Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Questions d’ordre mathématique et petits défis
Règles du forum
Pas d’aide aux devoirs de lycée ! ;-)
Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 22:00

Alors démontre moi que les racines n-ième de 2 sont irrationnelles :P
(C'est du TRÈS TRÈS lourd)
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 22:05

Hum n>=1 bien évidemment.
Supposons que cette racine enième vaut p/q avec p,q premiers entre eux , on aura donc p^n=2q^n donc 2 est une puissance énième d'un entier ce qui est absurde pour n>=1.
Bon maintenant je m'attends à une généralisation du turfu surement :p.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 22:07

Et bien, le cas n=2 est connu et trivial, et pour n>=3, ça donne p^n = q^n + q^n, chose impossible qui est démontrée en partie ici
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 22:09

Almar a écrit :Et bien, le cas n=2 est connu et trivial, et pour n>=3, ça donne p^n = q^n + q^n, chose impossible qui est démontrée en partie ici

J'avoue que j'ai bien rigolé :lol: :lol:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
tphi
Ancien
Messages : 5990
Inscription : 28 août 2010, 20:15
Localisation : Dans une tour de contrôle

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar tphi » 27 août 2017, 22:12

Ca me rappelle une histoire de mouche et de bazooka...
 Ancien administrateur du forum.
 MPSI2 ➝ XM2.

It's a beautiful day outside ! Birds are singing, flowers are blooming... On days like these, kids like you....
S h o u l d   b e   b u r n i n g   i n   h e l l.

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 22:17

Là on est plutôt proche de la Bombe H et de la fourmi.
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
thuiop
Secrétaire d’État chargé de la Modération
Messages : 1901
Inscription : 04 avr. 2016, 20:19

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar thuiop » 27 août 2017, 22:27

Je m'y attendais en voyant ton défi :lol:
"Vous avez toute la grâce d'un aigle ... qui pilote un dirigeable" GLaDOS
2013-2016 : Lycée Pierre-Paul Riquet
2016-2018 : MPSI1 -> MP*
2018-?? : CentraleSupélec
PPB, the last newspaperbender.

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 22:33

Pour rester dans l'arithmétique, et vu que je sais que ces exos sont faisable et que j'ai la flemme de les chercher pour un autre forum, cadeau :

Résoudre les 3 équations :
1) 29 + 2^a = 3^b
2) 1 + 2^a = 3^b
3) 2^a + 3^b = 5^c
a, b, c des entiers naturels
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 22:49

En aditionnant la deuxieme et la troisieme équation obtient
5^c - 2^(a+1) = 1
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Catalan Ce petit theoreme nous dit donc que c=1 ou a=0.
Le premier cas nous donne que a=1 et le deuxieme une contradiction.
Mais en remplacant par a=1 dans le premiere equation on obtient une contradiction
Donc pas de solution^^^ ( sauf erreur)
( Peut etre que la premiere equation est 29-2^a=3^b , ce qui nous donnerait b=3 )
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 22:58

Ah, je suis stupide, c'est 3 équations différentes à résoudre, et pas un système :lol:
Il est vrai que je l'ai pas présenté comme il faudrait !
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 23:00

Almar a écrit :Ah, je suis stupide, c'est 3 équations différentes à résoudre, et pas un système :lol:
Il est vrai que je l'ai pas présenté comme il faudrait !

La deuxieme equation se réecrit 3^a - 2^b=1
https://fr.wikipedia.org/wiki/Conjecture_de_Catalan
Ce théoreme cheat nous donne que les seuls solutions sont les couples (2,3)(1,1) :mrgreen:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 23:01

Il me semble que c'est censé être niveau terminal (au moins la seconde) :lol:
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 23:14

Bouh on ne peut plus s'amuser comme on veut :p .
Cela peut se réecrire 3^a-1=2^b
D apres le theoreme de zygmondy https://www.normalesup.org/~kortchem/ol ... gmondy.pdf
On obtient que pour a>=3 3^a-1 admet un diviseur premier qui ne divise pas 3^k-1 pour k entre 0 et a-1, ce qui est absurde car 2 divise 3^1 -1=2
Donc a<=2
Ce qui donne les deux couples solutions (2,3)(1,1)

Bon sinon plus sérieusement :p
Pour b=1 , on a le couple solution (1,1)
Supposons que b>1
On a alors 3^a=2^b+1
donc 3^a congru à 1 modulo 4
Donc a est pair .
On pose a=2k
on a donc 2^b=(3^k+1)(3^k-1)
3^k+1 et 3^k-1 sont des puissances de 2.
On pose 3^k +1 = 2^x
3^k -1= 2^y
avec x+y=b
Ce qui donne 2^x-2^y=2 , on en déduit que x=2 et y=1 ce qui donne b=3 et a=2
Les seuls solutions sont donc les couples (2,3) et (1,1=
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Almar
Imperator
Messages : 2844
Inscription : 28 mai 2016, 14:27
Localisation : Dans le nord
Contact :

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Almar » 27 août 2017, 23:19

Je découvre des théorème dont je ne soupçonnait pas l'existence et dont je n'aurai probablement jamais besoin x)
(Un details m'intrigue sur ton dernier poly', il y a la solution de l'éxo 25, mais pas l'énoncé...)

Je préfère, cependant la seconde est la seule dont je connaissais déjà la solution, c'est les deux autres qu'il me faudrait ! :mrgreen:
Administrateur du forum.
Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

2016-2018 : MP1 (TD 224) ⇒ MP*
2018-20XX : ENS Lyon

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 27 août 2017, 23:46

Almar a écrit :Pour rester dans l'arithmétique, et vu que je sais que ces exos sont faisable et que j'ai la flemme de les chercher pour un autre forum, cadeau :

Résoudre les 3 équations :
1) 29 + 2^a = 3^b
2) 1 + 2^a = 3^b
3) 2^a + 3^b = 5^c
a, b, c des entiers naturels

1- Pour a=1,2 l equation n a clairement pas de solution.
Supposons a>=3
On obtient que 3^b=5[8]
Ce qui est absurde ( 3^(2k)=1[8] et 3^(2k+1)=3[8])
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Avatar de l’utilisateur
Miltøn
Ancien
Messages : 11337
Inscription : 14 juin 2013, 21:14
Localisation : K-fêt

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Miltøn » 28 août 2017, 09:13

Mamoun a écrit :
Almar a écrit :Et bien, le cas n=2 est connu et trivial, et pour n>=3, ça donne p^n = q^n + q^n, chose impossible qui est démontrée en partie ici

J'avoue que j'ai bien rigolé :lol: :lol:

C’est beau. :')
Khôlleur en mathématiques, chargé de TD d’informatique. Anciennement codictateur du forum.

« Nous bâtirons le nouveau monde atomique où l’homme ne sera plus l’esclave de la nature. Laissons le passé aux nostalgiques, vivons l’aventure du futur. »

Monta ↝ Ozenne ↝ MP3 2013 ↝ MP* 2014 ↝ Ulm 2015 ↝ Dauphine MASH 2017 ↝ prep’ÉNA

Avatar de l’utilisateur
Dⓐ Яøʊƭ
Icon Diluvii
Messages : 9155
Inscription : 10 août 2015, 14:38
Localisation : Rennistan

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 28 août 2017, 09:50

Elle est plutôt astucieuse cette démo, je suis sûr que l'auteur pourrait publier quelques papiers intéressants dans un futur proche.
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
« Le seul Plébéien à avoir posté dans le coin des Modos » — Milton
Fidèle à lui-même en
MPSI3 [Rendering math]\leadsto XM1 [Rendering math]\leadsto MP* [Rendering math]\leadsto ENS Rennes

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 16:46

Almar pour les racines n-ième de 2,on peut utiliser des outils bien moins puissants : Les valuations p-adiques ... Et ça se generalise pour tous les entiers à savoir que la racine n ieme de p est entière ou irrationnelle ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
thuiop
Secrétaire d’État chargé de la Modération
Messages : 1901
Inscription : 04 avr. 2016, 20:19

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar thuiop » 28 août 2017, 16:51

Il est au courant, ne t'inquiète pas x)
C'était juste une petite blague.
"Vous avez toute la grâce d'un aigle ... qui pilote un dirigeable" GLaDOS
2013-2016 : Lycée Pierre-Paul Riquet
2016-2018 : MPSI1 -> MP*
2018-?? : CentraleSupélec
PPB, the last newspaperbender.

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 19:30

Je me doutais bien !
Un exo avec de l'artillerie lourde dans l'esprit de ceux proposés par Almar :
Résoudre p^n = x^3 + y^3 avec p premier et n,x,y des naturels ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 28 août 2017, 20:56

Zrun a écrit :Je me doutais bien !
Un exo avec de l'artillerie lourde dans l'esprit de ceux proposés par Almar :
Résoudre p^n = x^3 + y^3 avec p premier et n,x,y des naturels ...

Remarquons que si le couple (p,n,a,b) est solution alors le couple (p,n+3,ap,bp) est solutions
Donc spdg on supponse que p est premier avec x et p est premier avec y
on a donc p^n=(x+y)(x^2-xy+y^2)
http://www.animath.fr/IMG/pdf/lte.pdf
D apres le theoreme de LTE
V_p(p^n)=n=V_p(x^3+y^3)=V_p(x+y)¨+V_p(3)
On obtient donc que n =V_p(3)+V_p(x+y)
Si p est différent de 3
Alors n=V_p(x+y)
Donc x^2-xy+y^2=1, on obtient facilement que la valeur absolue de xy est inférieure à 1 donc x=1 y=1 ou x=-1 y=-1 ou x=1 , y=0 , x=-1,y=0 et symetriquement.
En injectant dans l equation on trouve que x=y=1 et p=2 et n=1 est la seule valeur qui marche.
Si p=3
Onn obtient que x^2-xy+y^2=3
On prouve facilement que les solutions de cette derniere sont x=1,y=2 x=1 y=-1 x=-1 y=-2 et symetriquement
En injectant ON trouve que seul x=1 y=2 convient ce qui donnera p=3 et n=1.
On en déduit que les couples solutions (p,n,x,y) sont . (2,1+3k,2^k,2^k) et (3,2+3k,2.3^k,3^k) et (3,2+3k,3^k,2.3^k) avec k dans N.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 21:00

Effectivement Mamoun j'avais aussi cette solution !
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 28 août 2017, 21:04

Allez un petit facile du coup^^ .
Soit p un nombre premier de la forme 4k+3
Résoudre dans Z l'équation a^2+b^2=pc^2
P.S Je vois pas trop comment s'en tirer pour le tien sans grossse artillerie :oops:
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 21:15

Et bien je l'avais eu en préparation olympiade et ils ont pas trouvé non plus des solutions sans LTE ...
Pour ton exo , on voit que si (a,b,c) est solution alors (4a,4b,4c) aussi donc on peut supposer qu'un des trois nombres n'est pas premier avec 4 et on a une absurdité car les carres modulo 4 sont congrus à 0 ou 1 ...
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 28 août 2017, 21:41

Zrun a écrit :Et bien je l'avais eu en préparation olympiade et ils ont pas trouvé non plus des solutions sans LTE ...
Pour ton exo , on voit que si (a,b,c) est solution alors (4a,4b,4c) aussi donc on peut supposer qu'un des trois nombres n'est pas premier avec 4 et on a une absurdité car les carres modulo 4 sont congrus à 0 ou 1 ...

J'avoue ne pas avoir compris ta solution. Tu peux expliciter?
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 21:55

On a la solution (0,0,0) .
Supposons alors que l'un des nombres est non nul, alors on montre facilement que les trois sont non nuls.
Remarquons que si (a,b,c) est solution alors (2a,2b,2c) est aussi solution. Quitte à diviser par 2, on peut supposer que l'un des nombres n'est pas pair .
En distinguant les cas suivant quel nombre n'est pas pair , on montre modulo 4 qu' on a pas de solution ...
Sauf erreur
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 28 août 2017, 22:03

Zrun a écrit :On a la solution (0,0,0) .
Supposons alors que l'un des nombres est non nul, alors on montre facilement que les trois sont non nuls.
Remarquons que si (a,b,c) est solution alors (2a,2b,2c) est aussi solution. Quitte à diviser par 2, on peut supposer que l'un des nombres n'est pas pair .
En distinguant les cas suivant quel nombre n'est pas pair , on montre modulo 4 qu' on a pas de solution ...
Sauf erreur

Supposons qu un nombre est impair et les deux autres pairs. Je ne vois pas de contradiction :?
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 28 août 2017, 22:11

Supposons a impair :
Alors a^2 est congru à 1 mod 4, donc a^2+b^2 est congru à 1 ou 2 mod 4 et pc^2 à 0 ou 3 mod 4 , absurde
Supposons c impair :
Alors pc^2 est congru à 3 modulo 4 et a^2+b^2 est congru à 0,1 ou 2 modulo 4
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 28 août 2017, 22:28

Ah oui oups , dans ma tete les trois étaient pairs!
Je ne suis pas d'accord avec toi par contre là. Je ne pense pas que tu aies le droit de supposer que l'un des trois nombres est pair.Peux tu justifier que il suffit de traiter ce cas?^^
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*

Zrun
Conseiller régional
Messages : 393
Inscription : 04 août 2016, 00:15

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Zrun » 29 août 2017, 07:01

J'ai juste supposer qu'au moins un des nombres n'est pas pair, quitte à diviser par 2 ces trois nombres ... En gros , c'est comme pour les solutions primitives dans l'équation de Pythagore ... Mais là je peux pas rédiger bien donc je posterai plus tard une solution complète et détaillée .
2017-2018: MPSI 2 , Tous des dieux !!!
2018-2019: MP*

Avatar de l’utilisateur
Mamoun
Député
Messages : 651
Inscription : 20 mai 2017, 20:23
Localisation : Casablanca

Re: Défi pour les sups et les spés (et les autres !)

Messagepar Mamoun » 29 août 2017, 11:23

Zrun a écrit :J'ai juste supposer qu'au moins un des nombres n'est pas pair, quitte à diviser par 2 ces trois nombres ... En gros , c'est comme pour les solutions primitives dans l'équation de Pythagore ... Mais là je peux pas rédiger bien donc je posterai plus tard une solution complète et détaillée .

Hum tout me semble juste, je m excuse^^^.
Vous lisez ma signature mais il n y en a pas !
2005 -2017 Lycée Groupe Scolaire d'Anfa
Imo 2017
2017-2018 Mpsi Pierre de Fermat
2018-2019 MP*


Revenir vers « Forum maths »

Qui est en ligne ?

Utilisateurs parcourant ce forum : Aucun utilisateur inscrit et 0 invité