Exos pour futurs spés

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Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 08 juin 2018, 22:50

Bonsoir ,
Suite à ma discussion avec Zrun , on crée un petit sujet pour partager nos petits exos de colles qu'on a bien apprécié, ou un exercice 'classique' qui nous semble vraiment important , pour bien renforcer notre maîtrise de la sup. Le principe est simple , chacun poste un exercice , le thème de l'exo et éventuellement le kholleur qui lui a donné cet exercice ( si il est issu d'une colle) . Celui qui résout l'exercice doit en poster un nouveau! Ce topic est réservé en priorité aux sups actuels et éventuellement bizuths très doués , mais on ne dira pas non à l'aide ou aux éclaircissements d'un ancien si on galère! :lol: :lol:
De préférence et pour plus de lisibilité , les réponses et les énoncés devront être écrits en latex ( sur un autre site étant donné que le latex du forum ne marche pas , puis postés ici). Si toutefois l'énoncé ou la réponse à l'exercice ne nécessite pas de latex , on pourra se contenter d'une écriture normale :D . J'espère que vous serez nombreux à vous joindre à nous!
Je commence donc!
Exercice 1
Thème : Les nombres complexes.
Prouver que (3+4i)/5 n'est jamais une racine énième de l'unité.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 08 juin 2018, 23:25

Je ne vois pas comment écrire en latex sur un autre site permet d’écrire en latex ici.

Sinon la solution de l’exercice 1 :

Posons (3+4i)/5 = e^ia et par l’absurde supposons qu’il existe n>1 tel que (3+4i)/5 soit racine n-ieme de l’unité . Alors on a cos(a)= 3/5 car le complexe est de module 1 et d’autre part , d’après Moivre, cos(na)=1 .
Introduisons les polynômes de Tchebychev (Tn) définies par Tn(cos(a))=cos(na) . Il est classique que cette suite de polynômes est une suite de Z[X] et de coefficients dominants 2^(n-1) . Alors on a 1=cos(na)=2^(n-1)* cos(a)^n + b_{n-1,n} cos(a)^(n-1) + ... + b_{0,n-1} , d’où avec cos(a) =3/5 et en multipliant l’égalité par 5^n , 5 divise 2^(n-1) * 3^n , contradiction ...

C’est horrible sans LaTeX !!

Je poste un exo demain
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 08 juin 2018, 23:41

L'idée aurait été de prendre un screen , de découper et de poster le résultat en spoiler.
Bien joué !
Question subsidiaire :
On peut démontrer plus généralement que cos (pi*r) avec r un rationnel , est rationnel si et seulement si cos(pi*r)=0,1/2,1.
On pourra commencer par démontrer l existence d'un polynôme à coefficients entiers tel que Tn(2cos(x))=2cos(nx)
Dernière édition par Mamoun le 09 juin 2018, 00:17, édité 1 fois.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar tphi » 08 juin 2018, 23:56

Mamoun a écrit :L'idée aurait été de prendre un screen , de découper et de poster le résultat en spoiler.
Bien joué !
Question subsidiaire :
On peut démontrer plus généralement que cos (pi*r) avec r un rationnel , est rationnel si et seulement si cos(pi*r)=0,1/2,1.
On pourra commencer par démontrer l existence d'un polynôme à coefficients entiers tel que Tn(cos(2x))=2cos(nx)


J'avais eu un DS de sup là dessus...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 00:15

C'est relativement simple si on sait où on va :mrgreen: .
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 07:30

Pour pas t’ennuyer Mamoun, voici un petit exo, j’espère que tu ne le connais pas .
Exercice 2

Colleur: M. San Saturnino
Soient f et g deux applications linéaires de E , C-ev de dimension finie . On suppose qu’il existe deux complexes a et b tels que fog-gof=af+bg. Montrer que f et g ont un vecteur propre en commun .

Edit(suite à la remarque de thiuop) : on démontrera tout résultat non trivial utilisé , même si c’est au programme de spé..
Dernière édition par Zrun le 09 juin 2018, 09:27, édité 1 fois.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 09 juin 2018, 08:06

Assez connu ce genre d'exo (quoique si l'on n'a pas encore fait la réduction...)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 09:25

thuiop a écrit :Assez connu ce genre d'exo (quoique si l'on n'a pas encore fait la réduction...)

En sup c’est assez dur quand même juste avec la définition d’un vecteur propre et qu’un endomorphisme u est diagonalisable ssi l’espace E est la somme des sous-espaces propres de u ... :?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 09:32

Si tu as eu ça en colle, vous avez donc fait le cours sur la réduction avec Mr Ginoux, non ?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 09:33

Juste sur les théorèmes que j’ai écrit un message plus haut : définitions , polynôme caractéristique et définition de la diagonalisabilité ...

Solution question subsidiaire:
Spoiler :

B4FFEC35-555F-446B-8341-C9C5E47A0AD0.jpeg
Cos(pi r)
B4FFEC35-555F-446B-8341-C9C5E47A0AD0.jpeg (348.04 Kio) Consulté 812 fois
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 11:07

Spoiler :

Exx 2.png
Exx 2.png (33.13 Kio) Consulté 806 fois

Exercice 3
Soit u un endomorphisme de E( de dimension finie) de trace nulle. Montrer que il existe a et b deux endomorphismes de E telle que u=ab-ba
Source: DS
Spoiler :

Montrer par récurrence que toute matrice de trace nulle est semblable à une matrice de diagonale nulle.( on pourra commencer par montrer que u n'est pas une homotethie puis prouver l existence de x tel que (x,u(x)) soit libre)
Puis en considérant D une matrice diagonale( à diagonale distincte) montrer que l application lineaire M-> MD-DM est surjective sur le sev des matrices de diagonale nulle
Dernière édition par Mamoun le 09 juin 2018, 12:04, édité 3 fois.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar rolas31 » 09 juin 2018, 11:27

On l'a eu en DM celui-là (avec pas mal de questions intermédiaires :mrgreen: )
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 11:30

rolas31 a écrit :On l'a eu en DM celui-là (avec pas mal de questions intermédiaires :mrgreen: )

On l'avait eu en td ( avec 0 questions intermédiaires) puis en ds avec 2 questions intermédiaires que je rajouterais en spoiler :!: .
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 11:49

Je laisse l’exercice 3 à ceux qui ne le connaisse pas , comme l’a dit rolas, on l’a déjà eu en DM ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 09 juin 2018, 12:26

J'espère qu'un mp1 passera par là du coup! Sinon tant pis je changerais l'exo....
Pour la question subsidiaire on aurait pu conclure de manière plus simple moyennant la petite manipulation suivante
Spoiler :

Alternative.png
Alternative.png (17.17 Kio) Consulté 792 fois
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 09 juin 2018, 17:40

J’aime la fin de ta solution , c’est plus subtil ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 13:02

C'est la raison pour laquelle on a pas introduit les polynomes de Tcheybichev mais plutot ceux là.
Je laisse l'exo 3 en attente car nous sommes deux classes à l'avoir déjà fait et j'en propose un autre :D .
Exercice 3 bis
Thème : Polynomes
Soit P et Q deux polynomes tel que :
P et Q ont les memes racines
Il existe un complexe a non nul tel que (P-a) et (Q-a) ont les memes racines.
Montrer que P=Q
Kholleur : Bayle
Dernière édition par Mamoun le 10 juin 2018, 14:17, édité 1 fois.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 10 juin 2018, 14:10

a est non nul je suppose...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 14:16

thuiop a écrit :a est non nul je suppose...

Mea culpa :mrgreen: . A la base a valait 1 mais la valeur de a nous importe assez peu finalement ( sauf qu'ils soit non nul bien sur :roll:).
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Csdo » 10 juin 2018, 15:03

Si a est nul ça marche aussi :mrgreen:
CSDO 12-13
MP3 -> MP* -> MP* -> Supelec Gif

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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 10 juin 2018, 15:13

Ben non clairement xD
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 10 juin 2018, 15:14

thuiop a écrit :Ben non clairement xD

Je pense que c'était ironique :wink:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 11 juin 2018, 20:30

Solution 3bis
Spoiler :

80B7099D-5BBE-419F-A09B-B002820DDB91.jpeg
80B7099D-5BBE-419F-A09B-B002820DDB91.jpeg (423.08 Kio) Consulté 684 fois


Exercice 4
Source: ODLT

Soit K un corps . On note K*^2 ={x*x, x dans K*}. On dit qu’un morphisme de groupe R est une racine carrée ssi pour tout x dans K*^2 , R(x)^2=x .

Existe-t-il une racine carrée dans R, C,Q, Z/pZ ? Est-elle unique ?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 14 juin 2018, 00:56

Insomnie quand tu nous tiens :lol: :lol: :lol: ..... ( Vu l'heure j'ai peut être dit quelques bêtises :roll: )

Solution exo 4
Spoiler :

Racine.png
Racine.png (78.39 Kio) Consulté 645 fois

Pour Q , on définit e l application qui à un nombre premier p associe 1 ou -1(arbitrairement) Et pour tout x dans Q : e(x) = produit des e(p)^(v_pi) ( avec x=produit des pi^(v_pi)
L application r tq r(x^2)=x*e(x) convient.
La vérification est laissée au lecteur 8) .


Exercice 5
Théme: Densité ( mais pas forcèment)
Source : Réadaptation :mrgreen:
Un professeur corrige les copies de ses 2n+1 élèves. Après avoir harmonisé les notes pour avoir une moyenne de 10 , il garde uniquement la partie entière de chaque note de car il aime les chiffres ronds :mrgreen: :mrgreen: . ( Les notes sont donc dans N)
Il remarque que quelque soit la copie qu'il enléve , il peut partitionner le reste des copies en 2 tas de n copies , telle que la somme des notes du premier paquet est égale à la somme des notes du deuxième paquet.
1- Montrer que tous les élèves ont eu la même note
Finalement il décide de garder les notes sans modification ( les notes sont donc dans R)
Là aussi Il remarque que quelque soit la copie qu'il enlève , il peut partitionner le reste des copies en 2 tas de n copies , telle que la somme des notes du premier paquet est égale à la somme des notes du deuxième paquet.
2- Montrer que tous les élèves ont eu la même note
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Dⓐ Яøʊƭ » 15 juin 2018, 11:24

Les rugbymens ont été recontextualisés à ce que je vois :lol:
Le Röuf est de retouffe, en attente du prochain ban.
« Le seul Plébéien à avoir posté dans le coin des Modos » — Milton
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 15 juin 2018, 13:50

Dⓐ Яøʊƭ a écrit :Les rugbymens ont été recontextualisés à ce que je vois :lol:

Il faut coller à la prépa :wink: .
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 16 juin 2018, 14:53

Tu m’as bien dis que c’était interdit d’utiliser les matrices pour l’exo non Mamoun ?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 16 juin 2018, 15:11

Zrun a écrit :Tu m’as bien dis que c’était interdit d’utiliser les matrices pour l’exo non Mamoun ?

Je trouve la solution avec la densité plus naturelle ( quoique plus technique et plus compliquée) . Mais si tu veux fais le avec les matrices. Mais résous le cas des notes entiers sans quand meme , c'est assez joli comme démo ! :wink:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 22 juin 2018, 09:22

Désolé j’ai pas eu le temps de résoudre le problème sans matrice avec les concours blancs . Je posterai la solution matricielle dans ce message un peu plus tard et je chercherai la résolution sans matrices en question subsidiaire :mrgreen: .

Du coup , je poste un nouvel exercice , un peu plus facile que les précédents . Cela montre que l’hypothèse de la convergence absolue est nécessaire dans la question 2 des préliminaires du concours blanc
Exo 6:
Soit S une série semi-convergente réelle de terme général u_n . Montrer qu’on peut réordonner les termes de sorte que la série résultantes converge vers un réel x quelconque .
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 22 juin 2018, 14:16

Ah le fameux lemme de souhail! :mrgreen: . On en avait discuté en classe un jour donc je laisse quelqu'un d'autre le faire ! ( sauf si il n'y a personne ^^^)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 22 juin 2018, 16:41

C’est un grand classique !!
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 22 juin 2018, 17:03

Zrun a écrit :C’est un grand classique !!

Ce fameux souhail a fait cette remarque pour somme des (-1)^k/k... Du coup le prof nous a parlé de ce résultat vite fait
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 22 juin 2018, 17:33

Mamoun a écrit :
Zrun a écrit :C’est un grand classique !!

Ce fameux souhail a fait cette remarque pour somme des (-1)^k/k... Du coup le prof nous a parlé de ce résultat vite fait

Le résultat s’adapte vite à partir de ce résultat particulier mais tu l’avais déjà remarqué sans doute (c’est une indication pour les autres qui passeront peut-être par là)
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Re: exos pour les futurs spés

Messagepar Miltøn » 23 juin 2018, 17:09

Mamoun a écrit :
Zrun a écrit :Tu m’as bien dis que c’était interdit d’utiliser les matrices pour l’exo non Mamoun ?

Je trouve la solution avec la densité plus naturelle ( quoique plus technique et plus compliquée) . Mais si tu veux fais le avec les matrices. Mais résous le cas des notes entiers sans quand meme , c'est assez joli comme démo ! :wink:

Tiens, alors je suis très curieux de savoir comment vous faites, parce que je me suis un peu cassé le dos là-dessus sans m’en sortir. J’ai tenté d’utiliser la continuité de la fonction f : R^{2n+1} ⟶ R telle que
f(x_1, …, x_{2n+1}) = max_{i ∈ [[1, 2n+1]]} min_{P, P' tels que |P| = |P'| = n et P ∪ P' = [[1, 2n+1]] \ {i}} |∑_{j ∈ P} x_j - ∑_{j ∈ P'} x_j|
mais ça ne suffit manifestement pas. Par contre, j’avoue que j’ai tendance à trouver la solution sur les matrices très élégante et vraiment pas sortie du chapeau. :)

Zrun a écrit :Exo 6:
Soit S une série semi-convergente réelle de terme général u_n . Montrer qu’on peut réordonner les termes de sorte que la série résultantes converge vers un réel x quelconque .

J’avais déjà entendu le résultat mais sans le démontrer, du coup j’essaye, mais il y a sans doute plus simple.
Puisque la série est semi-convergente, l’on peut en déduire que la série ayant pour terme général la sous-suite des u_n positifs (resp. strictement négatifs) diverge. Notons φ (resp. ψ) : NN strictement croissantes représentant les extractions des termes positifs (resp. strictement négatifs). {φ(N), ψ(N)} est alors une partition de N.
Soit x un réel quelconque.
On construit par récurrence ω : NN et les suites (x_n) à valeurs réelles, (α_n) et (β_n) à valeurs entières telles que :
  • x_0 = 0, α_0 = β_0 = -1
  • Si x_n a été construit, alors deux possibilités :
    • Soit x_n ⩽ x. En ce cas, on pose α_{n+1} = α_n + 1, β_{n+1} = β_n, ω(n) = φ(α_{n+1}).
    • Soit x_n > x. On pose alors α_{n+1} = α_n, β_{n+1} = β_n + 1, ω(n) = ψ(β_{n+1}).
    Et x_{n+1} = x_n + u_{ω(n)}
Il est immédiat (parce que (u_{φ(n)}) et (u_{ψ(n)}) sont termes généraux de séries divergentes) que (α_n) et (β_n) ont pour image N υ {-1} et que ω a pour image Ν. De plus, puisque φ et ψ sont injectives strictement croissantes, ω est injective. Donc ω est une permutation de N. La suite (u_ω(n)) est donc le terme général d’une série dont les sommes partielles sont les termes de la suite (x_n).
Reste à démontrer que cette dernière converge vers x. Soit ε > 0. Notons M_0 tel que ∀ n ⩾ M_0, |u_n| < ε. Soit M_1 = max(ω⁻¹([[0, M]])). Posons n ⩾ M_1 ; alors |u_{ω(n-1)}| < ε. On définit alors M_2 de la manière suivante :
  • Soit x_{M_1} > x + ε. J’affirme qu’il existe M_2 > M_1 tel que x_{M_2} < x. En effet, supposons que ce ne soit pas le cas. Par construction, la suite (u_{ω(M_1 + i)})_{i ⩾ 0} peut se réécrire sous la forme (u_{ψ(β_K + i)})_{i ⩾ 0} pour un certain K. C’est une suite de termes négatifs qui forme le terme général d’une suite divergente : il y a une absurdité. Sachant que de plus la suite des |u_{ω(M_1 + i)}| < ε pour i ⩾ 0, on a de plus |x_{M_2} - x| < ε.
  • De même, si x_{M_1} ⩽ x - ε, il existe M_2 > M_1 tel que x_{M_2} > x et celui-ci vérifie |x_{M_2} - x| < 0.

On prouve alors par récurrence que ∀ n ⩾ M_2, |x_n - x| < ε. La construction de M_2 montre que la propriété est vraie au rang M_2. Supposons la propriété vraie au rang n ⩾ M_2. On a alors deux possibilités :
  • Soit x_n > x. Alors u_{ω(n)} = u_{ψ(β_{n+1})} < 0 par construction, et u_{ω(n)} > -ε d’après ce qui précède, d’où x-ε < x_{n+1} < x+ε.
  • Soit x_n ⩽ x, u_{ω(n)} = u_{φ(α_{n+1})} ⩾ 0 par construction, et u_{ω(n)} < ε donc x-ε < x_{n+1} < x+ε.
L’assertion est vraie par récurrence : il existe un rang Μ_2, ne dépendant que de ε, tel que ∀ n ⩾ M_2, |x_n - x| < ε. En d’autres termes, (x_n) converge vers x, quod erat demonstrandum.

Remarque naïve : l’intuition du résultat est extrêmement simple, mais la formalisation de la preuve est beaucoup plus pédestre que je ne le pensais au moment où j’ai attaqué la rédaction. Donc si vous avez vu en cours une façon plus élégante de le faire à l’aide d’un lemme trivialisant, je suis preneur. :)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 23 juin 2018, 23:27

C’est à cette solution que je pensais Milton ! C’est toute la beauté de l’exo, un résultat intuitif mais qui n’est pas si simple à démontrer ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 24 juin 2018, 15:07

Pour la solution de l'exercice avec la densité je la posterais dès que notre camping sera fini. Elle n''est pas de moi,je l'avais vu sur un bouquin de combinatoire en anglais.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 24 juin 2018, 19:27

Mamoun a écrit :Pour la solution de l'exercice avec la densité je la posterais dès que notre camping sera fini. Elle n''est pas de moi,je l'avais vu sur un bouquin de combinatoire en anglais.

Je posterai celle matricielle à la fin du camping moi aussi :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 24 juin 2018, 22:12

Bof, je peux la poster dès maintenant moi si vous voulez… :roll:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 25 juin 2018, 10:34

Si tu veux Milton, au moins on sera 3 à participer !
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 01 juil. 2018, 19:55

Je vous poste des oraux de X Pc auxquels j ai assisté aujourd'hui avec un ami.
Exo 1
Soit n》3 et A_1,....,A_n les sommets d un n polygone regulier. Soit P un point du plan. Montrer que somme des (A_kP)^2 ne dépend que de la distance OP.
Exo 2
Soit f une fonction deN* dans R qui est confondue avec un polynome dans Z. (i.e c est la restriction d un polynome dans Z)
Et soit M la fonction qui à tout n associe la moyenne des f(k) pour k allant de 1 à n.
Montrer que M est la restriction d un polynome.
Exo 3
Soit a_n une suite telle que pour toute suite b_n carré convergente la série de terme générale a_n*b_n est convergente. Montrer que a_n est carré convergente
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar zhangmei » 01 juil. 2018, 20:04

Pour le 1, O est le centre du polygone ?

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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 01 juil. 2018, 20:14

zhangmei a écrit :Pour le 1, O est le centre du polygone ?

L’origine du repère sans doute :D
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 02 juil. 2018, 13:05

Que veut dire carré convergente ?
Parce que si c’est (a_n^2) qui converge alors il me semble qu’avec (b_n)=(1) , la série des a_n converge donc a_n tend vers 0 donc a_n carré aussi mais c’est trop simple pour être ça ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 02 juil. 2018, 14:30

Zrun a écrit :Que veut dire carré convergente ?
Parce que si c’est (a_n^2) qui converge alors il me semble qu’avec (b_n)=(1) , la série des a_n converge donc a_n tend vers 0 donc a_n carré aussi mais c’est trop simple pour être ça ...

Carré convergente veut dire que la serie de terme general l(a_n)^2 converge
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 02 juil. 2018, 15:30

On dit plutôt "de carré sommable" dans ce cas là.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 02 juil. 2018, 16:19

thuiop a écrit :On dit plutôt "de carré sommable" dans ce cas là.

T as raison je me disais que je me trompais de nom
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar cgoutelard » 02 juil. 2018, 16:57

Bonjour,

Un MOOC pour réviser l'algèbre linéaire avant la Spé!
https://www.fun-mooc.fr/courses/course- ... on01/about

Bonnes vacances!

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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 02 juil. 2018, 17:23

En fait Milton je pense que tu as oublié de proposer ton exo :mrgreen: .
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 02 juil. 2018, 21:21

Fleeemme, je connais déjà la solution, je l’ai donné en colle, c’est dire… :roll:

Enfin je peux la faire dans un coin d’écran si tu veux, j’imagine que tu la connais déjà. Tu poses N le vecteur des notes des élèves, A une matrice carrée de diagonale nulle dont tous les termes non-diagonaux sont -1 ou 1 et telle que NA = 0 (elle existe, conséquence directe de l’énoncé). N ∈ ker(A). De plus, le vecteur (1, 1, 1…, 1) est dans ker(A), donc il suffit de montrer que ker(A) est de dimension 1 pour conclure. Pour cela, il suffit de trouver une sous-matrice A' de dimension 2n qui soit inversible ; on va montrer que c’est le cas de la matrice extraite en retirant la dernière ligne et la dernière colonne. La réduction modulo 2 (que l’on note φ) est un morphisme d’anneaux de Z dans Z/2Z, donc il suffit de démontrer que dét(φ(A')) = 1 (mod 2), sachant que φ(A') est une matrice carrée d’ordre 2n avec des 0 (mod 2) sur la diagonale et des 1 (mod 2) partout ailleurs. On le prouve par récurrence sur n en faisant deux opérations matricielles pas compliquées pour exprimer le déterminant à l’ordre 2n+2 en fonction de celui à l’ordre 2n, et c’est gagné.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 02 juil. 2018, 21:48

Ce que disait Mamoun ce n’est pas tant une solution mais un nouvel exo comme tu avais résolu celui sur les séries !
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