Exos pour futurs spés

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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 02 juil. 2018, 22:30

Heu, alors en voici deux, que j’espère ne pas avoir déjà donnés ici. ^^

1° Soit A une R-algèbre unitaire, commutative, intègre et de dimension finie. Montrer que A est isomorphe à R ou à C.

2° Soient K un corps, E un K-ev, φ_1, …, φ_n et ψ des formes linéaires sur E. Montrer que ψ ∈ Vect(φ_1, …, φ_n) si, et seulement si ker ψ contient l’intersection des ker(φ_i).
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 09 juil. 2018, 23:06

Alors ? ;)
Pour le 1, commencez par montrer que A est un corps éventuellement. :)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 10 juil. 2018, 07:51

J’ai le 2, je posterai la solution tout à l’heure . Merci pour l’indication !

Edit :
Spoiler :

4E5BC6CE-0948-4596-B62C-E8A70A1FAF60.jpeg
4E5BC6CE-0948-4596-B62C-E8A70A1FAF60.jpeg (218.46 Kio) Consulté 947 fois

Je ne sais pas si les bases anteduales en dimension infinie est au programme mais bon qui suit vraiment le programme ?? :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Darkpatric » 11 juil. 2018, 12:52

Zrun a écrit :J’ai le 2

Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 11 juil. 2018, 14:12

Darkpatric a écrit :
Zrun a écrit :J’ai le 2

Nom pas que j’en doute de ta capacité à le faire seul mais on l’a quand même eut en dm....

Ah tu es sur ? Je vois de quel dm tu parles mais je me souviens de la question telle quelle ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Darkpatric » 11 juil. 2018, 14:59

C’etait En deux questions (mais on vas pas chipoter)
Il me semble
"Ils ne savaient pas que c'était impossible alors ils l'on fait"
Mark Twain

"La plupart des gens aiment les maths. L'ennui,c'est qu'ils ne le savent pas"
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 11 juil. 2018, 18:49

Ok je te crois ! Peut-être il faudrait que je relise nos DMs avant la reprise :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 16 juil. 2018, 00:13

OK. Tu peux prouver l’existence de la base antéduale ? ;)

Au fait, j’attends toujours la correction des rugbymen sans déterminants. ;)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 18 juil. 2018, 12:00

En dimension finie je peux , via l’isomorphisme entre E et son bidual. En dimension infinie, je suis même pas sûr que ça existe dans tous les cas , faudrait que je trouve un autre moyen qui contourne l’utilisation de la base antéduale et après je pourrais me lancer dans le premier exo !
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 18 juil. 2018, 20:19

En fait en dimension infinie, ça n’a même pas forcément de sens de parler de base duale. Si tu te regardes par exemple E = R^(N) (les suites réelles à support fini) avec (e_n)_n la base canonique, les formes linéaires canoniquement associées aux e_n ne sont pas nécessairement une famille génératrice de E* (par exemple, que penses-tu de la forme linéaire qui a une suite associe la somme de ses termes ?). On peut même démontrer que dim(E) = dim(E*) ssi E est de dimension finie. :)

Cela dit, pour en revenir à nos moutons, ta preuve est très bien sous l’hypothèse que E est de dimension finie, mais ne semble pas pouvoir fonctionner dans le cas général. Mais ce n’est pas très grave, on peut essayer de se ramener à de la dimension finie de façon pas trop idiote ! :D Qu’est-ce que tu penses de l’application suivante ?
E ⟶ K^(n+1)
x ⟼ (φ1(x), …, φn(x), ψ(x))
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 23 juil. 2018, 21:03

On sèche ? :P
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 23 juil. 2018, 21:46

Non non c’est juste que j’étais en compétition sportive et quand je rentrerai chez moi je reprendrai les deux problèmes !
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 24 juil. 2018, 12:21

Quant à moi j'encadre.un stage d'olympiade de maths donc je n ai pas une minute de.libre!
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 30 juil. 2018, 08:13

Voilà une solution en dimension finie et infinie :mrgreen:
Spoiler :

DD741C96-86F3-47F1-81EE-9DC3F3BF70AA.jpeg
DD741C96-86F3-47F1-81EE-9DC3F3BF70AA.jpeg (364.86 Kio) Consulté 786 fois
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2018, 10:38

En effet, ça marche bien !

Pour info, la solution à laquelle je pensais : si l’on appelle P l’opérateur :
E ⟶ K^{n+1}
x ⟼ (φ_1(x), …, φ_n(x), ψ(x))
alors il est clair que P n’est pas surjective, donc im(P) est inclus dans un hyperplan H, qui est le noyau d’une forme linéaire π = a_1 e_1* + … + a_{n+1} e_{n+1}*, d’où ∀ x ∈ E : a_1 φ_1(x) + … + a_n φ_n(x) + a_{n+1} ψ(x) = 0, ce qui conclut. :)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 30 juil. 2018, 10:38

Exo 2 , j’espère que c’est correct (car c’est quand même long ma solution)
Spoiler :

36871B4C-C5BF-43C3-BC8D-0D71CC765F3E.jpeg
36871B4C-C5BF-43C3-BC8D-0D71CC765F3E.jpeg (2.01 Mio) Consulté 774 fois
6DD9AFB2-A3A0-4BB6-9178-737735A17240.jpeg
6DD9AFB2-A3A0-4BB6-9178-737735A17240.jpeg (1.95 Mio) Consulté 774 fois


Exercice 7:
Soit M dans M2(Z) telle qu’il existe n dans N* tel que M^n=I où I est l’identité . Montrer alors que M^12=I

Edit: Très subtil ta solution Milton . Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ... mais maintenant je le saurais !
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2018, 10:58

Yes, pour l’exo 2 c’est correct ! :)
Zrun a écrit :Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ...

Oui bon par contre danger axiome du choix, hein. ;)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 30 juil. 2018, 11:55

Je le garde pour de la dimension finie alors :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 12:33

Il est dans le TD de Brevet ton exo :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 30 juil. 2018, 12:38

Ah d’accord mais bon comme en principe les futurs spés n’ont pas fait les TD de Brevet , ça passe ^^
Et puis il y a des moyens de le faire sans outils de spé même si c’est plus facile avec (dont certains sont déjà vus en sups à Fermat )
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 15:04

Effectivement je veux bien voir une preuve plus élémentaire.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 30 juil. 2018, 17:12

Désolé pour la preuvé élémentaire , il faudra repasser :roll: :roll: .
Spoiler :

Racines eniemes.png
Racines eniemes.png (19.13 Kio) Consulté 724 fois

Exercice 8 Un peu d'arithmétique car j'adore et que ca ne peut pas faire de mal :oops:
Trouver tous les nombres premiers p et q tel que :
p^2+1 divise (2003^q+1)
q^2+1 divise (2003^p+1)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 17:39

C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 30 juil. 2018, 18:01

thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.

Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 30 juil. 2018, 18:07

La preuve élémentaire c’est en gros la même idée mais tu regardes juste les polynômes caractéristiques possibles et tu en déduit le résultat par (longue) disjonction de cas...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 18:50

Mamoun a écrit :
thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.

Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.

Non, c'est surtout que tu oublies le cas où le det vaut -1 et pas 1 x)
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 30 juil. 2018, 19:29

thuiop a écrit :
Mamoun a écrit :
thuiop a écrit :C'est à peu près ça mais tu as oublié un cas Mamoun.

Ah oui c'est vrai les racines primitivés 6ème de l'unité , désolé.

Non, c'est surtout que tu oublies le cas où le det vaut -1 et pas 1 x)

Le déterminant?Qu'est ce que ca vient faire ici ?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 20:47

Les valeurs propres ne sont pas forcément conjuguées, c'est le cas seulement si le déterminant vaut 1 (il vaut soit 1 soit -1 car il est dans Z).
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 30 juil. 2018, 21:50

thuiop a écrit :Les valeurs propres ne sont pas forcément conjuguées, c'est le cas seulement si le déterminant vaut 1 (il vaut soit 1 soit -1 car il est dans Z).

Mais tr(M) est dans R et c est égal a la somme des 2 valeurs propres donc les valeurs propres ont même partie imaginaire et comme c est des racines énièmes elle ne sont pas forcément conjuguées :mrgreen: :mrgreen:
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 30 juil. 2018, 21:56

A priori non : si les deux ont une partie imaginaire opposée, alors la trace sera dans R. Donc on pourrait prendre l'opposé d'une racine de l'unité comme deuxième valeur (on ne peut pas à cause du det en fait). En fait si tu examines le second cas tu fais apparaître 2isin(2kpi/n) dans R, et tu conclus facilement.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Miltøn » 30 juil. 2018, 22:54

Ben le deuxième cas il est exclus sauf à ce que sin(2kπ/n) = 0, non ? Parce que sinon, on se retrouverait avec une trace de matrice à coefficient dans Z qui serait imaginaire pure et non réelle…
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 31 juil. 2018, 08:20

Oui, donc le deuxième cas c'est uniquement pour les valeurs propres 1 et -1 et ça marche. Mais il ne faut pas l'occulter car on ne peut pas dire que les racines sont conjuguées uniquement avec la trace, il faut invoquer le déterminant.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 02 août 2018, 13:07

Quelques indication pour ceux qui essaient mon exo.
Spoiler :

On pourra commencer par montrer que p=2 implique q=2 pour se placer après dans le cas p,q impairs.
Ensuite on pourra introduire r un diviseur premier de p^2+1 et s'intéresser à l'ordre de 2003 modulo r .
On se souviendra que r est un diviseur premier de p^2+1 ce qui lui impose des restrictions
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 13 août 2018, 13:06

Je tourne un peu en rond (ça fait longtemps que je n’ai plus fait de l’arithmétique)
Spoiler :

Bon si p=2 alors q=2 en regardant l’ordre de 2003 modulo 5.
Dans le cas p,q impairs , on s’intéresse à l’ordre de 2003 modulo r , il vaut 1,2 ou 2q . De plus , comme r est un diviseur premier de p^2+1, on a 4 divise r-1 . Il faut distinguer le cas r=2 me semble-t-il... Mais après à part une longue disjonction de cas , je vois pas comment être efficace (je doit rater un truc trivial )
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 13 août 2018, 13:40

Spoiler :

Comme q est impair on peut s intéresser à l ordre de -2003 modulo r. Si il vaut 1 alors en decomposant 2004 on obtient une restriction sur les valeurs de r avec le lemme. Si il vaut q on obtient une congruence de tous les diviseurs premiers de q modulo lp^2+1
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 13 août 2018, 14:12

Je crois avoir trouvé . Est-ce que (2,2) est la seule solution ?
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 13 août 2018, 14:18

Oui
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 13 août 2018, 14:35

Spoiler :

AB1D9FBE-2C06-4D88-B1FC-87E5E0723943.jpeg
AB1D9FBE-2C06-4D88-B1FC-87E5E0723943.jpeg (1.68 Mio) Consulté 593 fois
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D8B18BE0-396B-4BDF-8325-F9068D9A7F7D.jpeg (1.53 Mio) Consulté 593 fois


Exercice 9
Montrer que la série des inverses des nombres premiers diverge
Dernière édition par Zrun le 13 août 2018, 14:57, édité 1 fois.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar thuiop » 13 août 2018, 14:46

Not so easy.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Almar » 13 août 2018, 14:55

Certains racontent que c'est un exercice d'oral X-ENS.
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Je ne suis pas raciste, j'ai des amis Centraliens.

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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 13 août 2018, 14:58

thuiop a écrit :Not so easy.

Effectivement il y a deux idées à avoir pas si évidentes que cela
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 13 août 2018, 15:05

Spoiler :

Quand tu dis que q divise r-1 donc q<p , donc p^2+1 est une puissance de 2. C'est quoi les arguments que tu utilises? C'est bien trop rapide
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 13 août 2018, 17:23

Effectivement j’ai bien truandé , quand j’ai écris cela j’ai pensé que r divisait p pour l’inégalité puis que r divisait p^2+1 pour la puissance de 2 ....bref je me suis bien embrouiller

C’est ça faire des maths en faisant du français en même temps ...
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 20 août 2018, 14:00

Spoiler :

Essaie de montrer que p^2+1=2[q] et symetriquement
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 20 août 2018, 14:19

Je vais regarder ça ... Je suis vraiment une chèvre sur cet exo
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 26 août 2018, 11:23

Ah je crois que je l’ai !
Spoiler :

Si r!= 2 , alors l’ordre de (-2003) mod r est q donc q divise r-1 (petit théorème de Fermat) . Donc r=1[q]
Maintenant , on écrit p^2+1=2^aS où S est un produit de nombres premiers différents de 2. Alors p^2+1=2^a[q] .
Mais si a >= 2, alors 4 divise p^2+1 d’où p^2=3[4] impossible .
Donc p^2+1=2[q] et q^2+1=2[p] . Par lemme d’Euclide, p divise q-1 ou q+1 et q divise p-1 ou p+1 , ce qui conduit dans chaque cas à une absurdité (p<p ou q<q ou q<= q-2 suivant les cas ) .
Donc (2;2) est unique solution

Je laisse l’exo que j’ai posté sauf si il est déjà connu !
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 26 août 2018, 13:51

C'est ça bravo!
Personellement je le connais, je l avais vu dans un livre :raisonnements divins.
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 26 août 2018, 14:35

Un autre alors :
Exo:
Trouver f: Q+* -> Q+* telle que pour tous (x,y) rationnels strictement positifs : f(x(f(y))=f(x)/y
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Zrun » 29 août 2018, 09:49

Quelques indications comme la rentrée approche :
Spoiler :

Soit f une solution.
Montrer que f est injective .
Trouver alors une expression de fof .
Montrer que f est multiplicative .
Conclure
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Re: Exos pour futurs spés

Messagepar Mamoun » 17 nov. 2018, 13:13

Zrun a écrit :Edit: Très subtil ta solution Milton . Je n’avais jamais vu l’idée que si f n’est pas surjective alors Im f est inclus dans un hyperplan ... mais maintenant je le saurais !

Plutôt utile ce petit truc en fait :mrgreen:
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