir a^{p-1}=1(p).

lavi a écrit :On considère trois points du plan non alignés et formant un triangle équilatéral, alors ces trois points sont à distance égale les uns des autres, mais ne sont pas alignés. Et comme tu n'as pas précisé que les points n'étaient pas confondus, l'énoncé est faux.


Là, tu cherches la petite bête :mrgreen: Bien sûr que les points sont distincts :evil:

Jean-Batman a écrit :On parle de distance entière ! Pas de distance égale (on ne peut pas avoir n points distincts deux à deux distants d'un même scalaire, pour n>3).
Après, il existe le triplet Pythagoricien qui fonctionne pour n=3. Le problème, c'est que nous traitons le cas n=infini ^^


Voilà, enfin un message de quelqu'un qui a bien compris le problème :twisted:

Donc je précise le problème :
On considère une infinité de points distincts du plan euclidien à distances entières les uns des autres. Montrer que ces points sont alignés.

Une indication : on raisonne par l'absurde, on a donc une infinité de points du plan non alignés à distances entières les uns des autres.
On peut donc considérer 3 points (parmi tous ces points) non alignés, appelons-les A, B et C.
L'indication est : remarquez que AC <= AB + BC (en fait <, mais on s'en fout) et donc que AC - BC <= AB. De même, BC - AC <= AB, d'où |AC - BC| <= AB.

Je vous invite maintenant à regarder le petit dessin suivant qui donne une propriété intéressante de l'hyperbole :
Image
(si vous ne comprenez pas où je veux en venir, chercher "définition bifocale de l'hyperbole").

A vous :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 20 août 2012, 16:55

Je vois que ma dernière indication vous a laissé de marbre... Je vous joins donc une correction personnelle que j'avais écrite pour mes élèves.
Cet exercice est très astucieux (voire introuvable :mrgreen: ), mais rien ne doit vous gêner dans le papier si ce n'est que l'ensemble des points M vérifiant |AM-BM|=k est une hyperbole, cf Wikipédia :wink:

Image
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar lavi » 20 août 2012, 18:04

ah... je ne connaissais pas cette definition...

on a donc puisqu'on considère C n'appartenant pas à (A;B), |AC-BC|=2a avec a<1/2AB me semble-t-il et on veut 2a entier

prenons AB = 1

alors 2a entier et 0<=2a<=1 (AB)

donc cela implique 2a = 0 ou 2a=1

dans le premier cas C appartient à la médiatrice du segment [A;B]

dans le second cas C appartient à (A;B), ce qui est absurde si C n'appartient pas à (A;B)

il faut donc montrer que C ne peut pas appartenir à la médiatrice de [AB]
prenons un autre point D à une distance b entière de B alors CD=

et m**** je m'embrouille...
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar lavi » 20 août 2012, 18:09

je viens de voir la solution... ok je retiens. :mrgreen:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 21 août 2012, 18:20

Salut vous tous ! :)
Je viens de rentrer de la plage... et un peu déçu de voir que la solution a été postée !
Mais en la voyant, j'ai été plus que jamais convaincu que j'aurais jamais réussi à faire cet exo ! Je n'ai pas compris un seul mot ou presque ! Et j'ai pas saisi ce que représente le grand pont inversé avec les indices :/ Une réunion ?
En tout cas meidmry, merci, je verrai bien dans un an ou deux le sens de tout ceci ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 21 août 2012, 20:42

Jean-Batman a écrit :Je viens de rentrer de la plage... et un peu déçu de voir que la solution a été postée !


En fait, quand j'ai vu que ça pataugeait et que le mot hyperbole avait laissé tout le monde de marbre, j'ai franchi le rubicon.

Jean-Batman a écrit :Mais en la voyant, j'ai été plus que jamais convaincu que j'aurais jamais réussi à faire cet exo ! Je n'ai pas compris un seul mot ou presque ! Et j'ai pas saisi ce que représente le grand pont inversé avec les indices :/ Une réunion ?


Oui, c'est une réunion. U_{k=1}^{n} A_i signifie A_1 U A_2 U ... U A_n :wink:

Jean-Batman a écrit :En tout cas meidmry, merci, je verrai bien dans un an ou deux le sens de tout ceci ;)


A part la connaissance sur l'hyperbole, c'est de la géométrie élémentaire. Quand je dis "élémentaire", cela signifie que c'est accessible contrairement à de la géométrie algébrique ou de la géométrie différentielle. A part un petit peu de géométrie différentielle, on ne fait quasiment pas de géométrie en prépa. Et certainement pas de la géométrie "élémentaire". Autrement dit, si dans deux ans, ta connaissance des mathématiques sera bien meilleure, tu n'en seras pas mieux armé pour comprendre cet exercice... :mrgreen:

Allons-y pas à pas, quel est le premier élément que tu ne comprends pas ?
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 22 août 2012, 23:31

MeIdmry a écrit :
Jean-Batman a écrit :Nan, Joan ! Il faut revoir la def ! :)
Il est dit "si p est premier et si p ne divise pas a". Ceci implique une condition suffisante (mais pas nécessaire) : a<p car nous pourrions avoir a multiple de p dans le cas contraire !


Attention : a^p=a(p) est toujours vrai, tes hypothèses servent à avoir a^{p-1}=1(p).

C'est noté ! ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 22 août 2012, 23:32

Monsieur le Président a écrit :A part la connaissance sur l'hyperbole, c'est de la géométrie élémentaire. Quand je dis "élémentaire", cela signifie que c'est accessible contrairement à de la géométrie algébrique ou de la géométrie différentielle. A part un petit peu de géométrie différentielle, on ne fait quasiment pas de géométrie en prépa. Et certainement pas de la géométrie "élémentaire". Autrement dit, si dans deux ans, ta connaissance des mathématiques sera bien meilleure, tu n'en seras pas mieux armé pour comprendre cet exercice... :mrgreen:

Allons-y pas à pas, quel est le premier élément que tu ne comprends pas ?

Il y a beaucoup de choses que je ne comprends pas ! ^^ Mais je verrai ça demain, ou devrais-je dire "tout à l'heure" ! :)
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Un four Solaire

Messagepar Jean-Batman » 24 août 2012, 18:54

Salut ;)

Un exo d'optique géométrique/analyse que m'a proposé un ami et que j'ai trouvé intéressant :

Nous disposons d'un four solaire. Le principe est le suivant : Ce miroir est une parabole exposée à la lumière Solaire. Les rayons du Soleil arrivent sur ce miroir, sont réfléchis et concentrés sur un récepteur photonique. Nous supposerons, pour une simplification du modèle, que ces rayons arrivent verticalement au sol.
Plus particulièrement, nous considérons une parabole dont l'expression fonctionnelle est f(x)=ax², pour a n'importe quel réel. On supposera également qu'il existe un unique point de convergence pour de tels rayons et que la surface du miroir est parfaitement réfléchissante.
Où est-ce que se trouve ce point de convergence ?
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 14:10

Pas si intéressant que ça ? Trop facile ? :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 26 août 2012, 20:42

Ca ressemble de près ou de loin à de la physique donc c'est inintéréssant.

Montrer que toute fonction de R dans R peut s'écrire comme la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 20:45

lol bon ben tant pis ^^ Je reste sur mes racines : physique> maths :p


Toute fonction de R dans R ?
J'ai déjà un exemple en tête : la fonction exponentielle somme du sinus hyperbolique et du cosinus hyperbolique. Laisse-moi réfléchir, celui-ci a l'air cool.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:09

Revenons-en aux définitions.
Toute fonction paire (de R dans R, mais c'est assez explicite) est définie par la relation fonctionnelle :
f(-x)=f(x)
Toute fonction impaire de R dans R par :
f(-x)=-f(x)

Je m'inspire en grande partie de l'exemple que j'ai cité précédemment :

Nous avons exp(x) = ch(x)+sh(x) = (exp(x)+exp(-x))/2 + (exp(x)-exp(-x))/2

Je peux donc conjecturer ( Nota : le terme est faux. Je ne conjecture rien, j'en fais une déduction) que pour tout f, nous avons f(x) = (f(x)+f(-x))/2 + (f(x)-f(-x))/2
Montrons que l'une des deux fonctions est paire et que l'autre est impaire.

1) (f(x)+f(-x))/2 = k(x)
Calculons k(-x). Nous trouvons k(-x) = (f(-x)+f(-(-x)))/2 = k(x) donc k est paire.

2) (f(x)-f(-x))/2 = l(x)
Rebelote. On trouve l(-x) = (f(-x)-f(x))/2 = -l(x) donc l est impaire.

Nous avons ainsi f comme étant la somme d'une fonction paire et d'une fonction impaire. CQFD
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 26 août 2012, 21:16

Ouaip, c'est bien d'avoir de l'intuition. Tu aurais pu sinon supposer qu'il existe g et h respectivement paires et impaires qui vérifient f=g+h et en calculant f(-x) en déduire les expressions de g et h.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:19

J'ai changé les variables g et h car k et l me plaisent plus (lol c'était la page "JB envoie un message secret" ^^)

D'ac, un autre exo ?!! Image
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 26 août 2012, 21:24

...cherche une primitive de t->1/ln(t) :mrgreen:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:28

tphi a écrit :...cherche une primitive de t->1/ln(t) :mrgreen:

Hahaha la tête que tu fais : j'en déduis qu'il est pas facile facile !
J'ai plusieurs idées : Forcer une IPP, changement de variables (mais je sais pas faire) ou la résoudre à la physicienne (mais je vois pas DU TOUT de modèle à exploiter).
Verdict : je vais forcer l'IPP :mrgreen:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:36

Thibault... t'es i-gno-ble !!
On peut pas intégrer cette horreur :/ Je me retrouve avec S(dt/ln t)=[t/(ln t)] + S(dt/(ln t)²)
Si je continue, j'en aurai jamais fini...
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 26 août 2012, 21:41

Bien sur que si on peut l'intégrer :P

En posant une fonction dont la dérivée est 1/ln t
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Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:42

D'ac, je trouve S(dt/ln(t)) + cte :P
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar tphi » 26 août 2012, 21:45

Très bien ! On l'appelle "li", logarithme intégral :mrgreen:

je te cherche un vrai exo :)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 26 août 2012, 21:46

Oui, celle-ci on peut la donner le jour d'Halloween ou le 1er Avril mais ça me fait rire au final ^^
Merci pour tout ! :)

PS : c'est bien pour ma culture, je vais me documenter !
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 27 août 2012, 17:49

Trouver tous les triplets d'entiers (x,y,z) tels que x^2+y^2=z^2.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 27 août 2012, 18:43

Maitreidmry a écrit :Trouver tous les triplets d'entiers (x,y,z) tels que x^2+y^2=z^2.


Déjà, il y a tous les triplets (n,0,n) (0, n, n) (-n, 0, -n) (0, -n, -n) (-n, 0, n) (n, 0', -n) (0, -n, n) (0, n, -n) n € Z. Après en dressant la liste des carrés des premiers entiers j'ai trouvé (3,4,5) (et du coup (4,3,5)

Je cherche une méthode pour obtenir l'ensemble des solutions. Je vais essayer de voir sous quelles conditions un carré peut s'écrire comme la somme de deux autres carrés.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 27 août 2012, 19:53

Tout d'abord, on peut se ramener au cas où x, y et z sont premiers entre eux (quitte à diviser par leur PGCD).
Indication : essayez de regarder la parité de x et y :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 27 août 2012, 20:33

C'est un exercice pour les solides ça, et à côté, je ressemble à un lâche ^^
Impossible sans du génie et d'autres indications...

Edit : j'oubliais de préciser... Il est quasi impossible sauf si on a le mathématiques Tle S ens spé de chez Bréal ^^
Sur le coup, je vais m'abstenir de répondre !
Dernière édition par Jean-Batman le 27 août 2012, 20:39, édité 1 fois.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 27 août 2012, 20:35

Je crois que j'ai une piste, j'essaie de rédiger un truc !
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 27 août 2012, 21:37

Jean-Batman a écrit :Edit : j'oubliais de préciser... Il est quasi impossible sauf si on a le mathématiques Tle S ens spé de chez Bréal ^^
Sur le coup, je vais m'abstenir de répondre !


Chut ! :lol:
Je reconnais qu'il s'agit d'un exo difficile posé comme ça. Je préfère faire comme ça et donner les indications au fur et à mesure (comme ça, vous pouvez chercher) plutôt que de donner 2 questions intermédiaires :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar lavi » 27 août 2012, 21:57

Maitreidmry a écrit :Trouver tous les triplets d'entiers (x,y,z) tels que x^2+y^2=z^2.


Oh ! des triplets pythagoriciens ! :o
hum... :|
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 27 août 2012, 22:04

Nico : dans mon bouquin y a 12 questions intermédiaires et je bloque à la première.

OVERSHAME ON ME !!!
J'avoue cependant accumuler les veilles tardives... Bonne nuit les petits :)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 27 août 2012, 22:46

Bon voilà j'ai étudié la parité de x et je suis arrivé à ça mais je sais pas trop comment continuer...

http://imageshack.us/photo/my-images/255/exoc.jpg/
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 27 août 2012, 23:38

Premièrement, la racine ne te choque pas à la fin ? Tu risque d'avoir des nombres pas très entiers :mrgreen:
Deuxièmement, très grave erreur : ce n'est pas parce que (z+y)(z-y)=4k^2 que z+y et z-y sont pairs !
k peut très bien être impair (et donc k^2 aussi) et l'un des deux multiple de 4...

Essaye de montrer que x et y sont de parité différente :wink:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 08:18

Mince j'ai tout faux ^^ Ça m'apprendra à vouloir aller trop vite, je vais plutôt suivre tes indications et avancer pas à pas x)

Bon alors :

Ramenons nous donc au cas où x, y et z sont premiers entre eux.

Ces 3 nombres ne peuvent pas être tous pairs car sinon ils seraient divisibles par 2, ce qui est impossible leur PGCD étant 1. Ils ne sont pas non plus tous impairs car la somme de deux nombres impairs est un nombre pair.
Ainsi, parmi nos 3 entiers, au moins un doit être pair et au moins un doit être impair. Comme la somme d'un pair et d'un impair est un nombre impair, on a 2 nombres impairs et un nombre pair. (1)

Supposons que x et y soient impairs, d'après (1) z est alors pair. Il existe donc des entiers k, k' et k" tels que :

(2k +1)^2 + (2k' +1)^2 = (2k"2)
4k^2 + 4k +1 + 4k'^2 + 4k' + 1 = 4k"^2
4 (k^2 + k + k'^2 + k' + 1/2) = 4 k"^2
K + 1/2 = k"^2 avec K = k^2 + k + k'^2 + k' un entier.
k"^2 ne serait donc pas un entier, ce qui est contraire aux hypothèses. De ce fait x et y ne peuvent pas être tous les deux impairs. (2)

Conclusion : D'après (1) et (2), x et y sont de parités différentes.



J'espère que j'ai pas écrit n'importe quoi. ^^'
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 08:57

Perso ça m'a l'air bien (y)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 28 août 2012, 15:51

Très bien :wink:

Quitte à inverser x et y, on peut supposer x pair et y impair. Essayez de montrer qu'il existe deux entiers u et v premiers entre eux tels que y=u-v et z=u+v.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 17:22

J'ai un truc à proposer, mais ça m'étonnerait pas que ça soit du grand délire^^ :lol:

On prend x pair donc il existe un entier l tel que :
x = 2l
x^2 = 4l^2
z^2 - y^2 = 4l^2
(z+y)(z-y) = 4l^2

z et y sont impairs donc z+y et z-y sont tous les deux pairs. Il existe donc des entiers u et v tels que :
z+y = 2u et z-y = 2v
z = 2u-y et y = z-2v
z = u+v et y = u-v

De plus uv = l^2, donc uv + l x (-l) = 1. (1) D'après le théorème de Bezout, u et l sont premiers entre eux.

u divise l^2 et pgcd(u,l) =1 donc d'après le théorème de Gauss u divise l, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que l = ku.
En injectant dans (1), on obtient vu + u x (-kku) = 1. Donc d'après le théorème de Bezout, v et u sont premiers entre eux.



Je pense pas que ca soit bon, j'ai pas du bien comprendre le théorème de Bezout...

EDIT : Argh j'ai écrit n'importe quoi.^^ Je vais continuer à chercher !
Dernière édition par JoanSivion le 28 août 2012, 17:34, édité 2 fois.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 17:30

JoanSivion a écrit :J'ai un truc à proposer, mais ça m'étonnerait pas que ça soit du grand délire^^ :lol:

On prend x pair donc il existe un entier l tel que :
x = 2l
x^2 = 4l^2
z^2 - y^2 = 4l^2
(z+y)(z-y) = 4l^2

z et y sont impairs donc z+y et z-y sont tous les deux pairs. Il existe donc des entiers u et v tels que :
z+y = 2u et z-y = 2v
z = 2u-y et y = z-2v
z = u+v et y = u-v

De plus uv = l^2, donc uv + l x (-l) = 1. (1) D'après le théorème de Bezout, u et l sont premiers entre eux.

u divise l^2 et pgcd(u,l) =1 donc d'après le théorème de Gauss u divise l, c'est à dire qu'il existe un entier k tel que l = ku.
En injectant dans (1), on obtient vu + u x (-kku) = 1. Donc d'après le théorème de Bezout, v et u sont premiers entre eux.



Je pense pas que ca soit bon, j'ai pas du bien comprendre le théorème de Bezout...

Salut !

J'ai pas tout compris : comment passes-tu de "z = 2u-y et y = z-2v" à "z = u+v et y = u-v" ?
Et puis si "uv = l^2", comment peux-tu affirmer que "uv + l x (-l) = 1" ? Dans ce dernier cas, nous aurions uv-l²=uv-uv=0 nan ?

Puis pour le théorème de Bézout, j'ai l'impression que tu le manies sans trop faire attention ^^ exemple :

Monsieur Bézout a écrit :Si u et v sont premiers entre eux, alors il existe (x;y) appartenant à Z*² tel que :
ux+vy=1


Mais rien ne t'indique si x et y sont premiers entre eux !
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 17:32

Pour ta première question j'injecte et pour la deuxième je me suis complétement foiré x) Merde :lol:
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 18:05

Cette fois ci je pense que c'est bon, le début reste le même :


On prend x pair donc il existe un entier l tel que :
x = 2l
x^2 = 4l^2
z^2 - y^2 = 4l^2
(z+y)(z-y) = 4l^2

z et y sont impairs donc z+y et z-y sont tous les deux pairs. Il existe donc des entiers u et v tels que :
z+y = 2u et z-y = 2v
z = 2u-y et y = z-2v
z = u+v et y = u-v

Supposons que u et v ne soient pas premiers entre eux, il existe alors un entier d différent de 1 tel que d divise u et d divise v. On aurait alors d | u -v et d | u + v c'est à dire d | y et d | z
On en déduit que d | y^2 et d | z^2 d'où d | z^2 - y^2 c'est à dire d | x^2. d serait alors un diviseur commun à x^2, y^2 et z^2.

Or x, y et z sont premiers entre eux donc leurs carrés le sont également (enfin il me semble, j'ai rédigé une démonstration sur feuille qui m'avait l'air pas trop mal). On aboutit à une contradiction donc u et v sont premiers entre eux.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 19:51

si x, y et z sont premiers entre eux, je confirme qu'il en est de même pour x², y² et z² :
x∧y∧z=1 <=> (x∧y)∧z=1
Or x∧y=1 cela veut dire qu'il n'existe pas de diviseur commun (autre que 1) pour x et y.
Le carré de x et celui de y ne partagent donc également pas de diviseur commun autre que 1 (on s'en persuade en écrivant la décomposition en facteurs premiers de x et de y).
Comme x²∧y²=1, nous avons x²∧y²∧z²=1∧z²=1
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Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 19:59

Jean-Batman a écrit : Monsieur Bézout a écrit:Si u et v sont premiers entre eux, alors il existe (x;y) appartenant à Z*² tel que :
ux+vy=1



Mais rien ne t'indique si x et y sont premiers entre eux !


Bah moi j'essaie de l'utiliser dans l'autre sens pour montrer que mes nombres étaient premiers entre eux justement ! Mais bon sur ce post j'ai fait de la merde^^
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 20:05

C'est ce que je te dis :p T'as essayé de partir de la relation pour prouver que blabla, mais cela ne prouve rien !

Et chuis pas d'accord, t'as été excellent sur ce problème jusqu'à maintenant, modulo quelques erreurs. Mais la réflexion est là ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 20:10

Je parle en particulier du post ou j'ai fait de la cuisine avec Bezout^^
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 20:12

Oui ça sentait le crâââhmé à la fin ^^
Mis à part cela, c'est de la haute gastronomie (j'exagère, tu te débrouilles bien, ya de l'idée. Moi sur ce genre de problèmes vagues, je sèche)

Allez bonne nuit, je reviens voir comment tu as avancé demain ! ;)
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar JoanSivion » 28 août 2012, 20:17

Merci^^ Bonne nuit ! J'attend la vérification et l'indication suivante x) Bien que j'ai déjà ma petite idée !
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 28 août 2012, 21:11

Jean-Batman a écrit :
Monsieur Bézout a écrit :Si u et v sont premiers entre eux, alors il existe (x;y) appartenant à Z*² tel que :
ux+vy=1


Mais rien ne t'indique si x et y sont premiers entre eux !


Au contraire ! L'énoncé de Bezout est une équivalence : u^v=1 ssi il existe x,y tels que ux+vy=1.
Pour x,y, il existe donc u,v tels que ux+vy=1, ce qui veut bien dire que x^y=1 :mrgreen:

Le raisonnement de la fin est juste, donc on peut passer à la suite (et fin !).
Montrer que u et v sont les carrés de deux entiers premiers entre eux et conclure.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar Jean-Batman » 28 août 2012, 21:53

Raaaah j'avais promis de ne pas répondre et pourtant je crois avoir une piste...
Bon, je vais la blankoter pour que Joan puisse réfléchir demain :

Nous avons u et v deux entiers premiers entre eux. Supposons que u=j² et v=b²
Montrer que j∧b=1 équivaut à écrire la décompo de u et de v en facteurs premiers, à constater qu'aucun terme à la puissance alpha_k ou beta_k n'est diviseur commun de u et v et à finir.


Edit2 : j'ai corrigé une coquille
Dernière édition par Jean-Batman le 28 août 2012, 22:10, édité 2 fois.
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Re: Ce qu'on donne en Khôlle au Lycée Masséna

Messagepar MeIdmry » 28 août 2012, 22:01

Très bien ! (attention à ne pas oublier dans le "à finir" à vérifier qu'il s'agit bien de solutions)

Donc conclusion de ce joli exo, les solutions sont x=2ab, y=a^2-b^2 et z=a^2+b^2 (avec a^b=1 si on veut la condition simplifiée x^y^z=1).
Est-ce que cela méritait 12 questions intermédiaires ? :mrgreen:
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