Petites questions sur les asymptotes.

[JoanSivion]

Hey !

Vu qu'on commence à approcher de la rentrée, pour me donner bonne conscience, j'ai commencé à regarder un peu certains cours de TS pour me remettre en douceur dans le bain.

En regardant un cours sur les limites, je suis tombé sur une méthode pour étudier les courbes des fonctions à l'infini : on calcule la limite en +l'infini de f(x)/x et en fonction de ce qu'on le trouve, on en déduit s'il y a une asymptote, pas d'asymptote, une direction asymptotique...

Du coup, j'ai deux questions : Comment démontrer cette méthode ? Parce que je comprend pas bien comment ça fonctionne. Et ensuite, c'est quoi rigoureusement "une direction asymptotique" ?

Merci d'avance !

[tphi]

Ben, si

f(x)/x --> a où a est un réel

alors f se comporte "en gros" comme la fonction a.x (car f(x)/a.x tend vers 1). Difficile de rendre ca rigoureux sans te faire un cours sur les équivalents que tu auras en sup.

donc il parait logique d'étudier f(x) - a.x. Admet elle une limite finie, b ? Si oui, on a une droite asympote du type a.x + b. Il y a peut etre un b qui convient, peut etre pas ! Alors on passe aux directions asymptotes

Et les directions asymptote c'est plus compliqué...et tu verras ca genre en troisième semaine de sup

[JoanSivion]

J'ai regardé un peu la définition de l'équivalence et celle de la domination, donc je vois ce que tu veux dire ! J'utilise un bouquin qui fait la liaison entre ts et sup, c'est assez bien fait et surtout y'a vachement de calculs, donc ça remet bien les mécanismes en place. C'est dedans que j'avais vu ça.

Merci en tous cas.

[tphi]

Ah oui, un exemple.

f: x-> x + sin(x)

On a f(x)/x qui tend vers 1. Donc f est équivalente à x en l'infini

Or, f(x)-x= sin(x), qui n'admet pas de limite. Diantre ! Que celà signifie t il ?

que f se comporte en gros comme x en l'infini mais ne ressemblera jamais à une droite. trace la fonction pour le voir

[JoanSivion]

Dac je vais tracer ça !

Tiens c'est justement l'exemple qu'il donne sur mon bouquin

[tphi]

Tu peux aussi regarder

f: x-> x+ sqrt(x)

Qui, elle, admet une "branche asymptotique" : en reprenant les notations d'avant, a=1 et b=+oo

Donc ca se comporte "en gros" comme x mais en s'éloignant toujours plus (mais doucement) de la droite