Quelques exos pour nos bizuths

[laloutre]

Ah, désolé alors


J'en ai un, un gentil

Soit f : R -> R continue en 0 et 1 tq f(x)= f(x²). Mq que f est constante.



(Désolé Tphi, mais j'aime bien cette exo : simple mais typique en khôlle !)


EDIT : Post en même temps

Par les suites c'est Ok, tu prends x < 1 et apres tutilises la continuité. (Elever au carré n fois et faire tentre n vrs l'infini)
pour x > 1 , renverser
EDIT : ah mince, c'est pour les bizuts xD

[lebon]

Si vous voulez, j'ai un exo assez hard sur les complexes. Aucune connaissance requise autre que celle de Terminale. Mais il est hard. Vraiment !

Faudrait peut etre preciser que I est différent que {1,...,n} sinon c'est trivial !!

[belos]

Pas d'accord.
I peut très bien être {1,..,n}, il n'y aucune objection à ça ! (Comme précisé dans la correction !)

Et sinon, il est trivial l'exo ?


Edit : il y a une petite erreur. Dans la relation (1.1), le racine(2) n'a bien sur rien à faire ici, désolé pour cette coquille

[lebon]

AAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAAA j'ai lu l'inegalite dans lautre sens !!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

[belos]

Bon, alors maintenant, soit tu essayes de le faire, soit tu reconnais qu'il est pas simple

[lebon]

Pour l'exo 3 :

n^x et n^y sont differents de 0 donc

i) 1+n^(y-x) = n^(z-x) et x>y ==> 0 < n^(y-x) < 1 ==> 1 < n^(z-x) < 2 (inégalités strictes) ce qui est impossible pour des entiers(il suffit de faire une disjonction de cas x<z et x>z). Donc x =< y.
ii)1+n^(x-y) = n^(z-y) et y>x ==> 0 < n^(x-y) < 1 ==> 1 < n^(z-y) < 2 ce qui est aussi impossible pour des entiers. Donc y=<x.

Donc x=y.

On a donc 2n^x= n^z
Donc 2= n^(z-x)
i) n=1 est impossible
ii) n > 3 est impossible aussi donc n=2.

Donc une CN pour l'ensemble des couples solutions est { (x,y,z,n) dans IN^4 tels que x=y , z=x+1 ,n=2,x=\=0 }.

On vérifie que ca marche.
C'est donc une CNS.

On peut pas le cacher ??

[tphi]

Tu peux mettre le texte en blanc

Comme ça ==> Oui, comme ça <== Comme ça

[belos]

Le résultat est bon, le raisonnement aussi. Mais il est simple alors c'est pas drôle pour un futur MP*

[lebon]

C'est bon ??

[tphi]

Si jamais un bizuth se sent en forme olympique :


Calculer en fonction de n et de x l'expression explicite de



Ca ne fait rien intervenir que vous ne sachiez pas faire, en revanche, ca demande de l'idee et de la rigueur calculatoire.

Sans indication pour demarer, vous risqueriez de galerer, alors petite indication :

Passer en complexe : en effet, la partie reelle d'une somme est la somme des parties reelles !

[anto65alpha]

sans grande conviction avec tout ce calcul!

[anto65alpha]

personne pour verifier?

[tphi]

Je n'ai pas la meme reponse que toi et tu va donc m'obliger a faire de la trigo pour verifier


Alors...c'est faux pour n=1, desole. De plus, il y a clairement un probleme de definition dans ta fonction, en 0 par exemple, mais ca c'est un peu normal vu que tu as du oublier de faire une distinction de cas !

par contre, a la calculatrice, ca a l'air d'etre juste si tu retire 1 a ta fonction, Un peu de trigo et on devrait arriver a ton expression.

Tu peux detailler les grandes lignes de ton calcul

[anto65alpha]

heu c'est juste pour n=1

[anto65alpha]

jai

je souhaite calculer et en extraire la partie reelle

soit et on veut calculer sa somme avec n allant de k=0 à n



u0=1



avec la formule de depart on remplace et c'est que du calcul après et l'identification de la partie reelle qui est tres chiant à rentrer a l'ordi mais est ce que c'est bon jusque la?

[tphi]

La methode de depart est la bonne.

Pour n=1, ton resultat est bon, sorry, erreur de ma part !

J'ai verifie au hasard pour n=5, ca marche, donc bravo ! (oui, vous avez vu, tout est bon pour ne pas faire de la trigo...)

Comment a tu extrait la partie reelle ? je dis chapeau ! Je suppose que tu ne connais pas la factorisation par l'arc moitie ?


par contre, attention au cas x=0 [2Pi], ca donne une somme de 1 et la formule de la somme des termes d'une suite geometrique ne foncitonne pas si la raison est 1. Mais je chipote !

je trouve quant a moi avec un peu plus de factorisation :

[anto65alpha]

non c'est du visuel donc bcp de calcul en fait mais je n'ai pas utilisé cette methode (c'est de la spé pcq moi je suis spe physique)?

[tphi]

Non, vous verrez ca cette annee. Bravo pour ton courage, sans cette "astuce", le calcul a du etre long !

Factoriser par l'angle moitie simplifie bcp de calculs en complexe, l'idee est de faire :

[lebon]

Montrer que pour tout n entier on peut trouver n entiers consécutifs tous non pemiers

il est pas trop dur faut juste avoir l'idee

[belos]

C'est simple...

[tphi]

Suffit d'avoir l'idée et tu le fais en une ligne, sinon, tu peux y passer des heures

[shind]

Les nombres allant de (n+2)! + 2 à (n+2)! + n + 2 sont consécutifs et ne sont pas premiers puisque (n+2)! est divisible par tous nombre compris entre 1 et n+2 et que tous les nombres ajoutés à (n+2)! sont aussi compris dans cette intervalle.

[lebon]

c'est ça !

voilà un autre

Montrer qu'il existe une infinité de nombre composés (non premiers) qui restent composés si on change un de leurs chiffres.

[lebon]

rectification de l'énoncé:

Monter qu'il y a une infinité de nombres composés qu'on ne peut pas transformer en nombres premiers en changeant un seul chiffre de leur écriture décimale.

[lebon]

indication: utiliser les nombres de la forme 2310k-210

[tphi]

j'aime pas l'artithmétique, et encore moins ce genre de questions

Je survole toutes mes fiches de TD en ce moment (et si !) et j'ai trouvé un joli exo pour vous, chers bizuths :

la somme des termes d'une suite finie d'entiers imparis consécutifs vaut 343 (=7³). Quels sont les termes de cette suite ?

L'un des premiers exos de sup Aucune difficulté, mais c'est un joli exo.

[belos]

Ou on a un théorème en tête et c'est évident, ou on travaille un peu avec les mains.

Pour ceux qui réussissent l'exercice, trouver une formule liant n^3 et la somme d'entier impairs consécutifs, c'est une bonne généralisation

[lebon]

Sinon, si vous aimer le calcul vous pouvez chercher une primitive n-ième de la fonction ln

[tphi]

x^n (a*ln x - b) par récurrence et IPP, mais flemme de chercher les coeffs a et b (qui dépendent de n, ca doit former une suite donc on doit pouvoir trouver une relation de récurrence à condition de ne pas avoir la flemme)

[belos]

Sinon, si vous aimer le calcul vous pouvez chercher une primitive n-ième de la fonction ln

Lebon, non. Ne les dégoute pas des maths de sup pour l'instant.
Laisse les croire encore un peu qu'on fait des belles choses en sup !

[tphi]

Aujourd'hui j'ai calculé la longueur et les rayons de courbure des ellipses, paraboles et hyperboles.

Ou : comment réviser les coniques, la métrique des courbes et les intégrales en même temps.

C'était cool.

Vous verrez les bizuth, la géométrie de sup, c'est cool !

[belos]

Aujourd'hui j'ai calculé la longueur et les rayons de courbure des ellipses, paraboles et hyperboles.

Ou : comment réviser les coniques, la métrique des courbes et les intégrales en même temps.

C'était cool.

Vous verrez les bizuth, la géométrie de sup, c'est cool !

Quand je vois ça, je suis content de partir.

Espèce de malade... La géométrie de sup, c'est une horreur !

[tphi]

C'est ce que j'ai préféré moi J'dois etre fait pour Centrale...

[belos]

-Berk...
-Non Berserk !

Je dirais rien de plus que mon ami l'elfe...

[Skynyrd777]

Sinon, si vous aimer le calcul vous pouvez chercher une primitive n-ième de la fonction ln

J'ai fais plusieurs IPP à la suite et j'ai obtenu :

x (ln(x) - 1) comme primitive de ln(x)
1/2 * x² * (ln(x) - 3/2) comme primitive de x (ln(x) - 1)
1/6 * x^3 * (ln(x) - 11/6) comme primitive de 1/2 * x² * (ln(x) - 3/2)

Je conjecture que Fn(x) = 1/n! * x^n * (ln(x) - a/n!)

Mais j'arrive pas à exprimer le coeff a autrement que par récurrence : a(n+1) = (n+1) * a(n) + n!

[lebon]

j'ai pas vérifié la formule de recurrence mais c'est pas une très bonne idee de calculer la somme des fractions
et faut pas oublier le polynome de degré n-1 formé par les constantes

[shind]

après avoir fait aussi les IPP j'ai remarqué qu'a chaque intégration l'on ajoute 1/n à la fraction a/n! donc en prenant compte des constantes la nouvelle formule serait:

(x^n/n!)*(ln(x)-(1+1/2+...+1/n))+ax^n+bx^(n-1)+...+c

la dernière partie étant un polynôme dépendant des différentes constantes définis(ou pas) aux cours des intégrations.

[Skynyrd777]

Oui je n'avais pas pensé à exprimer comme ça (1+1/2+...+1/n) le coefficient !

Par contre, quand je fais mes IPP, je fais une intégrale de a à x avec a une constante.
Une fois chaque IPP finie, je supprime les termes constants (qui dépendent uniquement de a)
Ce qui fait que je n'ai pas le polynôme à la fin.... c'est donc une erreur ?

[tphi]

L'integrale de a à x n'est pas "la primitive" de la fonction mais UNE primitive de la fonction, celle qui s'anule en a.

[Skynyrd777]

Oui mais par exemple : une primitive de ln(x) est x * (ln(x) - 1) + a (celle qui s'annule en a).
Or x * (ln(x) - 1) est aussi une primitive de ln(x).

Donc quand je calcule des primitives successives, si je prends la première ou la seconde (des deux ci dessus) je ne trouve pas la même chose (a un polynôme près). Donc on fait comment pour calculer des primitives successives ? Il y a une règle précise quant à cette question ?

(les primitives successives n'étant pas au programme de term S )

[tphi]

Elles ne sont même pas au programme de sup d'ailleurs

Je vais te répondre différement : considerons la fonction f : x --> 1

Qu'est ce qu'une primitive d'ordre 2 de cette fonction ? Une fonction qui, dérivée deux fois, donne 1

x² convient. Mais aussi x² + ax + b !

Il faut donc bel et bien nommer chaque constante et l'intégrer.

On peut retenir qu'une primitive n-ieme est définie à un polynome de degré (n-1) près



PS :

une primitive de ln(x) est x * (ln(x) - 1) + a (celle qui s'annule en a).

c'est faux cherche ton erreur

[Zimmerklaus]

Une petite équation fonctionnelle : Trouver toutes les fonctions f continues sur \mathbb{R} dans \mathbb{R} et qui vérifient f(x)=f(x^2) pour tout x réel.

Silvère, qui s'ennuie ferme en attendant la rentrée..

[tphi]

Ah, désolé alors


J'en ai un, un gentil

Soit f : R -> R continue en 0 et 1 tq f(x)= f(x²). Mq que f est constante.

Quitte à faire une jolie équation fonctionnelle, j'aime beaucoup y'=sin y où y est à valeurs dans ]0, Pi[, mais c'est trèèèèès loin des connaissances d'un pauvre TS

[Zimmerklaus]

Ah j'avais pas vu ><
Bon alors plus méchant sans être excessif : y'(x)+y(x)=|sin(x)|

[tphi]

Ca, on inventé Maple pour le faire

Tphi, qui n'aime pas les recollements

[Zimmerklaus]

Maple, ou les bizuths

[tphi]

Au jour d'aujourd'hui, je vois mal un bizuth faire une variation de la constante

Je crois me souvenir qu'une fois, on avait fait une variation de la constante (nom à la con -__-) avec un second membre en valeur absolue, ca avait marché direct sans faire de recollement mais fallait etre rigoureux.

[shind]

Une variation de la constante? La principale caractéristique d'une constante n'est-elle pas son invariabilité?

[tphi]

C'est une méthode de résolution d'équa diff qui consiste, justement, à faire "varier une constante" : on remplace la constante k par une fonction quelconque k(x).

Le nom étant franchement mal choisi Tu verras très bientot, ne sois pas trop préssé