Exo sympa

[Pafnouti42]

Après avoir marqué tous les messages comme lus (oh oui ça fait du bien ), me revoici avec le petit pb suivant : soit [math]n un entier non nul, montrer que

$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor+\dots+\lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor=\lfloor \log_2 n \rfloor+\lfloor \log_3 n \rfloor+\dots+\lfloor \log_n n \rfloor$$

[Kennedjiro]

Après avoir marqué tous les messages comme lus (oh oui ça fait du bien ), me revoici avec le petit pb suivant : soit [math]n un entier non nul, montrer que

$$\lfloor \sqrt{n} \rfloor+\lfloor \sqrt[3]{n} \rfloor+\dots+\lfloor \sqrt[n]{n} \rfloor=\lfloor \log_2 n \rfloor+\lfloor \log_3 n \rfloor+\dots+\lfloor \log_n n \rfloor$$

[math]n strictement supérieur à 1 ou inférieur à -1 ? Sinon c'est moche.

[Vanxoo_]

Avec [math]n négatif t'auras du mal ^^ je suppose que c'est [math]n\geq 2 oui

[Kennedjiro]

Il a qu'à mieux poser son problème.

[Vanxoo_]

C'est vrai. Et il rentre en prépa, non mais j'vous jure.

[Miltøn]

Il est loin devant. Il en est au stade où on n'a plus besoin d'être rigoureux pour se comprendre (et où on se rend compte qu'on s'est planté après avoir publié son papier... )

[Vanxoo_]

En fait je crois que j'ai trouvé :
Si on évalue le membre de droite à partant du bout, on trouve des 1+1+... jusqu'au moment où on rencontre [math]k tel que [math]k^2\leq n. Ensuite, on trouve 2+2+... jusqu'au moment où on rencontre [math]k tel que [math]k^3\leq n, et ainsi de suite. Or pour tout [math]p, le premier [math]k tel que [math]k^p\leq n c'est précisément [math]\lfloor \sqrt[p]{n} \rfloor.
Ainsi, on a [math]n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor logarithmes qui valent 1, [math]\lfloor \sqrt{n}\rfloor - \lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor logarithmes qui valent 2, etc.
Donc :
[math]\lfloor \log_2 n \rfloor+\lfloor \log_3 n \rfloor+\dots+\lfloor \log_n n \rfloor = n-\lfloor\sqrt{n}\rfloor + 2(\lfloor \sqrt{n}\rfloor - \lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor)+...+n(\lfloor \sqrt[n]{n}\rfloor-\lfloor \sqrt[n+1]{n}\rfloor)
Ce qu'on ajoute vaut 0 partir d'un moment, mais on s'en fout duquel précisément.
C'est bien pratique tout se simplifie, et on obtient :
[math]\lfloor \log_2 n \rfloor+\lfloor \log_3 n \rfloor+\dots+\lfloor \log_n n \rfloor =n+ \lfloor\sqrt{n}\rfloor + \lfloor \sqrt[3]{n}\rfloor + ... + \lfloor \sqrt[n]{n}\rfloor - n\lfloor \sqrt[n+1]{n}\rfloor
et comme [math]\lfloor \sqrt[n+1]{n}\rfloor=1, on obtient le résultat attendu.

[Pafnouti42]

Pour ce qui concerne l'exo "mal posé", je pense que c'est du pinaillage antiproductif, tout le monde avait très bien compris l'énoncé

Sinon oui Vanxoo_ je pense que l'idée est là, après pour le rédiger proprement il faudrait à mon avis faire un joli tableau à double entrée et du double-comptage !
Mais en tout cas bien joué

[Vanxoo_]

Moui, mais les tableaux en Latex, c'est chiant

[Kennedjiro]

Pour ce qui concerne l'exo "mal posé", je pense que c'est du pinaillage antiproductif, tout le monde avait très bien compris l'énoncé

Pas moi.

[Miltøn]

Un... tableau à double entrée ?!

[Pafnouti42]

Un... tableau à double entrée ?!

Oui, dans lequel tu mets à la ligne i colonne j le nombre i^j (en t'arrêtant où il faut).
Là c'est vraiment pas clair sans un dessin, désolé

[Miltøn]

On a installé MathJax à ta demande, je te laisse t'en servir !

[Pafnouti42]

On a installé MathJax à ta demande, je te laisse t'en servir !

Hum...Comment dire...Je dois retourner lire mes livres de français ?

[Miltøn]

Et nourrir ton chat ! X)

[Sketshup]

Ma solution:

Soit n dans IN*\{1}. On note S(n) la somme des nombres de chiffres de n en représentation base de 1 jusqu'à n. C'est à dire, le nombre de chiffres en base 2 de n, plus le nombre de chiffres en base 3 de n, etc, jusqu'au nombre de chiffres en base n de n (qui est 1).

Par définition du logarithme base k, le côté droit est S(n). On prouve que le côté gauche est S(n).

Une autre façon de voir S(n) est la suivante: S(n) est la somme des nombres de représentations, qui contient au moins r chiffres. C'est à dire, le nombre de représentations avec au moins 1 chiffre, plus, le nombre de représentations avec au moins 2 chiffres, etc, jusqu'au nombre de représentations avec au moins k chiffres (avec k suffisamment grand). Il est facile de le voir avec un dessin, mais aussi de le démontrer par les ensembles (les chiffres de représentation bases {1, 2, ..., n}.

Le côté gauche représente cette sommation. En effet, soit k un entier tel que la représentation de n base k contient au moins r chiffres. Alors la partie entière de la racine r-ème de n est supérieure ou égale à k. Puisqu'on a (représentation base k contient au moins r chiffres => représentation base k-1 contient au moins r chiffres). Cela mène à k = partie entière de racine r-ème de n. Ce qui conclut la solution.

COMMENTAIRE: En effet, l'approche la plus naturelle qui m'a paru est de faire un dessin représentant la quantité de droite facilement manipulable (le nombre de chiffres en représentation base k), et paf, voyant le dessin d'une autre façon, tu vois le côté droite apparaître comme par magie!!

[Vanxoo_]

Oh, j'aime bien ta solution, la clé du truc est la même que pour la mienne (le fait que [math]\lfloor \log_k(n)\rfloor \geq p pour moi, et [math]n a au moins [math]p chiffres en base k pour toi, implique que [math]k^p\leq n soit [math]\lfloor \sqrt[p]{n}\rfloor \leq k) mais ta manière de compter est mieux, on a directement la somme sans avoir à simplifier

[Pafnouti42]

Bravo pour ta solution Sketshup, c'est exactement ce que j'évoquais

[Kennedjiro]

On a jamais traité les logarithmes comme ça nous... On a même pratiquement jamais parlé du logarithme base k.

[Vanxoo_]

Le truc important pour l'exo c'est que [math]\log_b(x)=y \iff x=b^y, ça m'étonnerait que vous l'ayez pas fait quand même (après, le lien avec le nombre de chiffres pas forcément)

[Kennedjiro]

Le truc important pour l'exo c'est que [math]\log_b(x)=y \iff x=b^y, ça m'étonnerait que vous l'ayez pas fait quand même (après, le lien avec le nombre de chiffres pas forcément)

Évidemment j'avais compris ça, mais je ne vois pas le lien avec la suite du raisonnement.

[Miltøn]

Ça permet d’en déduire le nombre de chiffres d’un nombre en base b.

[Kennedjiro]

Ça permet d’en déduire le nombre de chiffres d’un nombre en base b.

Oooooh je vois le lien maintenant ! Je ne l'avais jamais interprété comme ça, mais effectivement après tous ces calculs en base 2 au stage d'informatique ça semble évident.

[kranaud54]

(pub)

[thuiop]

We always knew they'd be back.

I choose you!

[tphi]

Raté, c'est tphi qui intervient.

[Dⓐ Яøʊƭ]

Wow, moi qui ai cru un court instant que le forum reprenait vie... Mais ce n'était qu'un frémissement mensonger :'(
J'y remédie de ce pas.

[Miltøn]

Tu disais ?