Petit théorème de Fermat

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La Bouillabaisse
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Petit théorème de Fermat

Message par La Bouillabaisse » 01 mai 2022, 21:05

Bien le bonsoir à tous,
Élève en terminale, j'ai étudié le petit théorème de Fermat en maths expertes. J'ai donc cherché à réaliser la démonstration.
J'ai bien conscience que ce forum n'est pas un forum d'aide au devoir, et encore moins de lycée , mais je n'arrive pas à comprendre un point de la démonstration, et me suis dit que si il y avait bien un endroit où je pouvais demander de l'aide pour ce théorème, c'était ici.

Ma question est la suivante : j'ai vu dans mon cours que le petit théorème de Fermat n'est valable que si p ne divise pas a. Alors que \(a^{p} \equiv a[p]\) est valable pour tout a. Vous l'aurez sans doute vu, je patauge dans ma démonstration à faire le lien, et dans la conclusion je ne vois pas pourquoi p ne pourrait pas diviser a. Bref si vous pouviez m'éclairer !! :P

Bonne soirée :D

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Miltøn
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Re: Petit théorème de Fermat

Message par Miltøn » 02 mai 2022, 00:11

Bonjour La Bouillabaisse, et bienvenue sur ce forum !

Avant de te répondre, j’attire ton attention sur une erreur importante de ta démonstration, qui je pense relève de l’étourderie : ta propriété P(a) ne peut certainement pas commencer par « \(\forall a \in \mathbf N\) »… ;-) De même, dans ta conclusion, cela n’a pas de sens de dire que P(a) est vraie pour tout a appartenant à N et pour tout p appartenant à P (puisque ta propriété ne dépend que d’une variable).

Ensuite, si je comprends bien ta question, tu proposes une démonstration par récurrence du fait que pour tout \(a\) et pour tout premier \(p\), on a \(a^p \equiv a \pmod p\), et tu ne comprends pas pourquoi on a besoin de supposer que \(p\) ne divise pas \(a\) pour en déduire que \(a^{p-1} \equiv 1 \pmod p\), c’est bien cela ?

Le problème vient du passage à l’avant-dernière ligne de ta démonstration, plus précisément de la fausse équivalence \(a(a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p \iff a^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod p\). Pour passer de la congruence de droite à celle de gauche, pas de problème : on multiplie les deux membres par \(a\). Par contre, comment obtenir le sens direct (gauche implique droite) ? La réponse est simple, tu ne peux pas. Il te faudrait faire une opération « division par \(a\) modulo \(p\) », et cette opération n’existe pas en toute généralité. Ou plus exactement, elle n’existe que dans le cas où \(a\) n’est pas nul modulo \(p\) (la démonstration rigoureuse est ci-dessous).
Spoiler :

Diviser par un nombre, c’est multiplier par son inverse. Ce qu’il manque en réalité, c’est une opération « calculer l’inverse de \(a\) » en arithmétique modulo \(m\). Ou autrement dit, étant donné un nombre \(a\), trouver un nombre \(b\) tel que \(a \times b \equiv 1 \pmod m\).

À quelle condition cela est-il possible ? Ce n’est pas compliqué : si et seulement si \(m\) est premier avec \(a\), et ce en raison du théorème de Bézout. Fixons \(a\). On a :

Sens direct : supposons qu’il existe \(b\) tel que \(ab \equiv 1 \pmod m\). Alors il existe \(k \in \mathbf Z\) tel que \(ab - 1 = km\), soit \(ab + (-k)m = 1\). D’après le théorème de Bézout, \(a\) est premier avec \(m\).

Réciproquement supposons que \(a\) est premier avec \(m\). D’après Bézout, il existe \(u\) et \(v\) dans \(\mathbf Z\) tels que \(au + mv = 1\). On en déduit que \(au - 1 = -mv\), et donc \(au \equiv 1 \pmod m\). Donc \(u\) est inverse de \(a\) modulo \(m\).

Une façon un peu différente de le voir : l’égalité \(a(a^{p-1}-1) \equiv 0 \pmod p\) est en quelque sorte une équation produit nul. Pour rappel (de troisième, je crois ?), une équation produit nul est une équation de la forme \(A(x) B(x) = 0\), qui est équivalente à \(A(x) = 0 \text{~ou~} B(x) = 0\) (cette équivalence est parfois qualifiée de « théorème de l’équation produit nul »).
Il se trouve que dans le cas où p est premier exclusivement, le « théorème de l’équation produit nul » reste vrai « modulo p ». Cela vient du théorème de Gauss (démonstration ci-dessous).
Spoiler :

On fixe \(p\) premier. Soient A et B deux entiers relatifs.

Sens direct : si \(A \equiv 0 \pmod p\) ou \(B \equiv 0 \pmod p\), alors immédiatement \(AB \equiv 0 \pmod p\).

Sens réciproque : supposons que \(AB \equiv 0 \pmod p\), c’est-à-dire que \(p\) divise \(AB\).. On suppose que \(A \not\equiv 0 \pmod p\), ou autrement dit que \(p\) ne divise pas A. Alors d’après le théorème de Gauss, \(p\) divise \(B\), c’est-à-dire que \(B \equiv 0 \pmod p\).

Donc si l’on revient à ta démonstration, une fois que tu as \(a(a^{p-1} - 1) \equiv 0 \pmod p\), ce n’est pas équivalent comme tu l’écris à \(a^{p-1} - 1 \equiv 0 \pmod p\), mais à (\(a^{p-1} -1 \equiv 0 \pmod p\) OU \(a \equiv 0 \pmod p\)). Si \(p\) divise \(a\), alors l’assertion à droite du OU est vraie, et il n’y a aucune raison de supposer que l’assertion à gauche du OU l’est aussi.

J’espère que ces explications t’auront aidé, je reste à disposition s’il y a des zones d’ombre !
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Re: Petit théorème de Fermat

Message par La Bouillabaisse » 02 mai 2022, 19:57

Bonsoir Milton et merci pour cette réponse plus que complète !

Lorsque j'énonce une propriété avant de la démontrer par récurrence, je suis censé indiquer pour quelles valeurs de a je souhaite la démontrer non ? Pour le \(\forall p \in \mathbb{P}\), je ne suis pas censé le mettre car la propriété dépend de a et non de p c'est cela ? (pourtant la propriété est bien vraie pour tout les nombres premiers non ?). Je pourrais donc préciser que p est un nombre premier fixé ?

Pour ce qui est des congruences, en effet, je n'avais pas pensé que je réalisais une "division par a modulo p"... Que je savais pourtant impossible. Merci pour les démonstrations, qui sont très bien expliquées et largement compréhensibles pour un terminale ! :wink:

J'ai bien compris toute la démarche, mais n'aurais sûrement jamais pu arriver à trouver tout ça moi même. En tout cas merci de m'avoir éclairé :D

Bonne soirée

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Re: Petit théorème de Fermat

Message par Miltøn » 02 mai 2022, 20:55

Oups, la référence à « au-dessus du niveau terminale » est un reliquat d’une première rédaction de ce message. ^^ J’ai retiré.

En ce qui concerne les notations : le principe est que quand tu définis une propriété P(a), il faut bien que le contenu de la propriété dépende de a. Et en règle général, en terminale, qu’il dépende seulement de a. Autrement dit, il faut que a soit une variable libre de ton expression.

Je te donne un exemple : si j’écris « pour tout réel x, x²-1 = (x+1)(x-1) », j’ai défini une assertion (en terminale on dit « proposition ») qui peut se lire seule, sans information extérieure. En l’occurrence, cette assertion est vraie. Je pourrais la réécrire en remplaçant x par y, par z, ou même par un symbole qui n’a aucun sens. Par exemple, ça donnerait : « pour tout réel ⌘, ⌘²-1 = (⌘+1)(⌘-1) ». Ma variable x est liée au quantificateur « pour tout », qui est à l’intérieur de l’expression.

On peut faire des choses plus complexes, par exemple dire : « pour tout entier naturel n différent de 1, il existe un nombre premier p tel que p divise n ». Là, j’ai deux variables liées : n est lié au quantificateur pour tout, et p au quantificateur il existe. Cette propriété est vraie également.

Maintenant, si j’écris la propriété : « n² = 2n-1 », ma variable n n’est reliée à rien. Elle est ce qu’on appelle une variable libre. Il me faut un contexte pour comprendre à quoi elle sert. Et d’ailleurs, ma propriété dépendra de n (elle sera vraie si et seulement si n=1). J’ai envie de noter que ma propriété dépend de n, donc je lui donne un nom qui fait apparaître cette dépendance, par exemple P(n). P(1) est vraie, et P(n) est fausse si n vaut autre chose que 1.

Tu comprends maintenant qu’il y a une contradiction à écrire quelque chose comme « P(n) : pour tout entier naturel n, n² - 1 = (n+1)(n-1) ». Pourquoi vouloir marquer une dépendance à n, alors que par construction la propriété ne dépend pas de n (soit elle est vraie pour tout n, soit elle est fausse) ?

De même dans ton cas, tu ne peux pas écrire : P(a) : pour tout a, [quelque chose qui dépend de a].

Il y a par ailleurs une erreur de raisonnement : l’hérédité dans un raisonnement par récurrence consiste à supposer que la propriété est vraie à un certain rang pour montrer qu’elle est vraie au rang suivant. Ça n’a pas de sens que cette propriété commence par « quel que soit le rang » (c’est bien ce que veut dire ∀a).

Je réécris maintenant ta propriété \(\mathscr P(a) : \forall p \in \mathbb P, a^p \equiv a \pmod p\). Dans cette propriété, a est libre, et p est liée. Ce faisant, ça n’a pas de sens d’écrire : \(\forall p \in \mathbb P, \mathscr P(a)\) est vraie. Puisque \(\mathscr P(a)\) ne dépend pas de p.

Je te recommande vivement la lecture de ce document, qui éclaire bien le formalisme des mathématiques en fin de terminale : https://perso.math.u-pem.fr/kloeckner.b ... oMaths.pdf.
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Re: Petit théorème de Fermat

Message par La Bouillabaisse » 05 mai 2022, 19:34

Merci pour toutes ces explications et désolé de ma réponse tardive !
Je pense avoir tout compris. Je vais aller voir ce document qui me semble bien utile :D

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